Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Числа Ь„Ьз, ..., Ь,, расположены в возрастающем порядке. В самом деле, если Л,(Ь)=0, то Лт(Ь)(Л,(Ь)=0 при)(ю'. Но так как функция Лз(Ь) положительная для значений Ь, близких к а, и отрицательна при Ь=Ь„то она на интервале (а, Ь,) обращается в нуль в точке Ьч для которой Лз(Ь,)=0; очевидно, а ( Ьт< Ь,. ТЕОРЕМА. Корень Ь. уравнения Л„(Ь) = 0 равейу-му сопряженному значению для а. Так как точки Ь, и значения, сопряженные к а, расположены в возрастающем порядке, то для доказательства теоремы достаточно показать, что каждая точка Ь; есть сопряженное значение, и наоборот.
Итак, пусть Ь = Ь, Обозначим через ув(х) /-ю собственную функцию з'„ь(у). Она удовлетворяет уравнению Штурма-Лиувилля: — ()~У,'.) — РУз — Лз (Ьз) Уз = 0 и при условиях у, (а) = О, у, (Ь,) = О. Так как Л (Ь,)=0, то это уравнение Штурма-Лиувилля превращается в уравнение Якоби: а — (лу') — ру. = о. ах l Кривая у=уз(х) есть интегральная кривая уравнения Якоби, проходящая через точку (а, 0). Эта же интегральная кривая проходит черезточку (Ья 0). Следовательно, Ь, есть одна из сопряженных к а значений. Покажем, что и обратно: всякое сопряженное к а значение есть одно из натах чисел.
281 ф 88) минимАксныв экстгвмьли Пусть с есть сопряженное с а значение: в точке (с, 0) интегральная кривая у=у(х) уравнения Якоби (у] = О, прохолящая через точку (а, 0), пересекает ось абсцисс. Интеграл уравнения Якоби у=у(х) есть интеграл уравнения Штурма-Лиувилля (у) — Лу = О при у(а)=у(с)=0, для которого собственное значение Л=О. Ио Л должна равняться одному из значений Л,(с). Следовательно, Л,(с) = О, с = Ь,. й 88. Минимаксные экстремалн Теорема Морса.
На основе добытого выше соответствия между нулями собственных значений )ч(Ь) и сопряженными значениями можно доказать следующую теорему: ТЕОРЕМА. Если форма з',ь'= / 1Ру +)гу'~) с1х а имеет й отрицательных собственных значений, то открытый интервал (а, Ь) содержит й значений, сопряженных с а, В самом деле, из условия теоремы следует, что: (Ь)(Ла(Ь)((ЛА(Ь)(01ЛА+~(Ь))Оу но так как при значениях с, близких к а, все Л,(с) ) О, то в интервале (а, Ь) каждая из функций Л,(с) (1=1, 2, 3, ..., й) имеет нуль, а все остальные Лв(с) (1 ) й) нулей не имеют. Применяя теорему предыдущего параграфа, мы отсюда заключаем, что открытый интервал (а, Ь) содержит в точности й значений, сопряженных с а.
Классификация Морса экстремалей. Морс класаифицирует экстре- мали с закрепленными концами для интеграла ь К= / 1(х, у, у') ах по числу отрицательных собственных значений второй вариации ь ьтК= / (Рь)а+Рву'з) йх. Экстремаль называется энстремалью ь-го нарядна, если для нее ьК= 0 и если вторая вариация имеет 1 отрицательных собственных значений. Экстремаль первого порядка иногда называется минимансной.
В силу только что полученных результатов условием того, что данная экстремаль есть экстремаль ь-го порядка, является наличие ь сопряженных к а значений в открытом интервале (а, Ь). Или, что то же самое„ экстремаль 1-го порядка пересекает бесконечно близкие экстремали, имеющие с ней общее начало, в 1 точках, и притом не более чем в 1 точках. 282 втоеая вьвиация и линвйныа ватиьционныа задачи [гл. ХШ Теорема Штурма.
Мы до сих пор меняли верхний предел в интеграле У„ь = / (Рф+)су а) Ых Я) О). Если и нижний предел а считать переменным, то ю'-е собственное значение Л, формы з'„становится функцией двух переменных а и б: Л,=Л,(а, б). Относительно б функции Л,(а, Ь) суть функции убывающие. Аналогично доказывается, что эти функции относительно переменного а суть функции монотонно возрастающие. Оба эти свойства можно выразить следующей теоремой: ТЕОРЕМА 1. Если отрезок (а', Ь') заключен в отрезке (а, б), не совпадаа с ним, то ь Л(а, Ь, ) Л(а Ь) Рас~пирим несколько понятие сопряженного значения.
Мы назовем число Ь, (1=1, 2, ..., й) сопряженным значениеи к а справа, если при Ь,)а, Л,(а, Ь,)=0 или, что то же, если интегральная кривая уравнения Якоби, пересекающая ось Ох в точке х=а, имеет 1-ю за ней точку пересечения с осью Ох в точке х= Ьг Назовем число Ь,' с'-м сопряженным значением к а слева, если б,'(а и если интегральная кривая Т уравнения Якоби, пересекающая ось Ох в точке х=а, пересекает эту же ось в точке х=б,', причем между Ь,' и а находятся еще Ь вЂ” 1 точек пересечения Т с осью Ох.
Очевидно, в этом случае а есть 1-я сопряженная справа точка к Ь,'. Пусть Ь.,б. (г = 1, 2, ...) .все левые и правые значения, сопряженные к а: ...<Ь « ...Ь а<Ь,<а=Ь (Ь,<Ьа« ...Ь < ... ТЕОРЕМА 2. Если а' не совпадает ни с а, на с одним из чисел Ь Ь, гпо каждый открытый интервал (Ьо б,,) (1= О, 1, 2...,) или (Ь, „. Ь„) (й=0, — 1, — 2, ...) содержит одно и только одно из значений, сопряженных к а'.
Иначе говоря: между каждой парой чисел бь б.+, заключено по крайней р 1+г мере одно число б,.', и обратно. В самом деле, допустим противное, что, например, интервал (бо Ь,) .содержит два значения Ь' и б'.+о сопряженные к а'. Замечая, что б, в+о ь+г и Ь'., будут первыми сопряженными соответственно к Ь и б.', получим: 1-ьг 1 ),,(Ь,', Ь',,)=Л,(бо Ь,,)=0. Но, с другой стороны, поскольку отрезок [Ь,.', Ь' +,1 целиком заключен внутри [бо Ь,,), имеем в силу теоремы 1: Л, (Ь.', Ь'.,)) Л,(бо Ь,,) =0; получаем противоречие.
283 5 88] мииимлксныв экстггмьли Так как при произвольных значениях )с(х)) О и Р(х) уравнение Якоби [у] = О есть произвольное линейное однородное уравнение второго порядка: у'+ иу' +у = О '), (1) то доказанную теорему можно также формулировать следующим образом: ТЕОРЕМА ШТУРМА. Если некоторая интегральная кривая урав.нения (1) пересекает ось Ох в точках а и Ь, то всякая другая интегральная кривая того же уравнения пересечет ось Ох по крайней лере в одной из точек закрытого интервала [а, Ь], причем если одна из точен пересечения есть точка а (или Ь), то точка Ь (или а) есть гпакжв точка пересечения.
Укажем на одно простое следствие из доказанной выше теоремы: С л е д с т в и е. Если открытый интервал (а, Ь), а ( Ь, содержит единственное значение, сопряженное к а, пусть, например, а„ то этот интервал (а, Ь) содержит также единственную точку Ь„ сопряженную к Ь; при этом а, ) Ь,. Понятие области в функциональных пространствах. Мы видели в теории функций .многих переменных (8 25), что критические точки различного типа можно характеризовать различной геометрической структурой области меньших значений. Эти геометрическо-топологические исследования распространяются и на случаи функционалов.
Пусть дано функциональное пространство (ч непрерывных функций у(х) (а ( х ( Ь) класса С„принимающих заданные значения: у(а) =уа, у(Ь) =у, на концах интервала [а, Ь]. Расстояние между функциями мы определяем в смысле их близости первого порядка. Пусть у=у(х) есть функция, входящая в г1. Окрестность у(х) на (ч есть ее е-окрестность первого порядка. Множество [у(х)) функций, принадлежащих ]ч, мы назовем обласгпью, если, какова бы ни была точка пространства гс, т. е.
функция у(х), принадлежащая [у(х)), существует ее е-окрестность, также принадлежащая (у(х)). Область 0 называется связной, если любые ее две точки уь(х) и у,(х) можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей целиком области, иными словами, существует функция У(х, а) (О (а (1), непрерывная относительно а и такая, что: у(х, О) =уе(х), Дх, 1) =у,(х), и при О ( а ( 1 функция У(х, а), рассматриваемая как функция только х, принадлежит области О. Пусть на (ч определен функционал ь К(у) = / г".(х, у, у') ах.
И Выберем на гч функпию уь(х). Совокупность функций у(х) из ~, двя которых К(у) ( К(уа), назовем областью меныаих значений относительно уа(х). Ги Ва т) Обозначая й=в" (сведовательио й" =итг) и умножая обе части вашего уравнения на К, получим уравнение Якоби: -- (ру')+ру=о. 284 втогла вьеилция и линейные вееилцнонные задачи [гл. Х1П Окрестность экстремальной кривой. Пусть уо (х) есть функция, для которой ЬК=О, т.
е, кривая у=уо(х) есть экстремаль. Кроме того, пусть вдольу=уо(х) Евв ) О. Рассмотрим пересечение Т, некоторой е-окрестности функции'уо(х) с областью меньших значений для уо(х). Т есть, очевидно, область. Докажем теорему: ТЕОРЕМА. Если дуга АВ вкстремали у=уо(х) (а (х (Ь) содержит толысо одну точку, сопряженную с А (отличную от В), то при достаточно малом е область Т, не связна.
В силу условий теоремы отрезок (а, Ь) содержит одно значение 1, сопряженное с а справа, и одно значение о', сопряженное с Ь слева. Согласно следствию из теоремы Штурма точка 1' лежит между а и В Возьмем на отрезке (1', 1) произвольную точку с. Отрезки (а, с) н (с, Ь) не содержат точек, сопряженных одному из их концов. Обозначим: с ь К, (у) = ~ Р'(х, у, у') Ых, Кг (у) = ~ Г (х, у, у') ах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
