Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Система я+т уравнений для нашей задачи Эйлера распадается на систему и уравнений относительно функций у,: — (Р+~1,Р,) — —,.—,,(Р+~1,Р,)-" =0 д а' д н на систему т уравнений относительно функций Чго которые примут виж — )ч = 0 (1=1, 2,..., т), ах т. е. множители Х, обращаются в постоянные числа. Обратно, рассиотряи задачу: найти экстремум интеграла ь а' = / с (х, у„у„..., у„; у,', уэ',..., у„') ах лри условиях т,(х,уо..., у„; у,', ..., у„') =О (1=1, 2,..., та. и), (82) Пусть нам задана ва отрезке (а, Ь) замкнутая система ортогональнмх функций: и,(а), иэ(х)...
иа(х) "° Каждое из условий (82) эквивалентно счетной системе условий: ь У ° = т,ивах=О (,1=1,2,...; 1=1,2,..., т). а Итак, задача Лагранжа эквивалентна изопериметрической задаче с с ч е тн ы и множеством условий. Если бы мы распространили метод Эйлера для ре- $661 услОВный Вкстгемум (неголономные сВязи) 187 шения нзопериметрической задачи с конечным числоат условий на случай счетного их числа, мы бы должны были свести, нашу задачу к разысканию безусловного экстремума от здесь ь Рб — некоторые постоянные.
СО Обозначим Ь~б(л) = ~ К Убий предполагая сходимость ряда в правой части. Вследствие произвольности коэфициентов Л~~б функции Ф произвольны, н мы получаем правило множителей Лагранжа. Наши рассуждения не являются, конечно, строгими. ГЛАВА Х ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ В 67. Параметрическая форма задания кривых В плоских аадачах мы рассматривали семейство допустимых линий, представляемых уравнениями: у = ~'(х). Поскольку у(х) предполагалась однозначной функцией от х, мы принуждены были ограничиваться линиями, пересекающими прямые, параллельные осн Оу, только в одной точке. Это ограничение с точки зрения приложений к геометрии чрезвычайно сужнвало круг наших рассмотрений: сплошь н рядом экстремум должен был достигаться на линиях, не удовлетворяющих этому условию., Например, в .нзопернметрнческой задаче (й 60) о линии данной длины, ограничивающей вместе с заданным отрезком ося Ох наибольшую площадь, экстремум достигается на дуге окружности, опирающейся на наш отрезок ося Ох как на хорду.
Если длина дуги превышала длину отрезка, умноженного на —,то соответственная дуга окружности уже не удовлетворяла поставленному выше условию. Добавим, что прн наших рассмотрениях координаты х, у неравноправны н поэтому формулы, полученные нами, были неснмметрнчными относительно х н у (напрнмер условие трансверсальностн). В геометрических же задачах координаты, вообще говоря, равноправны. Для того чтобы освободиться от этих неудобств н ограничений, мы перейдем к параметрическому представлению уравнений кривых: х=р(1), у=ф(т). Прн преобразовании параметра (й 10), определяемого уравнением: 1=Хт, мы получим: х = р [Х (т)1 = р, (т), у = ф [Х (т)) = 6, (т); — = — 'Х (т) — = — Х ( ).
«х лх, ау лу лт лг лт ЛГ Требование, чтобы между параметрамн 1 н -. была установлена взаимно-однозначная связь, т. е. чтобы н -. была однозначной функцией ь сводится к требованию, чтобы Х(т) была монотонной функцией. 9 681 головня одногодиости Если мы потребуем сверх того, чтобы при возрастании обоих-параметров 1 и т мы имели обход дуги в одном и том же направлении, то у (т) должна быть возрастающей функцией. Кроме того, потребуем, чтобы у (т) имела непрерывные производные первого порядка ') — = у (т), которая, очевидно, не отрицательна.
Если мы потребуем ат ит также, чтобы сушествовала непрерывная производная обратной функции: то получим: у'(т) ) О. Пример. Уравнение окружности Х = 1? СО51 а (1 — ит) х= —— 1+ из 2аи у= 1+ив у' х'у" — у'х" Выражения — и — — ие меняются при преобразовании параметра. х' з (х'т-(-у'5) '-' В этом можно убедиться как непосредственной проверкой, так и из геометрического смысла этих выражений (угловой коэфицнент касательной и кривизна кривой). В 68.
Условия однородности Вывод условий однородности. Рассмотрим кривую, определяемую уравнением: х=х(1), х=у(г), и на ней дугу, определяемую значениями параметра 1, удовлетворяю- шими неравенству: 1„( 1( 1,. Рассмотрим теперь криволинейный интеграл а, э = / Р(х, у, ~,, ®((1, взятый вдоль этой дуги. При преобразовании параметра интеграл взятый вдоль этой дуги (то и 1,— значения нового параметра, отвечаюшие концами дуги), не равен, вообще говоря, интегралу э'.
Требование 5) Точнее 2(т) должно иметь непрерывные производные того же порядка, какой должна иметь по условиям задачи функции х(1) и у(1). ( †к(к) у=а мп г посредством преобразования (я — =и илн 1=2 агс1яи переходит в урав- 2 пение: 190 влгилционные злдлчи в плвлмвтгнчаской еогмв (гл. Х независимости интеграла / РЖ, взятого вдоль дуги, от накладывает, очевидно, некоторые ограничения на Р. ' Пусть 1 = у (т); тогда ч параметра Равенство х'=л', дает нам: и ч н Р(х,у, —,, —,)у'=г".(х,у,х',у'). Здесь у.'(т) ) О, и при соответственном выборе функции Х(т),у' может принять любое положительное значение А. Итак, при любом л ) 0 лг" (х, у, —, г ) = г" (х, у, х',у') 1 или, обозначая — = в: л Р(х,у, й,х', й,у') = А, Е(х,у, х',у'). (2) Таким образом функция Р четырех переменных х, у,х',у' является положительно однородной первой степени относительно х', у' '). В силу теоремы Эйлера об однородных функциях Р'= х'Р' +у'Р„.
(3) В дальнейшем мы будем без оговорок предполагать условие однородности выполненным. В этом случае интеграл У = / Р (х, у, х', у') Н, г) Положктельно однородной функцией р-го порядкз относительно переменных (х,х, ..., хм) называется функция у(хыхз,...,х~; х +,...,х„), удовлетвйряюшая условию у(дхм Лхз,..., Лхы; х +, .', хк) = Лг/(хох„..., х„,; х ...х„) прн л)0. Если мы потребуем, чтобы независимость интеграла У от выбора параметра имела место для любой дуги, в частности для любой дуги нашей кривой, то равенство (1) имеет место для любых значений верхнего и нижнего предела (лишь бы то(-., и функции х(г), у(т) были для соответственных значений т определены).
Фиксировав нижний придел то будем рассматривать оба интеграла как функции верхнего предела. Совпадение этих функций влечет за собой совпадение их производных, т. е. 19$ й 68] УСЛОВИЯ ОДНОРОДНОСТИ взятый вдоль некоторой дуги, определяемой уравнением Х=ХЩ, у=у(1), зависит только от этой дуги, но не зависит от параметрического ее представления. Аналогично, для интеграла У / Г (хг> хя,..., х„> хг > ха,..., х„) >Й, взятого в и-мернои пространстве вдоль кривой: х, = х> Й) (1=1,2,...,и), условие независимости от выбора параметрического представления последней будет: Отсюда следует: г' (хп > х > х1 ' > х» ) >Й = г' (х1»... х„> ахп...
> 0х„)> где х1Х>=х,.'>Й. Интегралу а' можно таким образом придать вид: У= / Р'(х„...,х>адх,азха,...,~1х„); Г есть положительная однородная функция первой степени относительно Нхо Ыхз,...,Их„. Приведем ряд примеров функций линии а'= /Го>А когда г> удовлетворяет условиям однородности. Пример 1. Площадь, ограничеяная замкнутой кривой, выражается интегралом: У х лу — у а>х, взвтым вдоль этой кривой. Прммер 2. Длина дуги кривой в л-мерном евклндовом пространстве выражается интегралом> / 3l ~ага+ >1хзв+... + >хх„з (перед корнем всегда ставится знак плюс).
Пример 3. Длина дуги кривой в л-мерном римаиовом пространстве выражается интегралом '~, а„Ух,г1ха, У юв= х где ам — некоторые функции точки. Во всех трех примерах подннтегральные выражения суть положительно олнородные функции первой степени относительно диференциалов. Пример 4. Прн переходе к параметрическому представлению линий интересный вид принимает важный в механике интеграл действия 8= /1и+ т)л, где У вЂ” потенциальная функция, Т вЂ” кинетнческзя энергия. 192 ВАРиАциоиные ЕАЕАчи В ИАРАметРической ФОРме [гл. Х Имеем: дт чьч ау, тдеР= — — импУльсы д — ИРостРанственные кооРдвнаты,лг Р; — — У = Е— д~т, > ' «ар лг ь У= /у(х,у,у') Ж, после введения параметра 1, через который выражается х, а значит и у, примет вид: у= ~ у(х,у, «,)х'И.
«тт Очевидно, что ху(х,у, — ) есть однородная функция первой степени относительно х', у', так как, умножив х' и у' иа й, мы получим: мх'у(х,у, —,) . Наоборот, пусть нам дан интеграл т'= / р(х,у, х',у')щ взятый вдоль некоторой линии. Если можно за параметр 1 принять абсциссу х, то: х'= 1~, у'= — „, (4) Г(х,у, х', у') = р(х,у, 1,у') =у(х,у,у'), (5) и мы получим: / Е (х, у, х', у') <И = д~ У(х, у, у') Их. Из (3), (4) и (5) следует: Е„=У„О Е.
= — „', (Š— УЕ„) =У вЂ” у'.У,. (6) Таким образом интегралы / Р (х,у, х', у') Ог три специальном выборе параметра 1=х переходят в интегралы вида / у(х, у, у') Ых, изученные нами в гл. т' и ЧИ. полная энергия системы. Введя параметр т, через который выражается время б а следовательно, и пРосгРанственные кооРдинаты оь полУчаем: 5 = ~ (~~ р,— ~' — Е)Я = / (~р,— -' — Š— -) л'т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
