Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Обозначим через й, наименьшее собственное значение формы ь у = /(Р0г+)С0")йх Я ф 91) втогая вдгилция для изопяиимитгичвской задачи зоз при условиях: ь т1(а) =л(Ь)=0, / рт)с(х=О (1=1,2,...,я). а В силу условий теоремы ро) О. На основании свойства 11' 9 91 (стр. 298) собственных значений наименьшее собственное значение ро~ формы У„на пространстве, определяемом равенствами: / (р,+е,)т)с(х=О (1= 1, 2,..., (), (112) при достаточно малых е, будет сколь угодно близким к ро. Отсюда при достаточно малом е будем иметь: Ро)~ 2 ° (113) Из свойства 9' следует, что существует также положительная константа с1, такая, что: ь ь ь / (Рт)з-+ Р~'а) Ых ) ~ ' / т)а Ых+ с1 / т)'в с(х ) Рэ )~тзпс + 1 / где т) 8(х), 8(а)=т)(Ь)=0 есть произвольная функция класса С, удовлетворяющая (112) ').
Отсюда ь ь д'(у) — д'(у) = / (Рт)з+)тт)'в) ах+ / (Ет)в+ Мл'в) ~1х) о а ь ь > У (Ж+ Е)т)в Их+ У (ос +Л) т)' осх, где С и Л4 равномерно стремятся к нулю вместе с е. Таким образом при достаточно малом в будем иметь: 4 т) При этом естественно предполагаем э настолько малым, чтобы с,= а,(х) (1=1,2,...,л) были непрерывны при а(х (Ь.
вторая часть теоремы полностью доказана. Первая чзсть теоремы (необходимое условие) есть прямое следствие рассиотрений 9 62 и доказанных нами необходимых условий неотрицательности второй вариации. 304 втовля влгилция н линвйныв влгилционныв злдлчи (гл. Х1П ф 02. Уравнение в вариациях и сопряженные точки для изопери- метрической задачи Геометрическая интерпретация условий Якоби.
В ф 86 мы дали наглядную геометрическую интерпретацию условиям Якоби, связав задачу разыскания сопряженных значений с задачей построения экстремали, бесконечно близкой к данной. Эту теорию в известном смысле можно распространить и на случай изопернметрической задачи, но получаемая при этом картина оказывается здесь значительно менее четкой и более сложной. Мы здесь наметим эту картину лишь в самых общих чертах. По аналогии с ф 86 мы рассмотрим предварительно следующую задачу.
Пусть т: у =у (х) есть изопериметрическая экстремаль функционала~ ~=/~( ~У)б ° когда за класс допустимых линий принимается совокупность кривых класса С„соединяющих две данные точки А(а, а,) и В(Ь, д,) и удовлетворяющих я условиям: К, = ~ 0Н~(х,у,у')бх=г', ь требуется найти изопериметрическую экстремаль, бесконечно близкую .к данной экстремали т '). Для решения этой задачи обозначим через у=у(х) =у(х)+йу( ) уравнение искомой экстремали и будем считать, что Зу и бу' бесконечно малы. Так как у(х) и у(х)+Зу(х) суть изопериметрнческие экстремали, то, следовательно, для этих кривых имеем: Г„(х,у,у') — — „с Р„,(х,у,у')+ + ~~)~~ Л, ~0 ~О(х, у, х') — — 0„,~" (х,у,у')~ =О, (х, 1у+ оу, у' + йу') — — „— Р'„, (х, у + 8у, у' + ьу') + + '5', Л,' [О '"(х, у+8у, у'+ду') — — „, 0„,'"(х,у+ Зу, у +ду')1=0, .где Л, и Л; суть множители Лагранжа-Эйлера соответственно для одной н для другой изопериметрических экстремалей.
Кроме того, ь ь / 0О1(х,у,у')бх=7, / 0~0(х,у+оу, у'+3у')бх=Р, (115) а Я т) Функции Р и 0<О удовлетворяют тем же общим условиям, что и выше. 9 92! 305 хглвнвнии в влвилциях / р,'у([х=О (1=1, 2,..., А). (11у) Уравнение (116) есть уравнение в вариациях для изоперил)етрической задачи. Таким образом вариация изопериметрической экстремали йу удовлетворяет линейному уравнению второго порядка (116) и й условиям ортогональности. Полагая 9 = Л,' †,, уравнение в вариациях примет (() вид: [йу)+У,й" р =О. (118) Легко . видеть, что и обратно, если при некоторых значениях р(') мы получим решение уравнения (116), удовлетворяющее условию (117), то с точностью до бесконечно малых высших порядков мы получим уравнение изопериметрической экстремали, бесконечно близкой к данной.
для этой цели достаточно заметить, что если Зу =у(х) есть интеграл ь (116) при 9' = й„'", [ )'(х) р„= О, то йу= лл)"(х) будет интегралом а (116) при р' =)лйе', ) йурглх=О(1=1,2,...,а), где Ь вЂ” произволь(л) (() г ная константа . Если написать уравнение Эйлера-Лагранжа изо периметри чес ких экс гре малей для квадратического функционала: У= / (Рйуа — '.;Нйу'а)а)х, а заданного в пространстве Йл: ь р,буях= О, то мы получим снова уравнение в вариациях (118). Этот факт имеет простое объяснение на .основании первого добавления.
В самом деле, мы видим, что функционал в' = / Г (х, у, у') е)х, л) Напомним, что [Зу[ = — (Н,, у~) — ( Н вЂ” — Н, ) ьу', где ах вв [, ев ах вв у Н=Р— У'),а,, Рг=ав(П вЂ” ~ а, Ш. Вычитая постепенно левые части уравнений (114), уравнений (115), отбрасывая бесконечно малые высших порядков и вводя принятые выше обозначения, получим: [йу] + У (Л,' — Л,) в, = О )), (116) 306 втовля вавнлпия и линвйныв вавнлцнонныв задачи 1гл. Х!Н рассматриваемый на линиях, удовлетворяющих условиям (115), вблизи экстремали ",: уо(х) (близость первого порядка) с точностью до бесконечно малых высших порядков совпадает с квадратическим функционалом: о У(уо+оу) — У(1уо)=У. = / (Роув+1т' 'в) 'х.
р,?У Их = О. У' Р (120) Отсюда, пренебрегая попрежнему бесконечно малым высших порядков, можно формулировать: для того чтобы точка С была сопряженной с точкой А, необходимо и достаточно, чтобы нашлось решение уравнения в вариациях, удовлетворяющее условиям ортогональностн (120) и обра- заданным на пространстве (т,. Отмеченные выше совпадении уравнения в вариациях с уравнением Эйлера-Лагранжа для квадратического функ- ционала таким образом показывают, что изопериметрические экстремали функционала о, близкие к т, совпадают, с точностью до бесконечно малых высших порядков, с изопериметрическими экстремалями квадрати- ческого функционала У~(У) = ~ (г (У Уо)а+тг(У вЂ” Уо')Чпх.
о Сопряженная точка для нзопериметрической задачи. Введем теперь понятие сопряженной точки для изопериметрической экстремзли. Пусть ". у =у(х) есть попрежнему изопериметрическая экстремзль, выходящая из точки А. Мы скажем, что точка С экстремали т есть точка, сопряженная с А, если, как бы мало ни было число е, суще- ствует точка С'(с', с,'), удаленная от С не больше чем на г и обла- дающая следующими свойствами: 1) С' принадлежит 2) точки С и С' можно соединить нзопериметрической экстремалыо у=у(х), расположенной в а-близости от Т и такой, что: С' с / Ф' (х, у, у') Нх = / О'О (х, у, у') Нх.
(119) а Ю Точка С есть предельная точка точек пересечений С' изопериметрической экстремали т с бесконечно близкими изопериметрнческими экстремалями, удовлетворяющими условиям (119). Как мы видели выше, с точностью до бесконечно малых высших порядков всякую экстремаль, близкую к т, можно представить в виде: у(х)=у(х) +оу(х), где оу удовлетворяет уравнению в вариациях: (оу) = ~ ъ р,.; условия (119) прн этом примут вид: с 807 $92] УРЛВНЕННЕ Н ВЛРНЛЦИЯХ шаюшееся в нуль в концах интервзла (а, с), т. е. чтобы абсцисса точки С была значением, сопряженным с а. Мы приходим к следующей теореме: значение, сопряженное с а, равно абсциссе одной из точек экстремали, сопряженных с А. Приведенные выше рзссуждения не дают, очевидно, строгого вывода этой теоремы: этот вывод можно получить рассмотрением, аналогичным 9 86 — 87.
Если абсцисса сопряженной точки есть сопряженное значение кратности й, мы говорим, что „сопряженная точка имеет кратность й". Применим некоторые из добытых нами общих результатов к двум классическим нзопериметрическнм задачам. 1. Изопериметрическая задача в узком смысле. Эта задача сводится к нахождению минимума ь у' 1+ у'с с(х прн условии К = ~ у с(х = с .
ч Как мы видели в 6 60, зкстремалн суть всевозможные окружности: (х — а]т+ (у — ))з = 1 Полагаю Н = )у+ Р 1 1-',"у~ у= ~ нах, ч будем кметы 1 „. зу'-'.Их. Р (1-(- у") з Так как вторая взрнапия выразилась квадратическим функционалом определенно положительным, то отсюда в силу теоремы 3691 заключаем, что дуга окружности осуществляет во всяком случае слабый минимум л при условии К=я. Отсюда также следует, что любая дуга окружности, выходящая из точки А(а.
О), не содержит точки, сопряженной с А. (В атом можно убедиться легко из чисто геометрических соображении и отсюда, не рассматривая ьзг, непосредственно убедиться также, что дуга окружности осуществляет искомый минимум,) Вполне аналогично можно обследовать изоперпметрическую задачу в узком смысле на поверхности. 2. Задача с тяжелой цепью. Эта задача приводится 6 60 к разысканию нинимума ь 3= 1 у Ф/1+уадл и при условии: К = ~ 3/1 ~- ум дх = 6 ! 308 втогая влгилция и линвйнык ватилцнонныи задачи (гл. Х1П Семейство нзолернметрических зкстрзча тей будет определяться уравнением: у+х=сн —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
