Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 57
Текст из файла (страница 57)
х — р (121) Полагая Н=(у+И) Р"1+у'г, ь 7= ~ иах, ь будем нметак агу = — — — зуз + 2 1 и ~г )ь. (1+,-) -' (1+да) —. а Так как ваоль зкстремали (121) при а)0 (е(0) имеем у+)) 0 и у")О (у+Л(0, уе(0), то отсюда заключаем, что для всякой вогнутой зкстремали имеем: ь-'У)0 следовательно (теорема 3 9 91), всякая вогнутая зксгремаль, удозлетворяющяя условию К= 1, реализует искомый минимум. Любая дуга цепной линии (121) лишена сопряженных точек. Теорема Морса для изопериметрической задачи. Назовем изоперинетрическую экстремаль Т зкстремалью (г-гэ пэрядка, если для нее вторая вариация на соогветсгв ннов функциональном прэстранстве гхз имеет гг отрицательных собственных значений.
Из рассмотрений настояшего параграфа мы, повторяя доказательство теоремы Морса для простейшего случая, получим: ТЕОРЕМА. Для того чтобы экстремаль АВ была экстремалью я-го порядка, необходамо и достаточно, чтобы сумма кратностей всех сопряженных к А гпочек, расположенных внутри АВ, равнялась к.
ГЛАВА Х1Ч ТЕОРИЯ ПОЛЯ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СИЛЪНОГО ЭКСТРЕМУМА 9 93. Геометрия вкстремалей агза = А див+ 2В Ии до + С доэ. (2) функционал е дает длину линки т; если 7 есть зкстремель, то е'(7) есть „расстояние" между концами,. В соответствии с зтнм одна нз центральных задач вариационного исчисления: дает ли данная экстремаль 7 минимум или максимум функционалу е' для случая функционалов (1), приводится к задаче: оает ли данная геодезическая 7 минимум длин кривых, лринадлежащих поверхности и соединяющих концы 7.
Геометрическую интерпретацию функционала l(7) и его экстремалей можно сохранить, не прибегая к пространству. Экстремали функционала е' будут „прямые" в двумерной римановой геометрии (и, о) с элементом дуги (2). При изучении свойств семейств экстремален функционала е= 1 р(х, у, у')ах г (3) или / = / Е (х, у, х', у')~й оказывается весьма удобным распространить на этот функционал вторую (из отмеченных двух) геометрическую интерпретацию функционалов спеииатпого вида (1). Всякую зкстремаль функционала (3) условимся назь зать э"-лрямои.
Вначение функционала э' на 7 будем называть Геометрический язык. В 9 72 мы говорили о геометрии на поверхности. Принимая в этой геометрии за „прямые" геодезические линии, мы видели, что ряд теорем и понятий евклидовой геометрии распространяется на геометрию поверхностей. Если считать поверхность задзнной параметрически, то семейство геодезических на этой поверхности совпадает с семейством экстремалей функционала -г~": (1) где и и о — параметры, а А, В и С суть козфициенты первой диференциальной формы поверхности: 310 твогия поля и достаточныв условия сильного экстгвмэмл 1гл. Х1Ч У-длиной, У-длину экстреяали, соединяющей точки А н В, условимся считать У-расслгоянием между точками А н В.
Введенные понятия позволяют говорить о неевклидовой геометрии с диференциалом дуги: аэ = Р(х, у, у') ах. Если Р = 1У 1 — ', у'Я, то У-прямые превращаются в обычные прямые. Наша геометрия превращается в обычную евклидову геометрию. Прн произвольной функции Р') и при любых координатах х, у введенная геометрия мало похожа на обычную геометрию: через две точки не всегда возможно провести У-прямую, и может случиться, что через две точки проходит несколько У-прямых, и,следовательно, У-расстояние между двумя точками не есть однозначная функция координат этих точек.
Однако, как мы увидим ниже, при некоторых (достаточно общих) дополнительных гипотезах относительно функции Р в областях, размеры которых зависят от вида функции Р, наша геометрия будет вполне естественным обобщением обычных геометрий. Во всяком случае задача: дает ли данная экстремаль у минимум функционалу У, эквивалентна в нашей геометрии задаче: дает ли У-прямая т „кратчайшую" линию среди линий, соединяющих концы т. Форма Гамильтона уравнений Эйлера-Лагранжа для У. Лля того, чтобы не загромождать формулировок и доказательств большим количеством теоретико-функциональных оговорок и „особыми случаями", мы в этом параграфе будем вести изложение в классическом духе: мы будем предполагать все участвующие в рассмотрениях функции диференцируемыми столько раз, сколько потребуется; исключение переменных из систем уравнений мы будем считать возможным; условия единственности интегралов диференциальных уравнений будем предполагать выполненными и т.
д. У-расстояиие между точками А и В есть функция четырех переменных: координат хе, у„точки А и координат х, у точки В. Если координаты хе, уе, х, у получат приращения аахм ауе, 4х, ау, то У-длина получает приращение аУ: гУУ=(Н(х, у, у')лх-г-Р(х, У, У')ау)— — (Н(х„, у,, уе') а'ха+Р(хо ую Уе) ~у (б) где Р— Р, (х у у ) Н вЂ” Р У Р„, Уе и У сУть Угловые коэфициенгы соединяющей точки А и В экстремалн в ее концах.
Отсюда следует: дУ дУ вЂ” = Н(х, у, у ), — — р (х, у, у ), дУ дУ Н(хе' у01 уа ) ду Р (хя уе~ уе )ч Ввиду основной роли, когорую играют функции Р и Н в теории семейства экстремалей, естественно придать уравнению Эйлера-Лагранжа, форму, в которой фигурировали бы явно функции Р и Н. для этой ~) Удовлетворяющей лишь обычвыв теоретико-функциональным условиям непРеРывности и двфереацируецости по всем трем аргументам. $941 пОле экствемллвй и тэансввэсалн цели мы наряду с переменными х, у, у' будем рассматривать переменные х, у и р = с".„(х, у, у'). Всякую функцию и(х, », »') трех аргументов мы можем рассматривать, пользуясь соотношением р =Г,ч также как функцию от х, у, р. Для сокращения письма мы условимся в дальнейшеч обозначать через и, и„, игч как обычно, частные производные функции сс(х, у, »'), рассматривая ее как функцию от х, у, у', а дн ди дн через, — —, —,— соответсгвующие частные производные, рассмадх' дг' д1" тривая и как функцию от х, у и р.
Прн этик ооозначениях инеем в переменных х, у, у': ИН = ссгт — у' с(р — р А~' = Р; с1х - ' Р„'йу — '-р с(у' — я'с7р — р а~»' = = с"., ах + Е; ду — у'аср. С другой стороны — в переменнык х, у, р: дНс , дН > дН НХ=- - с4х — ' — —. Ыу — '- Ир, дх ' ду др Следовательно: Полученные соотношения позволяют нам уравнению Эйлера- Лагранжа: (6) с".
— — — г" ° =О стх придать следующий вид: (7) дН дд д» дх ' дн Л» (8) дд их Система уравнений (8) называется гажильтоиовой формой уравнений Эалера или ьаноииченсой формой, Она заменяет уравнение (7) второго порядка с одной неизвестной функцией двумя уравнениями первого порядка с неизвестными функциями у=у(х) и р=р(х). Из (6) н (8) следует, что вдоль экстремали дН дН дх дх В частности, если тч не зависит явно от х, ~о: дН вЂ” =О, Н=сопэц Их 9 94. Поле экстремалей и трансверсалн Понятие поля экстремалей. Введем ряд понятий, которые будут играть основную роль в геометрии экстремалей.
Пусть имеем семейство ( т') простых дуг 7 и односвязную область гх, обладающие следующими свойствами: 1'. Концы дуг семейства ', 7) принадлежат границе Х>. 2'. Через каждую точку ах проходит одна и только одна дуга семейства. 312 твовия поля и достаточныв головня сильного экстгвмтма [гл. Х1Ч При этих условиях мы скажеи, что рассматриваемое семейство ( т ) образует лоле и что это лоле покрывает область Р. Вели дуги суть экстремали ') и образуют поле, то это поле мы назовем полем эхстремалеа. Собственное поле.
В дальнейшем особую роль будут играть поля экстремалей специального вида. Пусть мы имеем однопараметрическое семейство ( Т( экстремалей функционала У, уравнения которых имеют вид: у=а(х, а), (9) н допустим, что при изменениях х и а в пределах х, (х (хя, а <а (ая рассматриваемое семейство ( т [ линий образует поле. В таком случае очевидно, что при любом х(х, (х (хя) функция о(х, а) есть монотонная функция а, т. е. или — )~0, или — (О при любом дв дэ да да (10) а (а (а (ая). В дальнейшем мы будем безоговорочно предполагать, что." 1) — ) 0 при а, (а (ае, дт 2) а непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка при всех значениях х и а, удовлетворяющих неравенствам (10). 3) Обозначая через а = у (х, у) решение уравнения (1) относи- тельно а [при х, у, принадлежащих области поля и при а, ( а ( ае(: а [х, Х(х, у) = — у, и допустим, что при х, <х (хе, а, (а (ая это семейство экстре- малей образует поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
