Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Теория собственных значений квадратической формы перейдет в теорию собственных значений квадратического функционала. Подобно тому, как поведение функции в окрестности стационарной точки определялось знаками собственных значений второго диференциала, поведение функционала в окрестности экстремалп определяется знаками собственных значений второй вариации. Мы в настоящей главе ограничиваемся почти исключительно аналитическими исследованиями, относя топологические проблемы во второй том.
Там же будет излагаться теория квадратических функционалов более общего вида. Непосредственный переход от квадратических форм конечного числа .переменных ко второй вариации мы даем в й 80 при исследовании существования абсолютного минимума квадратических функционалов, и также в й 90, где квадратический функционал исследуемого нами типа трактуется как предел квадратической формы.
Уже в й 52 мы видели, что поведение функционала .зависит от характера второй вариации, т. е. от квадратического функциомала вида: ~с йе,/= / (Роуз+шоу'я) лл, где = — Р ° 1 2 ли Необходимым условием неотрицательности такого функционала было выполнение условия Лежандра: 1с)~ О. Мы сейчас займемся более детально исследованием квадратических 4>ункцноиалов вида: ь Уы(т]) = / (Рта+Я~1'в)4х, (1) и причем во всем дальнейшем будем полагать: Я> О при а (х (Ь, (2) т.
е. будем считать, что выполняется усиленное условие Лежандра. Кроме того, мы будем предполагать, что Р = Р(х) и Р = Р (х) суть функции от х класса С,. В гл. 1Ч мы видели, что исследование квадратических форм тесно переплетается с изучением некоторых линейных уравнений (связанных с вековым определителем).
Исследование функционала (1) связано с линейными диференциальными уравнениями, так называемыми уравнениями Штурма-Лиувилля, играющими фундаментальную роль в математич.- ской физике. Пространство [т. Рассмотрим пространство (т функций у(х), удовлетворяющих следующим условиям: 1'. Функции у(х) определены на отрезке а (х (Ь и принадлежат классу С, '). 2'. Для каждой функции у(х) пространства [т' имеем У (а) = У (Ь) = О.
Сфера 3. Рассмотрим на (т квадратическое многообразие 3 — совокупность функции, удовлетворяющих условию: ь / узах=1. (3) к Это многообразие функций у=у(х) мы будем называть сферой. Определим теперь квадратический функционал д'„ь формулой: ь д ь(у) = / (Руз+Ру Я) ах, (4) где Р = Р(х), )с = й (х) — функции класса С„ Р(х) ) О (а (х(Ь). (5) Из условий (3) и (5) легко получается, что на сфере 3 форма Укь ограничена снизу. В самом деле, обозначая через т минимум Р при а ( х ( Ь, получим: А,ь(у) >) /' туз йх-~- / Ру'з Ых,) т. (6) 8 81.
Существование минимума квадратических функционалов Обозначим через с ник<нюю границу значений д,ь для функций сферы 3. Докажем, что существует функпия у(х) на 3, для которой l, (у)=с. Начнем с вывода трех предварительных лемм. ') Наши дальнейшие рассуждения останутся верными, если мы расширим вространство й, считая, что входящие в него функции у (х), принадлежат классу Оь (т. е. допускают конечное число точек перелома). 254 ВтОРАИ ВАРилиия и линзйнык вдвилциониыв здддчи [гл. Х!Е ~у +,+у,— 2У,~<К, (г=1, 2,..., и — 1), (7) где К вЂ” по.гожительное число; тогда У У Ув У ! ( К вЂ” (О (г(в(1(п).
(3) В самом деле, просуымируем неравенство (7) сначала по г' в пределах от г =7'+ 1 до 1 = в в 1, очевидно, получим: К+, — Уз — (у,— Ув,) ~ <К( — ! — 1). (9) Суммируя в свою очередь неравенство (9) по 7' от 7'=г до 7'=в — 1, получим: ~у,— у,— (в — г)(ув ув — 2)~ (К или ! в — г (Ув, Ув — г) > 2 (10) Вполне аналогично получается неравенство: Уг Ув г — в+1 (у, у,,) .<К Складывая неравенства (10) и (11), окончательно получим (8).
ЛЕММА 2. Если непрерывная в инпгервале (а, Ь] функция 7(х) для любой тройки чисел х„хг, хв(а (х,(хг( х (Ь) удовлетворяет неравенству: г (х ) У(х1) /(хв) У(хг) / хв хг <К (12) хг — хг хв — хь 2 (11) где К есть константа, то ее производная 7'(х) существует и притом непрерывна на сегменте а (х (Ь. Допустим противное, что в некоторой точке хе производная или не существует или разрывна; в таком случае существует число р) О такое, что в любой окрестности точки х„: (х — хе~ < Ь можно найти две пары точек х,(ха и х,' (хг' таких, что: ~г (хг) — Г(хг) Г" (х,') — У(хд') ! (12') х — х, х' — х,' Определим число хв из условия хв — хв р 2 (13) н выберем Ь настолько малым, чтобы при ~х — хе ( Ь имели: )х — х! р 2 б (14) $81) сицдствовянив мииимтмь квлдеьтичаских етнкционллов 253 ЛЕММА 1. Пусть нам даны и+1 чисел: УО~ ум Уг~ ' ~ Ул таких, что втогля влеилция и линейные вленлционные злдлчн (гл.
Х)П и согласно условию леммы у(х,) — у(х) у(ха) — у(хе) ( ]! хз — х х! — х„,( б' Применим теперь неравенство (12) сначала к числамх„х., х, а затем к числам х,', хя', хз'. Принимая во внимание (13), (14) и (15) получим: У ]ха] — У (х!) У(хз) — ! (хе) ) х,— х! ха — хе ! 2' ! !х ] Г(х\ ] у(хе) у(хе) е ! ( — '. х ' — х!' ха — хо ' 2 (15) на сфере 8; /уаб =1 и ,л)!л.иым методом. Рассмотрим квадратическую форму п переменных: ./= ~~~~ Р(х,)у!Я+)г(х,)( '" ! " ) ~бх, где а — а х, =а !!-!бх, бх= н Обозначим через Уе~"~ абсолютный минимум втой формы на сфере Во'!: ~,указах= 1. Легко видеть, что Уесч] будет совпадать с абсолютным минимумом формы ---. У при условии ~у,а = 1. 1 ся] ЛЕММА 3. Обозначен через Уе абсо.гютный минимум ./, на 8, илгеелгг Вш !п(Уе1'ч (Уе (16) В самом деле, при произвольном е ) О на 8 существует функция у =у(х) такая, что у.
(у) (уз+ Так как у(а) =у(Ь) =- О н функция !!(х) принадлежит к классу С„то при достаточно большом и можно ааппроксимнровать(в смысле'близости Складывая этн неравенства, получим: з (хя) — у(хб з(х.!) — у(х!') ( х, †.к, х.,' — х,' (р, что невозможно в силу (12'), Существование минимума формы з'. Проведем доказательство суще- ствования кривой, реализующей минимум формы Л в У= / (Руа+ Яу") бх е 9 8Ц сяществовлнив минимтмл квлдглтичвских отнкционллов 257 Обозначая у, = Уг т'1+и , получим: У вЂ” ) — 1+„(У, ул °, У„,), я — ! Уу ох=1. т=т (19) (20) Из (20) следует: (У У ° ° .
У„) ~~Ус (21) Сопоставляя (16), (17), (19) и (21), получим: Уо~~Уаь(у) я~~У (Ун Уя ° ° г Уо т) ~У"~ (УП ул,, )г„,) — 2е~ )~ ~Уо~") — 2е~ . При п-+ ос предыдущее неравенство переходит в неравенство: Уо )~ ~1(ш (п( Уо — 2я1. г. Вследствие произвольной малости е и т) получаем: Уо )~ 1(ш 1" 1 Уо П -+ гг Отсюда заключаем, что существует такая последовательность чисел ('гл) и„пе, ..., ил, ..., что !пп1п(Уо существует и не больше Уо. ол .+ СО (ьл) Иш(п( Уо (Уо '). ил -~ Ог Так как Уо равно наименьшему собственному значению формы — У (ч) 1 (гг) . ах (о) (о) Уо =1о то для рассматриваемой подпоследовательности чисел и мы можем считать, что 1о ° ограничены снизу и сверху. (ч) Условимся изображать совокупность чисел уп у„ ..., у„ , в виде полигона Б„, т-я вершина которого имеет координаты (а +тдх, у,).
г) В дальнейших рассмотрениях форм У(") мы будем считать, что и равно одному нз чисел п„(Л =1, 2, 3, ...). первого порядка) кривую у = у (х) таким полигоном с вершинами (а+Их, у), 1=0, 1, ..., п — 1, уз=у„=О, Ьх=, что: у„г(у) > у("'(уг, у„..., у,) — е, (17) о — г Углах= 1+тг форма 1(а) будет функцией полигона П„. Применяя метод Эйлера, для полигона П„(х), реализующего минимум )("1, будем иметь: У Заменяя в фигурной скобке )с(х») по формуле Лагранжа: »Г(х»)=»т(х»,)+бх»с'(Е») (х (1 (х), полученному уравнению можно придать вид: ахо —,с~ ( .
) ( Р(х»)у» + 1о "у» — »с (с») — а — ~ (21 ) Пусть »пах Р'(х) Т вЂ” а~ <Ь ппп Р (х) а~х~Ь Р(х) Ф2УЬ Я=шах аах.СЬ а(х) Из (21') получим: ' ~ (Я(у»(бх+Т '+' (бх. (22) Просуммировав (22) по Е в пределах от»=у до»= з, получим: 4 — — '+ — „— '! (8 ~1М!у»(бх+Т~~ ~ ' ' (бх. (23) »=х »=х Последнее неравенство можно преобразовать; во-первых, в силу неравенства Шварца имеем: Х!У»!~х-(~' ~у,з ~~„'„йхз=~» ~ч~у»збх .~'йх или, так как ~.'„У»збх=1, ~~'„,бха 5 — ез ~~'., ) У» ~ бх ( )» 5 — а.
(24) Далее, в силу леммы 3 при достаточно большом л имеем для минимального полигона П„: ~~~) Р(х,)у,ьбх+ ~~мР(х,)~ »+а ) йх(=~У~("1! (~4(+1, откуда (25) где А =, '(.»о!+1+ шах Р(х) 1 а<х<Ь Неравенство Шварца, примененное к (25), дает нам: (йх ( (26) 258 втогля влгилция и линвйныв влгилционныв задачи (гл. Х1П 9 81] сгщвствовлнив минимгма квадвлтичяских ехнкционалов 259 Из (23), (24) и (26) мы имеем для любых 7', ьт у+ — у) у+ — у ~ 8+ТА (27) Уо+ г Уо Но так как уз=у„=О, то отношение — -а принимает при а = 1, 2, ..., и†1 по крайней мере один раз отрицательное значение и один раз положительное '); следовательно, получаем из (27): у„+ — у | Я+ТА '~ ( . = С, = сопзй ах ! )г'ь — а (28) Суммируя (28) по 7' от 7' = 0 до 7 = 7о ( п — 1 и замечая, что уо = О, получим: ]у,] (С,~ч'„,бх=С,(Ь вЂ” а). (29) Подставляя (28) и (29) в (22), найдем: ' ! ( ЯС„(Ь вЂ” а)+ ТС, = С, = сопзй !""':-' Применяя к последнему неравенству лемму 1, получим: ) У,— У, У вЂ” У.
(С 'й (а — г) ах (г — о) ах -- - 'г (30) П„(х). П„(х), ..., П„(х), . (31) удовлетворяет условиям теоремы Гильберта о компактности семейства функций (9 45). Согласно этой тсореме мы выделяем из последователь- ности (31) равномерно сходяшуюся подпоследовательностгс П'"(х), П'"(х), ..., и'")(х), . Пусть у=уз'(х) есть предел этой подпоследовательности: йш П'"1 (х) = уо (х). Построенная функция обрашается в нуль в концах интервала (а, Ь), непрерывна, и, кроме того, в силу (30) для любой тройки чисел х, (х (ха имеем: Уо (хо) Уо(хг) Уо(хо) Уо(ло) ] ( С хо — к1 — ! хо — хг хо — хо 2 (32) о) Все у, нулямн быть не могут, ибо 1',Увал =1, Таким образом для всякого минимального полигона выбранной последовательности мы имеем неравенства (28), (29), (30). Из условий (28) и (29) заключаем, что последовательность: 288 ВТОРАЯ ВАРиАциЯ и линейные ВАРиАционные ВАЕАчи (гл.'Х11! т.
е. в силу леммы 2 уо(х) обладает непрерывной производной. Из равномерной сходимости П, П, ..., П, ... следует также, что о> ев !а) ь а У: уоа(х)~1х= 1пп ~~ у,ебх=1, а-Р со, а а=1 Для этой цели рассмотрим последовательность ступенчатых функций: е,(х), ое(х),..., Еа(х), где П!") !хь+,) — П!а)(хь) о„(х) = + при хь (х(х +Ьх=хь,. (33) Пользуясь (ЗО), нетрудно доказать, что последовательность (33) равномерно стремится к уо'(х). Отсюда: ь йгп У(П'")) = / (РУоа+РУо ') ь1х=У(уо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
