Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Заметим, что теория квадратического функционала представляет большой самостоятельный интерес, поэтому мы разовьем эту теорию несколько шире, чем это нужно для поставленной задачи вариациониого исчисления. Пространство 1Т». Квадратический функционал на гс». Пусть иам даны непрерывных линейно независимых функций класса С, переменной х(а (х (Ь): р, (х), ря(х), ..., р,(х). (92) Обозначим через гс» функциональное пространство, элементами которого служат всевозможные непрерывные функции у=у(х) класса С„удовле- творяющие следующим условиям: у(а) =у(Ь) = О, (91) ь У р>уо'х=О. Пространство 1т» составляет, очевидно, часть пространства 1Т, рассмо- тренного выше. Элементы пространства Я» суть все элементы простран- ства >т, ортогональные функциям р, (>=1, 2, ..., й).
Пусть теперь на пространстве Я» задан квадратический функционал ь У.,= ~'(Руэ+йу") й, а где Р и >г суть непрерывные с непрерывными производными функции от х, причем >с ) 0 на отрезке (а, Ь). Форму е'„мы назовем положи- >пел»но-опреде>енной на )х», если для всех функций К» форма принимает положительное значение: а'„(у) ) О. Форму У„мы назовем неотрица- тельной на >т», если на >х» всегда е, (у) )~0. Условия положительности формы е„.
Для приложений к изопери- метрической задаче центральным является вопрос, при каких условиях форма з'„» будет на )х» положительно-определенной (неотрицательной), а также вопрос классификации этих форм по образцу 9 88. Так же как для формы, заданной в пространстве (х, для изучения формы е'„на Й построим сферу единичного радиуса: У уз йх = 1 (93) и найдем критические значения а'„при условиях (91) и (93). Это есть, очевидно, изопериметрическая задача. Покажем прежде всего, что изо- периметрические условия (91), (92) и (93) удовлетворяют условию, достаточному для применимости метода Эйлера-Лагранжа неопределенных множителей. В самом деле, согласно $ 60, если изопериметрические усло- вия имеют вид: / Оой(х,у,у')йх=1 (>=1, 2, ..., Ь), то для применимости метода Эйлера-Лагранжа достаточно, чтобы вдоль 292 втогля влвнлцня н линейныв ВАРилционные задачи [гл.
ХП! (Рт ) (Р~рв) (Р|ра) (Рвр ) (Рв') (Рвра) О, (Рар1) (Рлря) (Ра ) где положено / р,р,.дх=(р,ру), что невозможно в силу линейной независимости функций р,. Итак, все кривые класса С„резлизующие экстремум У при условиях (91), (92) и (93), можно получить, применяя метод Эйлера-Лагранжа. Искомые кривые будут удовлетворять уравнению: 3 / (Рут+ Ду'в+ ру'+ 2 ~) 7о р. у) Ас = О, где Р и «~~ суть множители Лагранжа-Эйлера. Или, применяя уравнения Эйлера: [у) =ру+~ т ртс [(94) Константы 9 и ти1 должны быть подобраны так, чтобы интеграл уравнения (94) удовлетворял условиям (91), (92) н (93). Исследуем предварительно решение уравнения (94), заменяя условие (91) условием лишь в одном конце: (91') у(а) = О.
Построим вспомогательные уравнения: [У) =РУ [у] = ру+ р, (т' = 1, 2,..., и) (95) (96) т) Все с, равны нулю быть не могут, нбо в противном случае у = О, что невозможно в силу условия (93). экстремальной кривой функции 0„— — 0„, (1= 1, 2, ..., ут) были ьй М 19 линейно независимы. В нашем случае 6' =рту (1=1, 2, ..., и), рл ту~+' =ув, и отмеченное условие линейной независимости приводится к условию линейной независимости экстремальной функции у =у (х) от данных уа функций р„рв, ..., р,. Допустим противное, что у линейно выражается через р;.
ь у=,) ср, '); т=т тогда, подставляя выражение для у в условия (92), получим: ь ь с, /,'р, р, Ых = О; т=т а отсюда заключаем, что для функций р, должен обратиться тождественно в нуль определитель Грамма: $91] ВтОРАя Вагилция для изопвгиметгической задачи 293 и обозначим через у=уз(х) (уе(а)=0) и у,=у,(х) (у,(а)=0) какие- нибудь решения соответственно уравнения (95) и уравнения (96) '). При этих обозначениях общее решение уравнения (94) при условии (91') будет: у= Суе+ ) ч~~уч, где С в произвольная константа. Определим теперь константы С и ч'9 из условий (92) и (93). Г]одставив выражение для у в условия (92), получим: ~~„„чо / р,у,йх+'С / р,у с(к=0, ч а а или, используя сокращенную запись: ч (р.у,) + С(р у ) = О.
(97) Таким образом для определения ч"' и С мы получим систему й линейных уравнений с й+1 неизвестными, которая всегда имеет нетривиальное решение. Если ранг определителя системы (97) равен й, то общее решение этой системы будет зависеть линейно от одного пзраметра й С= ай (98) В этом случае решение уравнения (94) при условиях (91), (92) и (93) будет единственным, ибо параметр 1, остающийся произвольным, определится единственным образом из условия (93). Если ранг определителя системы будет равен г < й, то С и чч~ будут линейно зависеть от Гй й — а+1 произвольных параметров, решение уравнения (94) при условиях (91), (92) и (93) будет зависеть от й — з параметров.
Таким образом, каково бы ни было значение рч существует решение уравнения (94), удовлетворяющее условиям (91), (92) и (93), но это решение, очевидно, в общем случае не будет обращаться в нуль при х=Ь, т. е. не будет удовлетворять условию (91). Те значения р, для которых построенное нами решение уравнения (94) при х= Ь обратится в нуль, мы назовем собственными значениями формы У„на ]с,. Пусть р есть одно из этих собственных значений. Ему отвечает по крайней мере одна функция у(х), нетождественно равная нулю на отрезке (а, Ь], и система констант ч", при которых удовлетворяется уравнение (94) и условия (91), (92).
Константы Р можно рассматривать как компоненты некоторого вектора ч в й-мерном пространстве. Функция у(х) называется собственной функцией /, на (см отвечающей собственному значению 9, а вектор ч назовем солровождаюи1им вектором. т) Такие решения в силу условия Я~О, очевидно, существуют.
294 втовая вавилцня и линейныв ваяиациониыя задачи (гл. Х!!! Основные свойства собственных функций. Установим по аналогии с $82 — 87 ряд важных свойств, которыми обладают собственные функции. 1'. Если у„у„..., у„суть собственные функции формы У„, отвечающие собственному значению р, то .~, с,у, есть тожесобственная функция у,м отвечающая тому же значению р, с сопровождающим вектором, равным ~ с, тщ. В самом деле, если т,, х, ..., ч„суть компоненты сопровождаюсь рь рь щего вектора Ф>, то функция у, (х) удовлетворяет уравнению: к (у)= ру + )~~,т! 1р.= 0 т=1 и условиям: у,(а)=у,(Ь)=0, (ру,)=0 ()=1,2, ..., А).
Следовательно, функция К=~~~с,у,",удовлетворяет уравнению: ч ь и условиям: Г(а)= 1'(Ь)=0, (р„У)=0. Отсюда следует, что совокупность всех собственных функций у(х), отвечающих определенному собственному значению р, образует линейное функциональное пространство ! точно так же, как совокупность Е всех сопровождающих векторов есть линейное многообразие Ф' ~( Ф измерений. В дальнейшем отметим два случая: а) Уравнение (99) !у) =ру при У(а)=у(Ь) =(р;,У) =0 (ю'=1, 2, ..., А) имеет только тривиальное решение у = О.
Ь) Уравнение (у! = ау (99) при у(а) =у(Ь)=0 (1=1, 2, ..., Ь) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее условиям: (е,, у) = 0 (/ = 1, 2, 3, ..., А) (99') (9 является собственнын значением фэриы з„на функциональном пространстве 1т). Так как уравнение (99) есть уравнение Штурма-Лиувилля, то, обозначив через уа(х) одно из его решений, мы получим все нетривиальные его РешениЯ в виде С)а(х), где С в пРоизвольное постоЯнное. $91) втогля в»ги»ция для изопввимвтвичвской задачи 295 2'. В случае „а" каждому сопровождающему вектору ч из Е отвечает только одна собственная функция у(х).
В случае „Ь" каждому сопровождающему вектору ч из Е отвечает аднопараметрическое семейство собственных функций у (х) из (, имеющих вид: у=ув+суе, где уе(х) †од из собственных функций с сопровождающим вектором т и где 1'е (х) есть решение уравнения ШтурмаЛиувилля (99). В самом деле, если у,(х) и уе(л) — две функции с сопровождающим вектором ч, отвечающие собственному значению в, то у, †есть функция с сопровождающим нулевым вектором.
у, — уе есть решение уравнения Штурма-Лиувилля (99) при условиях (99'). В случае „а" у, — уе = О, у, =уе; в случае „Ь" у, =уе+ сУв. Итак, в первом случае у нас имеется взаимно-однозначное соответствие между линейными пространствами 1 и Е, во втором случае каждому элементу Е отвечает прямая в пространстве 1 . Отсюда следует: 3'. Каждому собственному значению 9 формы У„на (х отвечает не более й+1 линейно независимых собственных значений. В самом деле, все сопровождающие векторы т являются линейными комбинациями л' векторов (Ф' (й): т„ч„..., т»ч где А — й'+1 есть ранг системы (97). В случае „а" каждому вектору т,(1= 1, 2, ..., А') отвечает единственная собственная функция уб в случае „Ь" каждому вектору т, отвечает семейство у,+с1;, собственных функций. В случае „а" все собственные функции линейно выражаются через Ф' функций уы ув, ..., у»; в случае „Ь" все они выражаются линейно через й'+1 функций у„у», ..., у„,, ув.
° Будем считать, что й есть собственное значение кратности А', если собственному значению 9 отвечают й' линейно независимых собственных функций, т. е. что у нас имеется А' слившихся собственных значений. В этом и заключается все основное отличие теории собственных значений формы У„(у) на пространстве функций 1х от разобранной выше теории этой формы на пространстве функций й. В остальном теория собственных значений формы у„ на К» почти дословно повторяет разобранную выше теорию собственных значений формы У„ на Й. Отметим наиболее сущегтвенные моменты этой теории: 4'. Собственные функции у,(х) и уэ(х) формы У,» на 1х», отвечающие Различным собственным значениЯм цы 1»„оРтогональны.
В самом деле: 296 втовля влеиьция и линвйныв вьтиьционныв задачи [гл. Х1!а умножая первое из уравнений на уэ, второе на у, и проинтегрировав в пределах от а до Ь, в силу соотношений ь ь [У~)узах= / [Уа)у ах ./' а Ю ь ь / р,у, ~1х = / р,у. дх = 0 (»' = 1, 2, ..., й) » и получим путем почленного вычитания: (р, — р;) / у,у, 1х = О.
Ы=РУ+~ ®оР», при / уз»1х = 1, / р, у йх = 0; отсюда: ь ь :ь .I,» (у) = / [у]у ах = и / узах+ ~~~~ Р~ / р у ах = р. Применяя Ъ»етод 9 80, можно показать, что абсолютный минимум .»„Я) 0), при условиях: ь ь / р,у,ах=О, / уэЫх=1, у(а)=у(Ь)=0, достигается на некоторой кривой класса С,; отсюда заключаем, что этот абсолютный минимум равен значению У„для одной из нормиро- ванных собственных функций формы У, на К». Используя свойство 5', получим: (99") ь Так как Р., ф 9, то / У,Узах=О. Если мы имеем а'-кратное собственное значение, которому отвечают и' линейно независимых собственных функций, то можно эти л' линейно независимых собственных функций выбрать взаимно ортогональными. Нормировав собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, получим систему взаимно ортогональных собственных нормированных функций, причем каждому собственному значению отвечает одна такая собственная функция (а'-кратное собственное значение рассматривается как Ф' слившихся различных собственных значений).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
