Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Рассмотрим, например, длину кривой; за класс допустимых линий прлмем совокупность кривых, соединяющих двэ данные точки А(х, уе) игВ(х„у,), выражаемых уравненияии: у =у(х), где у(х) имеет непрерывную производную и у (хо) =уо~ "у.(хд) =уд. — (х — х ) Уд — Уч хд — хд (х (х.(х,). Длина выражается криволинейным интегралом Ж1 л' = / 3/1 +у'Я.Их. т Абсолютный минимум длины достигается на )прямолинейном отрезке, определяемом уравнением: $35] лвсолютный и относитвльный экстввмгм 55 -д('+в'> е = г'че еде М и К вЂ” положительные константы, даны две точки А( — 1, й, хе) и В(1, О, г,), Ь)0 (черт.
12). Требуется определить линию наименьшей длины среди лежащих на поверхности линий, соединяющих виси то оси. Мы рассматриваем только те кривые в пространстве, которые определяются двумя функциями: у= у(х), в=я(х). В данном случае из условия, что линия принадлежит поверхности (1), в(х) определена, если определена у(х): х(х)=Ме Длина такой кривой есть функционал от у (х): 1 У= / вг 1+уча+4ИКве (х+уу')Я ах. — 1 Т1 р и м е ч а н и е. На этом примере видна искусственность ограничения класса допустимых линий линиями с непрерывно вращающейся касательной. Очевидно, прямолинейный отрезок будет давать абсолютный минимум длины, если за класс допустимых линий принять совокупность линий, соединяющих точки А, В и состоящих из конечного числа дуг с непрерывно вращающейся касательной.
Более того, лля всякой линии т можно определить длину как предел длин вписаяиых в нее полигонов, стороны которых стремятся к нулю. Этот предел, конечный или бесконечный, не зависящий от выбора последовательности йолигоноз, существует для всякой кривой. Таким образом мы могли бы двя данной задачи принять за класс допустимых линий Т совокупность всех непрерывных кривых, соелиняющих точки А, В; прямолинейный отрезок попрежнему давал бы минимум длины. Кратчайшее расстояние иа поверхности.
Прежде чем определить относительный экстремум, иллюстрируем это понятие простым примером. Между двумя пунктами на поверхности земли находится высокая гора; требуется соединить эти два пункта дорогой кратчайшей длины. Нам выгодно, в смысле уменьшения длины пути, объезжать гору при поездке из одного пункта в другой; как '-Т"' ' справа, так и слева найдется кратчайший путь среди путей, объезжающих гору. Если путь справа меньше кратчайшего пути слева, то он н дает нам абсолютный минимум длин ли- шл ь гн " "" й[~,а,гв ннй на поверхности земли, сое- г пинающих этн точки.
Кратчайший путь слева не будет да- у вать абсолютного минимума, но Черт. 12. он во всяком случае будет к о р о ч е других близких к нему путей, соединяющих этн точки и объезжающих вместе с ним гору слева. Мы переведем этот пример на аналитический язык. На поверхности (1) 56 ововщвниа основных понятий анализа [гл. Ч1 Наша поверхность в точке х=О, у=О имеет апликату М и сколько угодно малую апликату в другой точке при достаточно большом К. Рассмотрим три вида линий, соединяющих точки А и В, определенных уравнением у =у(х).
1. Линии, у которых у (0) = О, т. е. минни проходящие через вершину возвышения, поднимающегося над началом координат. Так как при К, стремящемся к бесконечности, наша поверхность стремится к плоскости хОу с отрезком оси Оз длины М то длина такого пути при достаточно большом К близка к 2+2К. При достаточно большом К эти линии по длине больше, чем К+1. 2. Линии, которые при движении от А к В обходят точку (О, О, Л~ со стороны положительных х, т. е.
у которых у(0) ) О. 3. Линии, у которых у(0) ( О, т. е. линии, обходящие вершину (О, О, ДГ) со стороны отрицательных х. При л ) 0 абсолютный минумум будет достигаться на некоторой линии Ге, очевидно, находящейся среди линий класса 2. Но при достаточно большом К среди линий класса 3 найдутся линии по длине меньшие К+ 1, т. е. меньшие любой линии класса 1. Наименьшая по длине из таких линий — обозначим ее через Г, — не дает, очевидно, абсолютного минимума, ибо У(Ге) ( У(Г,). Но эта кривая дает то, что мы называем относительным минимумом, т.
е. минимум среди кривых„ „достаточно близких' к Г, (принздлежаших вместе с Г, к классу 3). Точное понятие относительного минимума требует предварительного определения понятия окрестности кривой, которым мы сейчас займемся. В 6 9, определяя понятие непрерывной функции точки л-мерного пространства, мы видели, что это определение использует только свойство точек л-мерного пространства: обладать окрестностями. Определив понятие окрестности кривой, мы сможем теорию непрерывных функций распространить на случай функций от линии.
ф 36. Окрестности кривых. Сильный и слабый экстремум Расстояние между кривыми. Пусть даны две кривые, определенные уравнениями: у=у (х) (х (х (х,). у=у, (х) Близостью этих кривых, или расстоянием мелсду этими кривыми, назовем неотрицательное число г, равное максимуму (у,(х) — у(х) ~ на отрезке хе ( х ( хп Будем обозначать: г=г[у,(х), у(х)1. Построим вокруг кривой у=у(х) полоску „шириной' 2л (черт. 13), откладывая от каждой точки кривой по ординате в обе стороны отрезки длины Ь. Близостью кривой у=у,(х) от кривой у=у(х) будет половина наименьшей „ширины" — такой полоски около у =у (х), заключающей кривую у=у,(х).
Пусть дана последовательность кривых: У =У, (х), У = =Уя (х),,..., У = У„(х), ..., (2'ь (гл. Ч1 ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ АНАЛИЗА При рассмотрении функционалов / Р(х,у,у') тих особую роль играет близость и рвого порядка. При непрерывности функции Р относительно у и у' достаточная малость близостей первого порядка двух кривых у=у(х) ну=у,(х) влечет за собой сколь угодно малую абсолютную величину разности функционалов от этих функций.
Поэтому в большнчствэ случаев под расстоянием между кривыми мы будем полагать их близость первого порядка. Окрестность кривой. Мы называем е-окрестностью н-го аорлдха хривой: (хо (х (х,) у =у(х) у=у,(х), совокупность кривых: близость и-го порядка которых от кривой у =у(х) меньше е. Таким образом е-окрестность нулевого порядка кривой у =у (х) состоит из кривых, расположенных в полоске ширины 2э вокруг кривой у(х). Сильный н слабый экстремум.
Мы скажем, что функционал У= / Р (х, у, у') ~1х оа достигает на кривой то сильного относительного максимума, если для всех допустимых линий т, расположенных в некоторой е-окрестности нулевого порядка кривой йш имеем: в(Т) (в(то). Аналогично определяется относительный сильный минимум. Мы скажем, что функционал 1 достигает па кривой то слабого максимума, если иа всех допустимых линиях Т, расположенных в некоторой е-окРестности пеРвого поРЯдка кРивой То, имеем: 1(Т) ( Во). Всякий абсолютный экстремум явля.тся в то же время и слабым и сильным о~носительным экстремумом. Всякий сильный экстремум есть в то же время и слабый, но не наоборот. Пример 1.
Пусть к Г= / у (1 — у )ггж о Отрезок оси Ок дает слабый минимум У. В сомом деле, для у О, У=О, а аля кривых, расположенных э е-близости первого порядка этого отрезка, гдэ э — любое положятельное число, меньшее единицы, ~у'~ (1, подянтегральное выражение положительно при у ~О, и, следовательно, У положительно, обрашаягь в нуль лишь при у=О, т.е. для вашего отрезка. Значит, на нем достигается слабый минимум. 59 37) австгактные пгостганствл Сильный же минимум не достигается. Достаточно положить 1 у= з!и их; тогда и У= — / з1птях(1 — л созз лх) ах= 1 г и,/ о 1 Л.
1 А 'л л — / з(пзплнх — — / з1пт2пхЫх= — — —, и ./ 2 ./ 2п 4' о о и при и, достаточно большом для наших кривых, Уч„о. С другой стороны, все ети кривые при п достато~но большом лежат в сколь угодно малой окрестности нулевого порядка кривой у= О. Итак, сильный минимум не достигается при у=О. Пример 2, Рассмотрим еще такой пример. Лодка с парусами идет вниз по реке от точки А до точки В. (Реку будем себе представлять в виде канала с параллельными берегами.) Ветер направлен в сторону, противоположную течению реки. Кратчайший путь — путь по прямой АВ вниз по течению.
А В При этом нельзя пользоваться парусом; движение будет совершаться течением воды. Если Черт. 14. двигаться по кривой, мало отличающейся от отрезка АВ направлением (черт. 14, близость первого порядка), то мы не сможем пока пользоваться парусом и вследствие увеличения Л пути удлиним его время. Но при движении зигзагами (черт. 15), под значительным углом к направлению АВ, мы сможем Черт. 15. уже использовать силу ветра, и при достаточной его силе настолько выгадать в скорости, что придем в точку В в более короткий срок чем по прямой АВ. Отрезок АВ даст слабый минимум времени пути, не давая сильного. Для того чтобы не сужать развиваемых дальше методов специфичностью задач вариационного исчисл ния, как задач на разыскание экстремумов интегралов, мы посвятим ближайший параграф рассмотрению функционалов общего вида. Чтобы вести наши построения на языке геометрии, мы предварительно познакомим читателя с теми геометриями, в которых естественнее всего иллюстрировать функционалы.
5 37. Абстрактные пространства Расширение понятий геометрии. Теория функций и переменных нотр бовала расширения геометрической тематики: создания геометрии а измерений. Но н расширенная таким образом геометрия отставала от анализа, поскольку понятие функции вышло за пределы функций н переменных, включив в себя функционалы или функции от линий. Разрыв 60 ОБОБШВНИВ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ АНАЛИЗА [гл. А11 между геометрией и анализом был ликвидирован только после создания Г. Кантором (Сап1ог) теории множеств. Теория множеств рассматривает как единство любое множество произвольных элементов. Если мы распространим на элементы некоторого множества некоторые их взаимоотношения, являющиеся обобщением соответствующих взаимоотношений между точками пространства, мы получим возможность распространить геометрические методы исследования и на это множество.
Таковы взаимоотношения близости двух элементов, предельного элемента для последовательности, понятие окрестности н т. и. Эти понятия свойственны не только точкам и-мериого пространства; как мы убедились в предыдуших параграфах, они легко переносятся, например, на совокупности функций. Можно поэтому сделать дальнейшее расширение теУт матикн геометрии: произвести дальнейшее расширение понятия т 2 пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
