Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 42
Текст из файла (страница 42)
бх+ В„Ь) — Г. бх+ Г„бу), ~,1+ (В. б +В„бу),=,+ 4=1 1 + 11 ~(~ — 1 В 1 бх+ („— 1 В 1 бу~ л11. о (13) Обозначим через С„ Ся, ..., С„+, точки, общие для кривой т и кривых г„ г„ ..., г,; г„ гя, ..., га Кривая ( распадается на 11 + 1+ 1 дуг: АС1 С Со СЕСз Сь.„ В. 5'. Каждая из дуг: АС„С,С, ..., С +,В принадлежит классу С1. На кривых ( т( определен функциона 1(Т)= / В(» у х у ) л1 где  — положительно-однородная функция первой степени относительно х', у'. Мы считаем функцию В непрерывной относительно всех четырех аргументов и обладающей непрерывными частными производными первых двух порядков всюду, кроме линий преломления.
При переходе через линии преломления функция Р и ее производные претерпевают разрыв первого рода. Вариация функционала. Рассмотрим две близких линии т и из класса (у), заданных уравнениями: » =»(1)„, у=у(г); (О< 1<1). х =х(г) =х(1)+ох(1), у=у(1) =у(1)+бу(1) Параметр 1 выбран так, чтобы определенным значениям параметра СЛУЧАЙ СВОБОДНЫХ КОНЦОВ 227 Вариация 57(Т) распадается на пять частей: 1. Интеграл в выражении (13), который по-предыдущему мы называем внутренней вариацией. ь+г 2 — 3. Сумма ~ '1 '1 в выражении (13), которая состоит из вариаций г=т в 7 точках преломления и вариаций в я точках отражения. 4.
Член †(Р',Зх +Р„,йу), , который мы согласно терминологии й 54 будем называть вариацией начала. 5. Член (Г~,йх+ Г„Яу) , — вариация конца. Свобода перемещения кривых класса ( Т ) по линии р и ф вызвала появление двух добавочных членов 4) и 5) в выражении для вариации. Вывод необходимых условий. Найдем необходимые условия, которым должна удовлетворять кривая Т для того, чтобы на ней достигался условный экстремум функционала 7(Т). Это условие есть тождественное исчезновение вариации бт(Т): 37(ч) == О, (14) Из (14) вытекает: ТЕОРЕМА.
Яля того чтобы кривая Т класса (Т) реализовала экстремум функционала ! (Т), необходимо, чтобы: 1. Кривая Т состояла из я+7+ 1 дуг экстремалей: 'где А и  — начало и конец кривой Т, С,— ее точки, лежащие на кривых г, и зг 2. В 7 точках С, пересечения Т с линиями преломления должно ;удовлетворяться условие (7). 3. В Я точках С кривой Т, лежащих на линиях отражения, ,должно удовлетворяться условие (11). 4 — 5. В точках А и В кривая Т должна быть трансеерсальна соответственно кривым ю и ф.
Требование 1 есть условие исчезновения внутренней вариации, требования 2, 3 суть условия исчезновения вариаций в точках преломления и отражения, требования 4 — 5 †услов исчезновения вариаций в конце и начале. В частности, если р(х, у, х', у') = А (х', у') )' х'з + у", то требование трансверсальности Т к линии в и ф обращается в требоВание ортогональности (2 54), а условия в точках преломления и отражения принимают упрощенную форму (12). Оптические применения.
Доказанный нами в конце 5 57 принцип Малюса Может быть без труда обобщен сейчас на случай, когда лучи претерпевают продзвольное количество преломлений и отражений. Мы рассмотрим для простоты случай плбского светового пучка. Так как все рассмотрения 5 74, 75 и настояВхего параграфа могут быть распрос~ранены на случай пространственной задачи (с заменой линий преломления н отражения соотвестзенио поверхностями преЛомления и отражения), то наш результат переносится н иа случай пространственной задачи. (гл. Х1 влзгывные злдлчи 228 Напомним, что линией (поверхностью) волны называется геометрическое место точек, в которые световой сигнал, отправленный из точки А, попадает в одно и в то же время.
Нами было доказано в конце 8 57, что линия (поверхность) волны ортогональиа всем лучам нашего плоского (пространственного) пучка лучей. Доказательство в силу полученных в настоящей главе результатов не изменится, если лучи будут претерпевать в пути какое угодно количество преломлений и отражений. Отсюда следует'. Принцип Малюса. Линии (поверхности) волны ортогональны всем лучам светового пучка независимо от количества отражений и преломлений, испытываемых лучами пучка. Черт.
37. Черт. 38. Принцип Малюса является, наряду с принципом Фариа, основным принципом геометрической оптики. Он дает возможность просто решать многие оптические задачи. Пример 1. В среде с постоянной скоростью света из точки О исходит пучок лучей. Требуется построить зеркало, отражающее этот пучок в виде пучка параллельных прямых. Лучи имеют вид ломаных с угловыми точками на зеркале. Решим задачу для плоского пучка. После отражения о зэркало с7 пучок обращается в пучок параллельных прямых (черт. 37), Линия волны, следовательно, обращается в перпендикулярную им прямую. Пусть прямая Е есть линия волны. Ломаная ОСВ, где С лежит на г3, а  — на 7., есть один иэ наших лучей света.
Оптическая длина этого луча, если обозначить скорость света через от) (мы считаем ее постоянной), равна: ОС С — + —. о о Для всех лучей ОСВ нашего пучка ОС С — + — сопя!., т. е ОС+ СВ = сопзП Отложив на продолжении СВ отрезок СО =СО, получим: ОВ = 7 = сонэк геометрическое место точек О есть прямзя уч, параллельная В и отстоящая от нее на расстоянии 7. Так как ОС= СО, то искомое зеркало должно иметь форму параболы с фокусом О и директрисой Вг.
Под оптической длйной линии а мы понимаем значение интеграла 2 / — , т. е. время пробега светом кривой Ф 229 $761 СЛУЧАЙ СВОБОДНЫХ КОНЦОВ Вращая эту параболу вокруг ее главной оси, проходящей через О, получим параболоид вращения, который нам дает зеркало, отражающее пространственный пучок лучей, выходящих из фокуса О в виде пучка лучей, параллельных оси параболоида.
Пример 2. Плоскость разбита на две части Ят и Ят, скорость света в Ят равна от, в Вз равна оз. Какова должна быть линия раздела этих сред, чтобы пучок лучей, выходящих из точки О, принадлежащей Вэ после преломления о линию раздела пошел в Я в виде пучка параллельных лучей? Лучи будут состоять из ломаных с точками перелома на линии раздела (черт. 38). Отложим на всех лучах, исходящих из О, отрезки равной оптической длины; их концы дадут линию волны.
Линии волны в Я есть прямая, перпен- Черт. 40. Черт. 39. дикулярная к параллельному пучку. Пусть  — такая линия волны. Если точка С произвольного луча ОВС с точкой перелома В лежит на л., то: — + — = сопзй = в, ОВ ВС ог оз ОВ = — ' ( й — ВС) . о, оя Проведем прямую Вэ параллельную у., так, чтобы В находилась между Е и Е1 и чтобы расстояние между В и гч равнялось озв= й, Если Ст есть пересечение продолжения ВС с ую то ОВ = — ~ СВ.
о, Линия раздела Я есть геометрическое место точек В, удовлетворяющих уравнению: ОВ= — т СВ; оз (2 есть коннческое сечение с фокусом в О и директрисой уэ Если о,(оэ это коническое сечение обращается в гиперболу, причем так как углы преломленвя меньше углов падения, то, очевидно, эта граница состоит из ветви гиперболы, обращенной выпуклостью к О. При оз) о, получаем эллипс с фокусом О и осью, имеющей направление параллельного пучка (черт.
39), причем, так как углы падения меньше углов отражения, точка О должна находиться в левом фокусе, если свет в параллельном пучке движения справа налево. Пусть пучок лучей исходит из О, преломляется или отражается вдоль О и собирается а фокусе Р (черт. 40). Линии волны В вокруг Р представляют собой линии, стягнва1сщиеся в фокус Р. Оптические длины всех лучей пучка одинаковы; это следует еще из того, что вариация оптической длины при переходе от одного луча ОЕ к бесконечно близкому равна нулю, так как вариация концов ранна нулю.
(гл. Х1 230 РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ Пример 3. Построить форму зеркала, собирающего в точке Р пучок лучей, исходящий из точки О (скорость света постоянна), Решим сначала задачу в плоскости. Луч имеет форму ломаной ОСР, где С вЂ” точка отражения (черт. 41). Оптическая длина постоянна для всех лучей пучка. Вследствие постоянства скорости света С оптическая длина пропорциояальна обычной длине, которая тоже одинакова для всех лучей пучка. Геометрическое место точек отражения С удовлетворяющих уравнению ОС+ СР = сопз1., и есть эллипс с фокусами в О и Р. В пространстве решение задачи дается эллипсоидом, получаемым вращением этого эллипса вокруг большой оси.
Аналогично можно найти' такую линию раздела сред ог и от со скоростями от и вэ, что пучок лучей, исходящий,'из точки О среды Ят, собирается в точке Р среды Яз. Линия раздела есть геометрическое место точек, расстояния которых рт й ра от точек О и Р определяются уравнением: + = сопзт Рт Рт оз В декартовых координатах зто уравнение лает кривую четвертого порядка.
Прием, использованный нами сейчас для исследования пучка лучей, будет широко использован впоследствии в гл. Х!Ч. Задачи геометрической оптики привели впервые к исследованию семейства экстремалей. Из геометрической оптики они были перенесены Гамильтоном на задачи более общего вида. Опечатка Стр. 230 строка 12, сверху напечатано О следуез читать О ГЛАВА Х1! ОДНОСТОРОННИЕ ВАРИАЦИИ В 77. Односторонние вариации для простейшей задачи Ограничения нв класс допустимых линий. До снх пор мы рас- сматривали задачи, когда на класс допустимых линий у=у(х), кроме общих условий теоретико-функционального характера, накладывались условия: проходить через две данные точки: у(х,) =у„у(х.) =уз; У1 быть длиннее данной длины: / ~/1+УТЯЫ»=1)1о;вслУчаедвУхнеиз- вестных функций, например, — принадлежать данной поверхности и т.
д. Все задачи разобранного типа обладали одной специфической особенностью: если вариация Зу (х) была допустимой, то и вариация — Ьу(х) также была допустимой. Эти задачи имеют полную аналогию с задачами на разыскание экстремумов функций многих переменных, когда область изменения переменных есть все пространство или есть вся поверхность (условный экстремум).
По аналогии с задачами функ- ций конечного числа переменных, когда область изменения переменных ограничена (ищется, например, минимум 1(х), где а (х(Ь), могут быть рассмотрены задачи вариационного исчисления, в которых класс допустимых линий должен удовлетворять условиям, записываемым в форме неравенств. Приведем ряд примеров. Ищется кривая, минимизирующая интеграл У=/ Ь'(, у У)1 среди в=ех кривых, проходящих через точки А, В и расположенных вне некоторого круга.
Последнее условие можно аналитически запи- сать так: (х — а)а+ (у — Ь)э )~ гэ, где а, Ь, г — заданные числа. Или общее: за класс допустимых линий принимаются линии у=у(х) такие, что: о(», у) )~ О, (1) где о(х, у) — данная функция. В задачах на определение экстремумов функционалов, зависящих от линий в пространстве и+1 измерений, можно брать за класс допу- стимых линий кривые, лежащие в области: ч(х, у„у„..., у.))~0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
