Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Так как в силу леммы 3 1пп (ХПВИ) =У„то у(уо) = уо. Теорема полностью доказана. 5 82. Уравнение Штурма-Лиувнлля Вывод уравнения Штурма-Лиувилля. Так как по доказанному абсолютный минииум формы Уы = ~ (Руе+ Ку'Я) пх, а при условии уэ Ых = 1, достигается на кривой у =уо(х) класса С, и так как все точки сферы 8 правильны: 3 1 узь!х ф О для каждой функции у(х) сферы 8, то кривую а у=уо(х) можно определить методом Эйлера; для этой кривой имеем: ь 3(ӄ— Х / уеь1х) =О, а где ) — множитель Эйлера. Применяя уравнение Эйлера, получим: Ру — — (1гу ) — Ау = О. дг (34) т. е. что построенная функция принадлежит сфере 8.
Нам остается доказать, что у(уо) = уо. 261 9 82] уРАВнение штуРИА лиуВилля Для сокращения письма будем обозначать в дальнейшем через [у) следующий оператор: Ы = Ру — — „ЖЯУравнение (34) называется уравнением Штурма-Пиувилля. При этом обозначении уравнение (34) можно записать в виде: (у) — Лу = О. Кроме того, что искомая функция уо(х) должна удовлетворять уравнению (34), она должна удовлетворять условию: ь уо' (х) бх = 1 У ° а (3 5) l, ь = / (суз + с, у'з) ах, где ст)0 (с, с1 — константы).
Уравнение Штурма-Лиувилля примет вид: уа+ ' 'у=о. сг (37) Отсюда: у=Аге +Ае где х — с (38) сд Условия на границах дают пару однородных уравнеиий относнтельио Аг и Аз: А ета+Азе™ 0 А вил~+А е — ыь 0 (39) Для того чтобы система (39) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель ее равнялся нулю: Еыш Ю=Е "'~а Ь> ИЛИ ЕЗМ1а И=1 следовательно: т(а — ь) = пяб где т=.
У' — Т, где и — произвольное целое число. Из (38) получаем: с лзяз (Ь вЂ” а з (40) г) То-есть функция, реализующая абсолютный минимум У,ь на 8. и условиям на концах: у (а) = у (Ь) = О. (36) Собственные значения. Если отказаться от условия (35), то уравнение (34) при условиях (36) имеет при любом значении 1, вещественном или комплексном, решение: у= — О.
Это решение называется тривиальным решением уравнения Штурма-Лиувилля. При некоторых значениях Х уравнение Штурма-Лиувилля может иметь нетривиальные решения, удовлетворяющие начальным условиям (36). Такие значения 1 называются собственными значениями формы У, . Так как построенная выше функция уо(х) ') должна удовлетворять при некотором значении А уравнению (34), то отсюда заключаем, что у формы У,ь при гс ) О собственное значение всегда существует. Пример.
Пусть ь 202 втогля вдяидция и линвйныв вагидционныв задачи (гл. Х!!! Решевне уравнения (37) пря условии (36) можно задать в форме: У = Кз)д— ля (х — а) (41) Ь вЂ” а где К в произвольное постоянное. При л целом, яе равном нулю, получаем нетривиальное решение. Итак, собственные значения нашей формы будут все числа вида> а>лкяк (Ь вЂ” а)к Собственные функции. Всякое нетривиальное решение уравнения Штурма-Лиувилля Ы=)у при у(а) =у (Ь) =О, отвечающее собственному значению )., называется собственной функцией.
Собственная функция у(х) называется нормиро- ванной, если ь / уе (х) йх = 1. а Для предыдущего примера функции (41) будут собственными функциями. Основные свойства собственных значений и собственных функций. Отправляясь ог того, что для уравнения Штурма-Лиувилля, при Я) О, собственные значения и собственные функции существуют, установим ряд важнейших свойств этих функций. 1'.
Если у(х) собственная функция формы У,м то у'(а) ф О, У(Ь) ~ О. В самом деле, так как уравнение Штурма-Лиувилля есть уравнение второго порядка и коэфициент при у" отличен от нуля, то условиями у(а)=0, у'(а)=0 или у(Ь) =О, у'(Ь)=0 интеграл определяется единственным образом. Ио этим же начальным условиям удовлетворяет тривиальное решение у == О, следовательно, предполагая, что для соб- ственной функции у=у(х), у(а)=0 и у'(а)=0, мы получаем, что она †тождественн нуль, что противоречит определению.
2'. Если у,(х) и у,(х) суть собственные функции, отвечающие одному и тому >ке собственному значению, то их лине)1ная комбинация у=у(х) =су, + с угя где с, и сэ — константы, есть или собственная функция или тривиальное решение. В самом деле, в силу свойств однородных линейных уравнений у(х) есть интеграл уравнения (34), кроме того, у(а) =с,у,(а)+сауд(а) =О, у(Ь) =с,у (Ь)+ сеу> (Ь) =О. Итак, если у(х) $0, то она есть собственная функция. 3'. Если у, (х) и уз(х) суть собственные функции формы У,ю отвечающие одному и тому же собственному значению, то у, и ук линейно зависимы, причем: у(х) =у (х)у'(а) — у,(х)у'к(а) = О.
263 УРАВИВИИВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ В самом деле, в силу свойства 2' у (х) есть или собственная функция или тождественный нуль. Диференцируя у (х), получим у'(а) = О, следовательно, в силу 1' у — = О. Обратим внимание на следующие равенства: ь ь У, = / (Руе + Рту'в) йх = / [у) у Ых. (42) И Это равенство получается интегрированием по частям выражения ь У" »ту'я ох и использованием условий: у(а) =у(л) = О. Аналогично: а ь а ь У, (у, г) = / (Руг+»ту'г') сиз = / [у1гх= / [В) уЫх. (43) Я ь Я Теперь докажем следующее свойство: 4'.
Если Л, и Ла — два различных собственных значения формы У„м а у, (х) и уя (х) — соответствующие собственные функции, то функции у,(х) и уя(х) ортогональны: ь у,у, ох= О. В самом деле, имеем: [у)=» ум [уя1 = Ляуя Умножив обе части верхнего уравнения на уа(х), а нижнего на у,(х), проинтегрировав в пределах от а до Ь и вычтя почленно полученные результаты, мы в силу равенства (43) получим: ь (Ла — Л,) / у,уясКх=О; так как Л„ ф Л„ то, следовательно, ь У у,уа Ых=б. а 5'. Все собственные значения формы У„ь вещественны.
Пусть Л есть комплексное собственное значение формы У„,у(х)— соответствующая собственная функция. Обозначая через А и у(х) величины, им сопряженные, мы из уравнения [у] =лу получим: [у) =лу, т. е. А есть тоже собственное значение формы 1,м а у — соответству- ющая собственная функция. Но в силу свойства 4' при Лф Л имеем: ь ь / ууЫх= / [у )ЯЫх= О. 264 втогля влтилция и лиивйныв влтилционныв злдлчи [гл. Х1П Последнее равенство возможно, только если ]у] тождественно равно нулю. что противоречит нашим предположениям. Итак, Л=Л, т.
е. Л есть число вещественное. 6'. Если Л есть собственное значение формы у„, а у (х) — соответственная нормированная собственная функция, то У„, [у(х)] = Л. В самом деле, [у] = лу. (44) Отсюда в силу формулы (42) имеем: ь ь У„ь = / [у]удх=Л / узЫх=Л. а а 7'. Если у(х) есть собственная функция формы у,ь, а у, (х) — орто- гональнаЯ к У(х) фУнкциЯ, то У.ь(У, У,)=О, В самом деле, умножая обе части равенства (44) нау„после интеграции в силу равенства (43) получим: ь ь У„(у, у,) = / [у] у, ох = ) ~ уу, ьГх = О. О л 8'. Если Ле,'есть минимум формы 1, на 3, то Ле есть наименьшее нз собственных значений формы з'„.
В самом деле, обозначим черезуе(х) функцию, реализующую минимум .l,ь на 3; имеем: -~аь (уо) = Ло. Эта функция удовлетворяет уравнению Штурма-Лиувилля. Пусть Л'— соответственное собственное значение. В силу свойства 6' Л' = Л . Пусть теперь Л, †друг собственное значение с соответственной нормированной функцией у,(х). Имеем: у„(уг) = Л,. Но так как Ль реализует минимум формы 1,ь, то Ло (У, (у,)=Л, или, считая Л, ф Ле, Лт) Лр.
5 83. Условия положительности формы Если наименьшее собственное значение Ле формы 1„положительно, то форма У,ь существенно положительна; если Ло — — О, то форма У,ь неотрицательна; при Лэ( О форма может принимать и отрицательные значения (см.
й 82, 8'). Поэтому исследования положительности формы У„ сводятся к изучению знака Ле. Пусть мы имеем две формы: ь З„=У Яу' +Руэ)дх, а ь гаь = / Жгу + Рг у ) дх ° Ф Если для любого х (а (х (Ь): И)~Я„Р)~Рп то для любой 265 9 83] ь словия положительности оогмы функции у(х), «,ь)»У,ь'. Следовательно, минимум У„на 3 во всяком случае не меньше, чем минимум ./аь на той же сфере. Обозначив через Ло и Ло' наименьшие собственные значения обеих форм, имеем: Ло)»Ло'. Отсюда следует свойство: 9'. Наименьшее собственное значение Ло формы ,«„ь= / Яу' +Ру )~(х а (Д) О) удовлетворяет неравенству: с,яо «о )» (Ь вЂ” а)о + с' где положительное число с, есть минимум Я(х) на отрезке (а, Ь), з с — минимум Р(х) на этом же отрезке.
Рассмотрим форму з',ь = / (с,у'я+ суз) ах, исследованную в примере 9 81. ]Пусть Ло' — наименьшее собственное значение формы уаь, в силу сделанного выше замечания Ло)» Ло' (так как )т (х) )» с„Р (х) )» с). В силу (40) 9 81 все собственные значения формы з,ь имеют вид с,яеиь (Ь вЂ” а)ь + (и= 1„2„...); наименьшее из них (при и = 1) равно: с1ао о — (Ь Отсюда, так как Ло)»«о', окончательно получаем: сгят Ло)»Ло = (Ь а)е +с ° при условиях ь, у (а) = у (Ь,) = О, /уя ьгх = 1, (45) ь Будем теперь считать верхний предел Ь в интеграле У„ и (узах а переменным.
Наименьшее собственное значение формы з', станет функцией от Ь: Ло=Ло(Ь). Ь мы считаем все время большим, чем а. 10'. При Ь, ) Ь, Ло(Ь,) ( Ло(Ь). В самом деле, Ло(Ь,) есть минимум ь, ,У„=~'РЭ +РЯ ( и втогля влвилция и линвйныв влгилционныв злалчи [гл. ХП1 Л (Ь) есть минимум о ь У„ / (>чу,' Ру )с(х при условиях У(а)=у(Ь)=0, / у>сГх=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
