Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Мы можем сказать: Ло(Ь) есть минимум з'„, при условиях (45) и дополнительном условии: у=О при Ь (х (Ь,. Таким образом Ло(Ь) определяется как минимум той же формы У„,, но при одном дополнительном условии, сравнительно с условиями, определяющими Ло(Ь,). Но при дополнительных ограничениях иа класс функций сравнения минимум может только возрасти: Ло(Ь) )~ Ло(Ь,). Пока>кем, что равенство Ло(Ь)=Ло(Ь,) невозможно. В самом деле, пусть функция уо(х) реализует минимум У, прн отмеченных выше условиях.
Если бы мы имели равенство Лв(Ь) = Ло (Ь,), то функция уо (х), равная уэ(х) на отрезке [а, Ь] и равная нулю на отрезке [Ь, Ь,], реализовала бы минимум /„, при соответственных условиях, т. е. была бы одной из собственных функций формы У„; что невозможно в силу свойства 3'. Получаем теорему: ТЕОРЕМА. Собственное значение Лв(Ь) есть моно>панно убывающая функция от Ь. 11'. При Ь, достаточно близком к а, Ло(Ь) > О.
В самом деле, обозначим через с(Ь) и с,(Ь) минимумы соотв тственно функций еч>(х) и Р(х) на отрезке [а, Ь]. Так как А>(х) ) О, то с) О. Если Ь, оставаясь больше а, убывает, минимумы с(Ь) и с,(Ь) могут только возрасти. В силу свойства 9'. с(Ь] яэ Положительный член — — ' при приближении Ь к а неограниченно (ь — а)ч возрастает; с, (Ь) не убывает. Следовательно, Ло(Ь) неограниченно возрастает, если Ь, убывая, стремится к а: 1ня Ло(Ь) =+ос; во вся- Ь -~ а ком случае при Ь, достаточно близком к а, Ло(Ь) > О.
С возрастанием Ь, Ло(Ь) убывает. При этом могут быть два случая: 1) Ло(Ь) все время остается положительным. В этом случае форма з'„ь для любого Ь существенно положительна. 2) Ло(Ь) обращается в нуль при Ь= Ьо: л (Ьо)=0. В этом случае формаl„ь существенно положительна при а( Ь( Ьо. При Ь) Ьв сушествует функция у(х), принадлежащая К, для которой .У„[у(х)] (О. Отсюда вытекает следующее свойство.
12'. Йля положительности з'„необходимо и достаточно, чтобы на закрытом справа интервале [а, Ь] не заключалось решений уравнения Ло(х) = О, 13'. Для неотрицательности формы з„необходимо, чтобы на открытом интервале (а, Ь) не заключалось корней уравнения Ло(х) =О. $88] услОВия положительности ФОРмы 267 (47) (49) 14'. Если ./„есть положительно определенная форма, то для.любой функции у(х) йз 1с удовлетворяются три неравенства: Ь 7аь (У) )~ Ло (Ь) / У л х Р о (Ь) > О) (45ь) а„(у) )~ д 7' у'Мх, (46) где д — некоторая абсолютная положительная константа; Ь 7 ь (у) ' ' — — 1 уз ах+ — — 1 У'Я с7х.
Л,(Ь) т, е а а Неравенство (47) есть следствие неравенств (45') и (46). ь Докажем неравенство (45'). Если / УЯЫх=1, то неравенство Уаь (У) ~~ 'О (Ь) ь очевидно, удовлетворяется. Если / узы = Йз ф О, то а ь / (» ) ~~~ Ль Уаь(У) аь (,» ) > Ле(Ь)' откуда также следует неравенство (45'). Докажем неравенство (46). Имеем: Ь ь 7„(у))~с/ узь(х+с, 7' у'ВЫх7 (48) а а где с и с, > О суть минимумы функций Р(х) и 77()с) на отрезке (а, Ь). Если С=О, достаточно положить 4=с,. Пусть с ~ О. Рассмотрим два возможных случая: ь Ь 1. ~ с~ 7' УВЫх ( — ' / у'ВЫх; тогда из (48) следует: а а 7..(у)>-,-'- ~ Уа ' а ь Ь 2.
)с~ / УЯИх> -2' /у" 1х; тогда из (45') получаем: а а Ь Ь заь (У) )~ Ле(Ь) / У ~'"х > 2 / У ~7х' (50) Полагая с1 равным меньшему из чисел — и ', мы из (49) и (50) получаем (46). 268 втовля влеилция и линвйныя влвилционныв злдлчи [гл. Х!!! Условие Якоби. Уравнение [у] =0 есть частный случай уравнения Штурма-Лиувилля [у) = Лу при Л = О. Оно называется уравнением Якоби. Пусть, для некоторого Ь ) а, Ле(Ь) = О. Обозначим через уе(х) функцию, реализуюшую минимум у„при условиях; у (а) =у (Ь) = О, у ах=1; У уе (х) есть собственная функция формы е',и отвечающая собственному значению Ле(Ь) =О, следовательно, уе(х) есть нетривиальное решение уравнения Якоби [у) =О, пересекающее ось Ох в точках х=а, х= Ь. 15'.
Ь есть первая после а точка пересечения интегральной кривой уравнения [у) =0(у(а) =0) с осью Ох. В самом деле, если для некоторого Ь'(а ( Ь' ( Ь) интегральная кривая уравнения Якоби пересекает ось Ох в точке х=Ь', то форма У,е имеет в числе своих собственных значений значение нУль. Но Л (Ь') есть наименьшее собственное значение е'„.
Следовательно, Ле(Ь')(О; с другой стороны, так как Ь'( Ь, то Л (Ь')) Ло(Ь)=0. Наша гипотеза ведет к противоречию. Обратно, пусть у =у (х) есть интегральная кривая уравнения Якоби, пересекающая в точке х=а ось Ох, и пусть Ь есть ближайшая к а точка пересечения кривой у=у(х) с осью Ох; покажем, что при Ь, ( Ь имеем Ло(Ь,) ) О. В самом деле, допустим противное, что существует Ь, ' Ь, для которого Л (Ь,) (О; тогда в силу свойств 10', 11' существует Ья( Ь, при котором Ло(Ья)=0. Но в таком случае существует нетривиальный интеграл у= у,(х) уравнения Якоби, обращающийся в нуль при х= а и х=Ь.
Функции у(х) и у„(х) суть интегральные кривые уравнения второго порядка, обращающиеся в нуль при х=а. В силу рассуждения предыдущего параграфа (свойства 1' и 2') у(х)=су,(х); в частности у(Ье) = су, (Ьа) = О, что противоречит основному условию. Сопряженные значения. Значениях, в которых нетривиальная интегральная кривая у=у(х) уравнения Якоби [у) = О, у(а) = 0 пересекает ось Ох, называются сопряженными с а. Очевидно, если а сопряжено с Ь, то Ь тоже сопряжено с а. Провеленный выше анализ нам дает: 16'.
Корень уравнения Ле (Ь) = О, Ь ) а, дает ближайшее к а (справа) сопряженное к а значение. В соответствии с этим свойства 12', 13' можно формулировать слелующим образом: 17'. Для того чтобы l, была положительно-определенной формой, необходимо и достаточно, чтобы в закрытом справа интервале (а, Ь) не заключалось сопряженных с а значений. 18'. Для того чтобы У„была неотрицательной формой, необходимо и достаточно, чтобы в открытом интервале (а, Ь) не заключалось сопряженных с а значений. 269 сльвый экстевыь м 9 84.
Слабый экстремум 5 84] Необходимые и достаточные условия слабого экстремума. Полученные нами выше критерии положительности квадратической формы позволяют нам сейчас дать весьма близкие между собой необходимые и достаточные условия того, что данная экстремаль дает слабый минимум (условия Якоби). ТЕОРЕМА 1. Если экстремаль Т..
у= у(х) дает минимум интегралу: (51') и если вдоль т Р'„,„, > О, то открытый интервал (а, Ь) не содержит значений, сопряжен- ных с а. В самом деле, мы видели (см. 9 49), что необходимым условием слабого минимума является неотрицательность второй вариации. Но если интервал (а, Ь) содержит значение, сопряженное с а, вторая вариация перестает быть неотрицательным квадратическим функционалом; необ- ходимое условие минимума не выполняется.
Теорема 1 доказана. ТЕОРЕМА 2. Если экстремаль т: у=у(х) интеграла У соединяет пгочки А(а, а,) и В(Ь, Ь,) и удовлетворяет условиям: 1) р„,„, ) О вдоль т, 2) закрытый справа интервал [а, Ь] не содержит значения, сопряженного к а, то экстремаль т среди кривых, соединяющих точки А и В, дает интегралу У слабый минимум. Для доказательства теоремы 2 воспользуемся свойством 14' квадра- тических функционалов; если вторая вариация есть существенно поло- жительная форма, то существуют две положительные константы а и й, такие, что для любой допустимой вариации Зу имеем: ь ь 5г.l)~й / 3у'а+й, / йугйх.
(51) а а С другой стороны, обозначая через е наибольший из максимумов Ьу и Ьу' на интервале (а, Ь), имеем из рассмотрений 9 49: ь У(у+ Ьу) — У(у) = йети+ (Едуг+ Лйоу'Я) йх, где Ь и г)г равномерно стремятся к нулю вместе с е. Выбрав а настолько малым, чтобы Е и лг были на всем интер- вале (а Ь) меньше — и — одновременно, мы для любой функции й йг Э 2 2 у+Зу из класса допустимых, лежащей в е-окрестности „имеем: Х(у+ оу) — У(у) ) О.
Последнее неравенство есть следствие неравенства (51), (51') и на- шего выбора е. Функция у (х) реализует слабый минимум. 270 втоеля влгилция и линейные влеилционныв влдлчи 1гл. Х!11 Выполнение условий теоремы 2 гарантирует положительную определенность формы без' и реализацию слабого минимума. Теорема полностью доказана.
Как мы видели выше, при определении достаточных условий слабого экстремума основную роль сыграло понятие сопряженной точки. Этаже понятие будет играть главную роль в теории поля экстремалей. Мы сейчас покажем, что сопряженную точку можно определить, рассматривая пучок экстремалей, выходящих из начальной точки; именно такое определение сопряженной точки нам будет важно в теории поля. Остановимся предварительно на некоторых вопросах теории диференциальных уравнений. 5 85. Уравнение в вариациях Некоторые свойства диференциальиых уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
