Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 37
Текст из файла (страница 37)
о г) Поскольку мы пространство ве считаем линейным, вариация понимается в смысле 9 4е. Этим самым наша теорема полностью доказана. Приведем теперь вкратце второй вывод теоремы, основанный на рассмотрении вариации 8.г(Т) функционала г(Т), т. е. главной линейной части приращения '). Пусть на классе [Т] допустимых линий параметр 1 в параметрическом представлении кривых меняется от О до 1, т.
е. 198 ЕАРиАционные ЕАЕАчи В пАРАметРическОЙ ФОРме [Гл. Х Условие ЗУ= 0 требует обращения в тождества уравнений: вдоль кривой т и для случая свободных концов условий трансверсальности: г 6х+ Р'„,Зу=О для каждого конца. Вейерштрассова форма уравнений Эйлера-Лагранжа.
Легко видеть, что уравнения (14) не независимы. В самом деле, если для пространственной кривой т,: х=х(1), у=у(1) имеем 3У,(т,) = — О, то для всякой, кривой Т;. = «[Лг)1 .Р =У У(г)1 также имеем АУ„(Т,) — = О, где у" (1) есть произвольная возрастающая диференцируемая функция. Следовательно, если кривая х=х(г), у =у(г) есть интеграл системы (14), то х=х[у(г)), у =у[у(1)] при произвольной функции 1(г) будет также интегралом системы (14). Отсюда заключаем, что одну из функций х(А), у(г) можно задать произвольно, после чего другую можно найти, интегрируя любое из уравнений системы (14). Аналитически это обстоятельство вытекает из того, что оба уравнения (14) являются следствиями одного уравнения. Из формул (8), (9), (10) предыдущего параграфа следует: Р' — — Р,=(х'Р',+у'Г~м) — (х'Р~, +у'г",,+х"Р' ...+у"Р, ) = =у'[1'.Р— ~.,Р— ~1 (х'У вЂ” .Р')).
(19) Аналогично: Є— — г", = — х' [Р~, — г" „, — г", (х'у" — х'у')). (19') Так как обе производных х', у' не могут одновременно обращаться в нуль, то уравнения (14) эквивалентны одному уравнению: Е' „,— Р~, — г",(х'у" — х"у')=О. (20) Это есть так, называемая аейеритрассова форма уравнения Эйлера- Лагранжа. 199 6 69] экстгвмзмы эвикций от лини« Вейерштрассова форма ураввеиия Эйлера записывается иногда в следующем виде: ачг вх (20') Г В р'„(х'а „~. уез) е где г †ради кривизны экстремали.
Ииварйаитиость вейерштрассовой формы уравиеиия. Отметим сейчас же одно важное свойство уравнения (20): вейерттрассова форма уравнения Эйлера остается инвариантной по отношению к преобразованию параметра. 1 В самом деле, кривизна — кривой ие зависит от ее параметрического Г вида. Функции Р „г", и их разность есть функции положительное в" цФ' однородные пулевой степени относительно х', у', а функция Р, — однородная степени — 3 и (х'Я +у'в)' — однородная степени + 3 относительно х', у'.
Правая часть уравнения (20) есть, следовательно, функция положительно однородная нулевой степени относительно х', у', т. е. оиа ие изменяется от умножения аргументов Х', у' иа положительное число. Но переход от параметра с к т заключается в умножении х' и у' бс иа —, которое мы считаем положительным. бт ' Вторая вариация. Если первая вариация функционала и У(т)= У Р(х, у,, у')бС ь обращается в нуль, то главной частью приращения будет вторая вариация йзl, которую мы вычислим, как в 6 52: и 3зу= / (Р',,йх'в+2Р',,Зх'Зу'+Р,„,йу'з)бС+ ь и +2 / (Г йхоу'+ Р е,йуох'+Р~~,йхох'+Р„,йуйу ) ас-( ч + / (р йхз+2р оу+ Р йув) Ж., я Вспомиим теперь результаты 6 52.
Необходимым условием мииимума З является иеотрицательиость второй вариации, это в свою очередь требует иеотрицательиости квадратической формы: А = Р,,йх'в+ 2Р',„,йх'йу'+ Г „,йу'в, Из формулы (9) следует: А = г, (у'х — х'у)в. Условия А)~0 сводятся к условию Р,)~0. Отсюда следует теорема (аиалог условию Лежандра): необходимое условие минимума заключается в требовании Г,)~0. 2ОО ЕАРИАционные ЗАдАчи в ИАРАмвтРической ФОРме (гл. Х 5 70. Обобщения и приложения Ивопернметрическая задача.
Используя результаты гл. 1Х, можно легко получить основные необходимые условия для изопернметрнческой задачи в 'параметрической форме. Пусть среди линий у: х = х (г), у = у ( 1) класса С„соединяюших две данные точки А и В и удовлетворяющих условию: К(т) = / О (х, у, х', у') ггг = г' = со пз1.
т ищется линия, вдоль которой функционал: л'(»= / Р(х,у, х',у') г принимает экстремальное значение. Мы при этом, как раньше, предполагаем, что функции г' и О удовлетворяют условиям однородности и днференцируемости. ТЕОРЕМА. Если кривая 1 дает искомый экстремум, то существует постоянное число Л такое, что Т есть экстремаль для функционала: .гг(7) = / (г+ЛО) гс.
Пример. Среди всех замкнутих линий, ограничивающих данную нлощады найти ту, длина которой минимальна. Замкнутую линию мы рассматриваем как линию, у которой начало совпадает с концом. Итак, пусть уравнения: х = х (г) (х (гь) = х (гг)), г <с<с есть уравнения произвольной замкнутой линии. Ищем экстремум интеграла У и ( "з+уг9' йг при условии (ху' — ух') аг = С. У Обознача» через з Г= (хгг+угг)з + Л(хуг — хгу), имеем: в р — р,=Л, рг= =('г+угт)з. р аз' ях' ' — хгу' Лля кривой, дающей экстремум, нз условия (20) предыдущего параграфа следует: — = Л. 1 г Кривизна вдоль нашей замкнутой дуги постоянна.
Значит„она есть окружность. 3 70] 201 ововшвиия и пвиложения Случай л независимых переменных. Рассмотрим интеграл У ""'- '''.' Р (х„хи..., х„, х,', х.,',..., х„') И, взятый вдоль некоторой кривой: х, = х,(Х) (г= 1, 2,..., и). е есть положительно-однородная функция первой степени относительно всех х,'. При этих условиях наш интеграл зависит только от пути интеграции, но не зависит от его параметрического представления. Применяя рассуждения, аналогичные предыдущим, получим основные необходимые условия для экстремума этого интеграла в форме: В развернутом виде уравнение (21) принимает вид: — ~~1~~ х'.
Г, — ~~1~~ х Р~,, = 0 (21') и уравнений системы (21) или (21') не независимы. Они связаньь соотношением: (21) ) х' ~Р' — — „~ Р~,~ 4=1 (24) ,~~~х г' — ~~' х,хР, — ~~'„х х ее,е, =О. (22). ! 4 гт ге Это тождество есть следствие условий однородности. В самом деле, из теоремы Эйлера получим: е = ~ х,'.г" ° (23) е Диференцируя (23) х, и х', получаем: Р'„= ~ь х,' ~ Р', = ~ х',Р',, +Р,, т. е. ~1 х,'Р,, =О. (23) Педстановка (24) и (25) в правую часть (22) доказывает нам это тожлество.
Геодезические линии. Пусть на и-мерном римановом многообразии длина дуги определяется интегралом где /'д., гЬЯ = ~„а,„г7х,г7хь1), Линии, вдоль которых 3 /аз=О, называются геодезическими. г) Здесь аи суть непрерывные дифереицяруемые функции аргументов хп..., х„. Кроме того, форма аег предполагается положительно определеняой, 202 влгнлцнонные злдлчи в плглмегенческой вовне [гл. Х Так как ./ ' = ./ у' .'Еа<л «Г' «г «' где г — параметр, то геодезические 'линии определяются нз уравнения: »~~ 1 дам <ГХ, аХ„« ~т а,» «Х» — =0, » ь<»< е дхз «г «г «г» 1/е «г аде для краткости обозначено а'х, ахл л<= га «г ат ' Если параметр совпадает с длиной дуги з, то 8=1 и уравнение (26) »перейдет в 1 ~п дам «х< «х„ « '~з «х» — — — = — ~а 2 < < дх. «а «а «з<Й о «з или <,ь ,Дадим более компактную форму уравнения (27), разрешенную отно«зх< сительно <«а»1 Так как при двойном суммировании по» и а Х вЂ”;— дап ах, «хл у дал.
«х» «хл дхл «а «а ~~ дх» «а «г .то отсюда мы можем записать уравнение (27) в следующем виде: Если ад суть элементы определителя, обратного ~а»1 (, то -' — "'= —,' Х пХ(' —;.",+ — "."',-~)ЙЙ Отсюда, обозначая: да, дал~ да,„ 71 а< дхл + дх дх < » получим следующий окончательный вид уравнений геодезической зинни: «х» 1%ч <д» «х» «х< «зз 2з.з»а «з «з Принцип Якоби.
Принцип Гамильтона (2 51) определяет движение механической системы из уравнения 8 /'(и+ 7) «1 = 0. (28) Подинтегральное выражение для консервативной системы в уравнении (28) не содержит времени 1 в явном виде. Если система консервативна, ововщвиия и пгиложвния 203 8 70] то можно придать уравнению (28) форму, в которую 1 не входит также под знаком диференциала. Условие консервативности имеет вид: У вЂ” Т= Ь= сопз1., (29) где ад» ач» Т=~ а — Да и йс (29') Отсюда (31) г~й= )/ .с.'»аг»йд~йд» . )си+а»' с,» (30) Из (28) и (29) следует, что лля действительного движения 8 /(2и+й) и=О при условии (29), (29'). Но 8 ~ йод=О, Следовательно: 8 / ((г'+й)ос=О.
Подставив (30) в формулу (31), получим: о / ~/ (Б+ Ь) ~', а,»йд»йд» = О. (32) Уравнение (32) выражает так называемый лриниии Якоби. Если рассмотреть пространство (д„д„..., д„) с метрикой, опре- деляемой квадратической формой: йз~ = (У+ й) ) а,»йд,йд», то траектории определяются как геодезические линии в этом пространстве. В случае одной материальной точки: '=+-(( — ".)'+( —.")'+( —.)'1 Жз»з = — (йхя+ с(уз+ Жвз) = — йз, 2 где аз — линейный элемент в евклидовом пространстве (х, у, х), и прин- цип Якоби обращается в принцип Мопертюи-Эйлера ($29): 8 ~ ~/ (1+1»аз=О или 3 / ойз=О.
Для случая движения п9 поверхности при отсутствии внешних сил о = соней Траектория определяется условием йс~ йз=О; траектория есть геодезическая линия на этой поверхности (принцип Герца). Так как абсолютная величина скорости при таком движении по- стоянна, то тангеициальное ускорение отсутствует. Налицо только нор- мальное ускорение, направленное по главной нормали к траектории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
