Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(46) .+о Уравнения Эйлера означают обращение в нуль нормальной функциональной производной от з'(7) в любой точке по любому направлению. Дадим сейчас новый вывод уравнений Эйлера, полезный для дальнейшего. Пусть в некоторой точке А кривой 7 для некоторого направления 'нормальная функциональная производная 1Р; А, соз Ц отлична от нуля. 'Додобрав соседнюю кривую уы для которой главная часть приращения д((,) — х(7) в направлении (совр,) вектора смешения сводится к вари- .У(7,) — У(7) — 1Р; А, созЦ о, 1М ивменив направление вектора смещения на обратное, получим новую кривую т„ для которой: У(уя) —,У(7) — ( — Р; А, созЦ е.
Зместе с нормальной вариацией, при достаточно малом о и г(7, 7,), меняет знак и приращение функционала. Следовательно, ( не дает нам экстремума у(1). Итак, во всякой точке экстремальной кривой 7 для 'любого нормального к ней направления имеем: (гх, х- Е ь) сов Рй=О, где совр, определяет любое направление, ортогональное кривой 7. В таком Клучае вектор а с компонентами: Хи Х, ..., Х„, где Х,=Š— -- Е,„ ь х| йв хьюг должен быть направлен цо касательной к кривой 7. С другой стороны, фз формулы однородности (22) 2 70 следует: )~~к,' (Š— — Р ° ) = '~„(Р,— — „х Е, ° ) сова, =О, де соз а, — направляющие косинусы касательной к ( в точке А, .
е. вектор а ортогонален к 7; отсюда а=О или й Р— — Г = 0 (1 = 1, 2, ..., и). йх хь 210 Ваанлционныи задачи В пьеамвтгнчвскоЭ еогмв (гл. Х Пример. В трехмерном пространстве рассмотрим функционал Г(т) = / г' х +у'~+«'ь г(г. у(т) выражает, очевидно, длину кривой р Обозначим через соМь соз а< П = 1, 2, 3) направляющие косинусы касакельяой н глазной нормали к крнвой т в точке Р. Полагая Р = )г «'~+у'~+. г'~, получим: «' Г; .. = сазан у «'е -ь у и+ «'-' По формуле Серра-Френе: и сока, à — — Р'= —, Х гле гт — радиус кривизны кривой т в точке А. Аналогично: А Е, г — — г' иг е' д Огсюда: ! %ч соз т (Г; А, сов Я = — лт соз Р,соь 8, = —, 1Г Льа где т есть угол менку главной нормалью и нормальным наяравлениеи: (соз рп соз рэ соз Гз).
Условный экстремум. Пусть мы рассматриваем в и-мерном пространстве (х„ х, ..., х„) и — й-мерное многообразие )ч, определенное уравнениями: ф,(х,, х„, ..., х„) =0 (ю'=1, 2, ..., й < и). На классе ((,' допустимых линия, расположенных на гт", задан функционал у(Т) = У Е'(хп хг') гй.
Бесконечно малые векторы смещения (ох,), соединяющие точку А кривой ( из ('() с бесконечно близкой кривой того же класса уп расположены в и — й-мерном линейном многообразии, касательном к )ч" в точке А. Допустимыми вариациями в точке являются, следовательно, вариации, при которых вектор смещения расположен в линейном многообразии, Касательном к М. Условие экстремума (см.
рассужденине $66) заключается в там, чтобы при этих допустимых вариацивх вариация У(у) обращалась в нуль, или, что то же самое, нормальные функциональные производные (гч; А, совр,) от функционала э(() обращаются в нуль в каждой точке А кривой 1 для каждого направления (совр,), нормального к ( и расположенного в касательном к М в точке А линейном многообразии. 211 $72) пвиложаиия к тяовии гаодззичзских й 72. Приложения к теории геодезических Геодезические на поверхности.
На поверхности 7(х, у, я)= О ищем 'кратчайшую линию 1, соединяющую две заданных точки этой поверхности. Для функционала (см. пример в $ 71) н1~ = /'~'~+7' я-О а (48) нормальная функциональная производная ',Р; А, соз р,] равна где 6 — угол иежду направлением вектора смещения (соз 8„сов 8я, соз рв) н главной нормалью. Если кривая т есть экстремаль, то в каждой ее точке для всякого смещения АА,: (соври соярз, созрз), расположенного в плоскости Р, касательной в А к поверхности у = О, имеем: соз 8 зг Так как направление АА, нормально к кривой 7 (черт.
32), то плоскость, проходящая через Черт. 32. 'ААг н через главную нормаль АМ, является иормальной плоскостью к кривой 7 в точке А, и, следовательно, она ортогональна к плоскости Р. Угол 8 между АМ и АА, есть угол между АМ н Р. соз 8 к Условие — = О дает нам: нли 0 = †; направление главной нор- 2' мали совпадает с нормалью к поверхности, или сс= оо; точка А есть точка перегиба, направление главной нормали неопределенно. Получаем снова известный нам результат в несколько более уточненной форме. соз 8 П р и и е ч а и и с. Выражение — — — называется зеодвзичесной нривизной Ю кривая т в точке А. Геодезическая винна есть кривая с равной иузю геодеЬической кривизной.
Норзгалзная функциональная производная (в двиной точке) ут длины кривой на новерхности есть ее тодвзичесная кривизна. Изоперипетрическаи задача на поверхности. Пусть нам дана ие8зоторая поверхность о. Обозначим через 17) совокупность замкнутых цгривых класса С„расположенных на поверхности Ю.
Пусть, кроме того, р каждой точке А поверхности 3 задана функция точки: Р=Р(А) (Р(А) ~ О). Обозначая через сна элемент поверхности 8 и через 8;) часть (одну ж частей) поверхности 3, ограниченную замкнутой кривой т, рассмойрнм интеграл У~ (7) г г ~ам е ,,(т) будет функцией линии 7. 212 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ Е ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ [ГЛ. Х Разберем следующую закачу: среди всех замкнутых ланий класса [ ([, для аюторых У, (у) = Е= сопя(., Определить линию наименьшей длины. Для решения поставленной задачи отметим на линии ( некоторую фиксированную точку Р и точку Р,. Проварьнс[уем кривую ( в окрестностях точек Р и Р, н обозначим через а и а,, как раньше, площадки, ограниченные ( и проварьнрованной кривой (о расположена в окрестности точки Р, а, — в окрестностн точки Р,), кроме того, о, о, считаются со знаком плюс, если расположены вне (е, и со знаком минус, если расположены внутри ьг.
Очевидно, имеем: Уг ()'г) — уг(() Р(Р) о+ Р(Р ) а, где (, — проварьированная кривая. Кроме того, обозначая через У(() длину линии (, на основании предыдущего имеем: Р(Р) а [ Р(Р,)о, =О 0 (Р) а+ 0 (Рг) о~ — — О, и, кроме того: т. е. чтобы в каждой точке Р, дуги ( выполнялось равенство; (49) где Решим теперь изопериметрическую задачу в узком смысле на поверхности: среди всех замкнут х кривых, ограничивающих на поверхности данную площадь, найти кратчайшую. В данном случее и в силу предыдущего: 0 = Л = сопз(.
Итак, экстремальная кривая есть замкнутая кривая постоянной геодезической кривизны. По принципу взаимности эта же кривая реализует максимум площади ограниченной кривой прн заданной длине. г) Вполне строгим этот вывод пРавила множителей Э~авера может быть сделан так же, как в $60.
где 0(Х) есть геодезическая кривизна линии Т з точке Х. Для того чтобы ( решала поставленную задачу, необходимо, чтобы для всякой допустимой вариации $72] пгиложвиня к твогии гаодезичаских жз Обратим внимание, что, вообще говоря, кривая постоянной геодезической кривизны не совпадает с геодезической окружностью. Заминутые геодезические на выпуклых поверхностях. Воспользуемся предыдущими методами для исследования некоторых свойств замкнутых выпуклых поверхностей (на выпуклых поверхностях мы имеем постоянно положительную гауссову кривизну). На всякой замкнугпой выпуклой поверхности Б имеется по крайней мере одна замкнутая геодезическая '). Пусть ье — некоторая область поверхности 3, ограниченная кривой 7.
Назовем полной кривизной области ьт интеграл: где Г есть гауссова кривизна поверхности. В силу теоремы Гаусса- Бине: У, (7) = ~ ~ Г до = 2я — / О йв, где 0 есть геодезическая кривизна кривой 7. Полная кривизна выпуклой замкнутой поверхности Я равна 4я. Кривая 7 называется делящей 3 по кривизне пополам, если она делит о на две части одинаковой полной кривизны (черт. ЗЗ). Очевидно, для такой кривой: А(Т) =2- / ттав=О.
т Черт. ЗЗ. Будем искать среди кривых 7 класса С„ делящих Я по кривизне пополам, кривую кратчайшей длины, Положим: У(7) = / йв. Мы ищем, таким образом, минимум 1(7) при условии /, (7) = 2т.. Применяя метод„развитый нами ниже в $80, можно доказать, что искомый минимум достигается на Некоторой кривой из семейства (7). Докажем, что зта кривая есть геодезическая. В самом деле, применяя формулу (49), для минимальной кривой мы получим: (50) О =ЛГ.
1) Это свойство выражает теорему Пуанкаре. 214 вленлциоиныв злдлчи в плелмвтеичаской еоема 1гл. Х Так как дли нашей кривой то 1ГЫ= О, (51) Но на новерхности о Г > О, следовательно, /Гие>О. в равенства 150) н (51) дают нам: 1=0, 0 =- О: исяомая аяслгремальная «риеая еслгь эамннутая геодезичесяая линия (черт. 33).
ГЛАВА Х! РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ 5 73. Ломаиые экстремали Рвсширеиие класса допустимых линий. Рассмотрим функционал, изучаемый в простейшей задаче вариациоииого исчислеиия: т У= / Р(х, у, у') д. мли в параметрической форме: ) = / Р(х, у,, у') йА где р суть функции непрерывные вместе со своими частными произ'волиыми до третьего порядка, кроме того, функция р(х, у, х', у') удовлетворяет обычным условиям однородности.
Принимая аа класс допустимых линий кривые класса С, соединяющие две данные точки А и В, мы отмечали, что в силу иекомпактиости этого класса кривых может случиться, что среди допустимых линий ие существует кривой, вдоль которой функционал принимает минимальное или максимальиоезиачеиие. 'Естественно в этих случаях искать экстремум среди кривых более общего вида, чем кривые класса С,.
Первое расширение задачи вариациоииого исчислеиия в этом направлении было дано Вейерштрассом, который стал рассматривать в качестве допустимых линий линии с точками перелома. Для краткости изложения введем одно определение. Мы скажем, что кривая 1 принадлежит классу Оп если т есть простая дуга Жордаиа и состоит из конечного числа дуг класса С,. (Если рассматривается функционал 1, то в определеиии С), класс С, понимается в смысле гл. Ч1, мри рассмотреиии функционала 1 класс С, понимается в смысле гл. Х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
