Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 36
Текст из файла (страница 36)
т Это выражение для действия, симметрично относительно пространственных координат д, и временной координаты а при этом импульсам р, для пространственных координат отвечает полная энергия Е для врененной, взятая с обратным знаком. Специальные параметрические представления. Интеграл 193 зкстгвмумы етнкций от линии 9 691 Во многих задачах в качестве параметра на кривой 1 выбирают длину з 1дуга, отсчитываемая от начальной точки кривой до заданной точки). В этом случае: х'= — =созО, у = — =з1пО, лх, лу л где Π— угол, образуемыйкасательнойк кривой 7 с осью Ох.
Имеем: Р(х,у,х',у')Ж=/ Р(х,у, созО, яп О)гй= ~~(х,у, О) 1з, У где /(х, у, О) = Р (х,у, соз О, з1п О). Следствия условий однородности. Так как Р есть однородная функция первой степени относительно х' и у', то из теоремы Эйлера об однородных функциях следует: Р = х'Р, + у'Р,. (7) Диференцируя (7) по х' и у', получаем после очевидных сокращений: С8) Из (8) следует: х~у~ ум — — — Р, (9) где Р, = Р, (х, у, х', у') есть положительно однородная функция степени — 3 относительно х', у'. В самом деле, при диференцированни по х', у' порядок однородности понижается каждый раз на,единицу; поэтому г „ Р'„, суть однородные функции нулевого порядка; Р', „ Р', „ Р',, — порядка однородности — 1.
Так как Г получается из функций в'у' в порядка однородности — 1 делением их на однородные выражения порядка 2, то Р, есть положительно однородная функция порядка — 3. Диференцирование (7) по х и у даст нам: Е'„= х' Г„, +у' Г 9 69. Экстремумы функций от линии Близость кривых. Если г удовлетворяет условию однородности, то У Р~й есть функция от линии, так как зависит только от кривой инте'грации, но не зависит от выбора ее параметрического представления.
194 ЗАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ (гл. Х Естественно распространить развитую выше теорию экстремумов функций от линий: / у(х, у, у')ах на наши новые функции от линии. Определим прежде всего понятие близости двух кривых (с непрерывно вращающейся касательной). Мы скажем, что кривая (1 находится в г-близости нулевого порядка от кривой (, если между всеми точками у и т1 можно установить взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное соответствие так, чтобы расстояние между соответствующими точками не превосходило а. Мы скажем (аналогично), что 'кривая т1 находится в а-близости перво го порядка кривой (г если между всеми точками ) и (1 можно установить взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное соответствие так, чтобы: 1) расстояние между соответствующими точками не превосходило числа а, 2) угол между касательными (меньший — ~ к ( и т, проведенными 2/ 1 в соответствующих друг другу точках, не превосходил е.
.Пр и меч а н не. Совокупность кривых т с непрерывно вращающейся каса тельной образует метрическое пространство, если под расстоянием г(п 11) мы назовем нижнюю грань чисел а таких, что П находится в Ф-близости первого порядка к т (и обратно). Вывод необходимых условий. Имея понятие а-близости, мы можем автоматически распространить основные понятия вариационного исчисления: а-окрестность нулевого и первого порядка, абсолютный экстремум, относительный экстремум, слабый и сильный экстремумы, на функции линий: раесматриваемые нами в этой главе. Начнем, как обычно, с вывода основных необходимых условий, которым должна удовлетворять кривая, реализующая экстремум. Прн этом мы сразу примем за класс допустимых линий все кривые, обладающие непрерывно вращающимися касательными (класс С,) и соединяющие точки двух данных кривых.
11усть задан класс ( () допустимых линий с непрерывно вращающимися касательными, концы которых лежат на заданных кривых Г, и Г, определенных уравнениями Ф(х, у) =О, ф(х, у)=0. На кривых класса ( т ) определен функционал У(() = / г'(х, у, х', у')'111= — / г' (х, у, пх, 1(у), (11) 1 1 где г' — непрерывная функция, имеющая непрерывные частные производные первых двух порядков по аргументам х, у, х', у', кроме того, г' является положительно однородной первой степени относительно х', у', $69)' 195 экствемэмы эвикций от линии ТЕОРЕМА. Если кривая т, заданная в нараметрическо.я видеуравнениями х = х (1), у = у (1), реализует экстремум функционала У(Т), то: 1) х (1) и у (1) удовлетворяют уравнениям Эйлера: (12) 2) на концах кривой,т удовлетворяются соотношенияс Ев — = — (иа кояце, лежащем иа кривой Г,), — = — — (иа конце, лежащем иа кривой Г,).
(13) Если одна из кривых Г, нлн Г, или обе сводятся к точке (конец фиксирован), соответственное условие (13) заменяется требованием, чтобы Т проходила через эту точку. Соотношения (13) называются условиями трансверсальности. Кривая 1: х = х (1), у =у (1), х = х (~), у =у (1) в пространстве (1, х, у) и использовать результаты гл. Н11!. 2. Ввести для наших функционалов / Ейг понятие вариации как главной линейной части приращения функционала и искать необходимые условия экстремума, приравнивая вариацию нулю.
Мы приведем оба доказательства, причем начнем с первого. Пусть т: х = х (1), у = у (1) есть произвольная плоская кривая класса С, плоскости хОу, соединяющая точку кривой Г, с точкой кривой Гя. Обозначим через ае, Ф и % цилиндрические поверхности, расположенные в пространстве (~, х, у) с образующими, параллельными оси 01, и пересекающие плоскость хОу где х (1) и у (1) удовлетворяют уравнению Эйлера, называется экстремальной для э (Т). Нашу теорему можно формулировать следующим образом: Яля того чтобы кривая т давала экстремум интегралу У(1), необходимо, чтобы ( была экстремалью и чтобы на свободных концах удовлетворялись условия трансверсальности.
Формулированную теорему можно доказать двумя различными спо' собами: 1. Рассматривать наш функционал как функцию пространственной кривой: ЕАРиАционные ЕАЕАчи В пАРАметРическОЙ ФОРме 1гл. Х 196 соответственно по кривым т, Äà . Обозначим через т, п р о с т р а потаенную кривую (пространства (1, х, у)], заданную уравнением; х=х(1), у=у®.
КРиваЯ Ты очевидно, пРинадлежит повеРхности Я и соединиет точки поверхностей Ф и %'; проекция Т, на плоскость (х, у) есть кривая т. Всевозможным параметрическим представлениям плоской кривой т в пространстве (1, х, у) будут соответствовать всевозможные кривые Ты расположенные на цилиндре Я и соединяющие точки цилиндров Ф и 1Р'.
Так как функционал у(1) зависит только от вида линии т и не зависит от ее параметрического изображения, то, следовательно, функционал пространственной кривой: У, (т ) = / Р (х, у, х', у') ~й т~ будет зависеть только от вида цилиндра ьг. Отсюда следует, что если кривая Т дает экстремум функционалу У(Т) среди плоских линий (класса С,), соединяющих произвольную точку кривой Г, с произвольной точкой кривой Г„то пространственная кривая будет реализовать экстремум функционала 71 (т,) среди всех пространственных кривых х=х(~), у=уф класса С„соединяющих произвольную точку цилиндрической поверхности Ф с произвольной точкой цилиндрической поверхности Аг. На основании теории экстремумов для пространственных линий имеем вдоль экстремальной линии; (14) г- — — Р, =О, и я лг у' а на концах условие трансверсальности: (à — х'Г, — у'Р„,) Ы+ Р, Зх+ Р„, 3у = О, (15) где 81, Зх, бу суть приращения координат при допустимом сдвиге конца линии т,.
Из условий однородности (равенства (10)) получаем: à — х'Г, — у'Г„, = О, и условие (15) принимает вид: Р', йх+ Р, бу = О. (16) Лля конца, лежащего на кривой Гы приращения Зх и бу связаны соотношением: р,Ох+о„оу = О. (17) Из (16) и (17) следует: (18) $69] 197 экстгвмтмы отнкций от линии Аналогично, для конца, лежащего на кривой Гэ: б ох+ фаоу= О, откуда (18') У(Т) = / Г(х, У, х', У') Ж.
Пусть уравнения близких кривых Т и Т имеют вид: х=х(1), у=у(г); х = х.(1) = х+ ох, у =у (1) = у+ оу Т: Т: Отсюда г -у(Т) — у(Т)= / [ гт [х(г),у(г),х'(Г),у'(1)] — го[х(г),у(г), х'(1),у'(1)]] ог о / [ Г„йх+ гч еу + Р',Зх'+ г".,оу' ] Ж о Выражение: 1 8У(Т) = / (Р' ох+ гч 3у+Р~,йх'+Р' йу') лг, о главная линейная часть приращения у(Т), называется вариацией г(Т). Условие того, чтобы кривая Т реализовала экстремум, заключается в тождественном исчезновении вариации: ог(1) = — О. Преобразованием Лагранжа мы приводим вариацию оУ к виду: йз (Т) = [Г~,ох+ Р',оу],, — [Р,йх+ Р„,оу], + 1 ,-]- / ~(Г, — — „", Г ) 8х+ (Ä— —,", Г„,) йу~ ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
