Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Общий конец двух кривых класса С„ составляющих т, мы будем иазывать точкой лерелома кривой т. Расширение задачи вариациоииого исчисления, данное Вейерштрассом, Ваключается в следующем: найти экстремум функционала у или у, принимая за класс допустимых линий кривые класса 0п соединяющие две данные точки. Мы ограничимся в этой задаче, как и раньше, выводом осиоввых пеобходимых условий, дающих возможность фактического определения 'искомой кривой, реализующей экстремум.
При этом мы проведем подробио исследование для случая функционала У и будем попутно отмечать соот'ветствующие результаты для функционала 1. [гл. Х1 216 Рлзгызиые зьдачи 3аметим прежде всего, что нижняя (верхняя) граница значений функционала / на классе С, совпадает с нижней (верхней) границей у на классе 1)«. В самом деле, пусть т есть кривая класса 1)« с точками излома А„ Аа, ..., А . В е-окрестности каждой точки А, ааменим кусок кривой Т, попадающий в эту окрестность, дугой окружности, касающейся в концах куска кривой Т, так, чтобы образовавшаяся крил« вая т« принадлежала классу С, (черт.
34). В силу непрерывности функЗ ции е (х, у, х', у') по всем четырем аргументам: х, у, х', у', очевидно, что разность Черт. 34. стремится к нулю вместе с е. Отсюда мы получим такой принципиально важный результат: если минимум )(Т) достигается на классе С, вдоль кривой те, то, расширяя класс допустимых линий линиями класса 1)«, минимум 1(Т) на классе ()« будет достигагпься вдоль той же кривой Тг класса С,. Это замечание может быть распространено на функционал г, а также на функционалы более общего вида (случай и функций, изопериметрическая задача, задача Лагранжа). Таким образом рассмотрение ломаных линий имеет значение лишь тогда, когда экстремум не достигается на линиях класса С„ Вывод необходимых условий.
Перейдем к выводу основного необходимого условия. Для этой цели выберем предварительно для каждой кривой т класса допустимых линий некоторое специальное параметрическое представление. Итак, пусть т — линия класса допустимых линий имеет й точек перелома: А„ Аг, ..., А„, т. е. т состоит из й+ 1 дуг: АА„ А,Аг, ..., АьВ класса С,. Установим вдоль Т параметр ~ меняющийся от О до на АА„от — до — на АА,+,, Я+1 1 «+«' я от до 1 на А„В.
Кривыми, близкими (в смысле близости первого порядка) к кривой т, мы будем считать те кривые класса допустимых линий, которые могут быть разбиты на й + 1 дуг, близких (близость первого порядка) к соответственным дугам кривой Т. За меру близости примем наибольшую из мер близости отдельных соответственных й+ 1 дуг обеих кривых.
Пусть некоторая кривая т класса допустимых линий определяется уравнениями: х х(,) у у(1) производные: х'Я, у'(«) существуют и непрерывны всюду, кроме значений 1= («=1, 2, ..., й). рассмотрим кривую я+1 =«®= (г)+йх(г) 16(~(1,3х(б)=еу(О)=йх(1)=йу(1)=0 у=.у(1) =у(0+буй класса допустимых линий, близкую к кривой Т (близость первого порядка). % Тз) 217 ЛОМАНЫЕ ЭКСТРЕМАЛИ Приращения ох(!), Оу(0 обладают непрерывными производными„ кроме конечного числа точек соответствующих значениям: 1 Э в+1 (1=1, 2, ..., М). При этих обозначениях приращение функционала 1 при переходе от т к т имеет вид: 1 1 1(т) — 1(!) = / Р (х, у, х', у') Ш вЂ” / Р(х, у, х', у') Л О н имеет следующую главную линейную часть (вариацию): И = / (Р,ох+ Р„оу + Р ох'+ Р„оу') М.
О Преобразование Дю-Буа-Реймонда путем интегрирования по частям интеграла / (Р, 3х' +- Р„йу') О!! дает: 1 о(= / (Мох'+№у') л!, О где Если кривая т дает экстремум, то О1= — О при произвольных Ох, йу, удовлетворяющих вышеприведенным условиям. Условие тождественного обращения в нуль вариации о/ дает нам: ~ МЬХ'Ж = О, / гтоу'О!! = — О. На основании леммы Дю-Буа-Рейионда получаем: М= сопз1., ЛГ= сопзй 1 2 Я При ! не равном —, —,..., —, т.
е. в точках, где х'(1) .и у'(!) непрерывны, равенства (2) можно продиференцировать, и мы получим: Р— — Р =О, Є— — „Р„= О. 'Таким образом каждая из дуг т„отвечающая изменению ! между— 1' Я+1 и — (1=0 1, ..., л — 1), есть экстремаль.
1+1 А+1 [гл. Х! 218 елзеывныв зАаьчн В точках перелома: А„ Ая, ..., Ао функции х'(с), у'(С) имеют разрыв; но так как в силу (2) Г, =сопз1.— ~ с,аС, Р =совз1.— / Р'„дС Ф н так как интегралы ~ Р;дС, / Р„с(С изменяются непрерывно при пере- о о 1 ходе через значения С= †, то Р и е' должны меняться непре- в+1' * о рывно при переходе через эти значения, хотя х'(С), у'(С) делают ска- т чок.
Следовательно, в точках перелома С = — имеем: а+1 ~ е'~ос+о е'~оо — о' в' ! В+ о я'! й — о' (4) ~ р(х, у, 1, у') дх = / у(, у, у ) й . Условия (4) примут внд 4~1 о — ук!ь ьо» вЂ” у)'я!о о=У вЂ” у'Уу!,., о, ( ') где 1 есть абсцисса точки перелома. Эти же результаты можно было бы получить следующим образом: для того чтобы кривая т давала минимум интегралу У, необходимо, чтобы каждая ива+1 дуг: ААн А,А, ..., АьВ минимизировала соответствующую часть интеграла 1(т); а так как каждая из этих дуг есть дуга с непрерывной вращающейся касательной, то она должна быть экстремалью. Итак, кривая т должна состоять из а+1 дуг экстремалей. Варьируя точки излома А„ получим, как раньше, условия Вейерштрасса-Эрдмана.
Кривая т, ааданная уравнением х =х (С), у =у(С), называется ломаной зкстремалью интеграла 1(1), если она состоит из конечного числа экстремальных дуг ты то, ..., -1„+, (во внутренних точках которых удовлетворяется уравненнеЭйлера)иеслив точках стыка: А„Аз,..., А„ удовлетворяется условие Вейерштрасса-Эрдмана: рм!с — о маго+о' ~у'~оо — о ~я'!йч-о' Прн этом определении полученные выше результаты можно формули- ровать следующим образом, Условия (4) называются условиями Вейеринирасса-Эрдмана в точках перелома. Если за параметр с принять х, интеграл ! Р(х, т, х', у')дС обращается в интеграл: 219 пгяломлвнив экстгвмллвй ТЕОРВМА. Если среди кривых класса Оп соединяющих точки А и В, кривая т дает экстремум функционалу! или 1, то 1 есть ломаная экстремаль.
Возможность фактического определения кривой. Покажем теперь, что если кривая Т, дающая экстремум функционалу 1, существует, то, пользуясь доказанной теоремой, эту кривую можно фактически определить. Для этой нели рассмотрим вопрос о числе произвольных постоЯнных, входащих в опРеделение кРивой те. КРиваЯ Те состоит нз к+ 1 дУг экстРемалей Тс Семейство экстРемалей есть двУпаРаметРнческое семейство кривых. Следовательно, каждая дуга т, определяется парой постоянных; всего нам надо определить 2й+ 2 постоянных. Далее: на дугах Т, является произвольным положение концов А,, Ар, ..., А .
Выбор точки на луге определяется одной постоянной. Итого в определение кривой те входит За+2 постоянных. Для их определения имеются Зк + 2 условий: дуга т, проходит через точку А, дуга т +, — через точку В (два условия); конец А, дуги тс совпадает с началом дуги (,+, (к условий); в каждой точке перелома А, соблюдаются два условия Вейерштрасса-Эрдмана (2я условий), итого ЗФ+ 2 условия, служащие для определения Зк + 2 постоянных, Вопрос о числе постоянных особенно ясен, когда за параметр принята абсцисса. В этом случае уравнение семейства экстремалей имеет вид: у=у(х, и, р); уравнение каждой из я + 1 дуг 1, имеет вид: у =у(х, ии ~,) (1 = 1, 2, 3, ..., й+ 1). Абсциссы точек перелома обозначим через: $,, 1,, ..., 6ь ,.
Для определения минимизирующей кривой те требуется определение Зк+ 2 определения имеются условия в количестве Зк+ 2: у(1о ио ~с)=у (си и +,, р +,), в' ' гс1- ь я' ~ Ц + о' -т ~ Н вЂ” (~ у ') ~гс+е у(со' "1 Р~)= чо у((ь+и "ге рь) 'ць+и где чеРез"., т1 и (ь и Ц +гобозначеныкооРдинатыданныхточекАиВ. й 74. Преломление экстреиалей Другой, значительно более важный, класс разрывных задач вариационного исчисления составляют задачи, ко~да подинтегральная функция р(х, у,х', у') является разрывной вдоль некоторой линии р(х, у) = О.
К такой задаче мы придем, если будем определять луч света в среде, [гл. Х! 220 глзгывиыз злдлчи плотность которой претерпевает разрыв вдоль некоторой линии (плоская задача) или вдоль некоторой поверхности (пространственная задача). Дадим прежде всего более точную постановку задачи. Формулировка задачи.
Пусть в плоскости хОу дана линия э(х,у) = О, не имеющая особых точек и разбивающая плоскость на две дополнительные области .Р, и Ря. Пусть функция е (х, у, х', у') удовлетворяет условиям однородности (см. й 68) и равномерно непрерывна вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно по всем четырем аргументам в любой конечной области, содержащейся или в Р, или в Р„. Иными словами, мы предполагаем, что Г непрерывна во всей плоскости хОу, кроме линии у = О, вдоль которой г= и ее производные могут иметь разрыв первого рода. Пусть, наконец, точка А принадлежит .Р, и точка В принадлежит Ря. При этих обозначениях изучаемая в настоящем параграф" задача формулируется следующим образом: 'Требуется найти экстремум функционала У = / Р (х, у, х', у') Ш, т принимая за класс допустимых линий линии т, обладающие следуюгцими свойствамиг 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
