Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Если мы отложим на всех экстремалях Т нашего поля в одном направлении дуги одинаковой 1-длины с началами на Г. то концы этих дуг образуют тоже трансверсаль поля (Т(. Обозначим через Г, геометрическое место точек В, одинаково удаленных от Г. Перейдем от дуги АВ экстремали Т к близкой экстремальной дуге А'В' той же длины, причем А и А' лежат на Г. Так как приращение э'-длины при переходе от АВ к А'В' равно нулю, то, обоз- начаЯ чеРез йхы агУ, и йхя, дУя пРиРащении кооРдинат точек А и В, О = 6У = (Н, йх, + р, с(у,) + (Нз ах, + рз с1уа). В самом деле, если В есть точка кривой Г, то э'(В) есть э-расстояние от А до В. С другой стороны, приращение Ы при переходе от В к близкой точке В', расположенной на Г, равное Нйх+ рггу, обращается в нуль, так как линия Г трансверсальна к экстремали АВ.
Итак: .У(А, В) = сопз1. Пример 1. Если Р= 1~1+уса, то экстремалн т суть прямые, проходящие через А, линия Г есть окружность; условие трансверсальности есть условие оргогоиальности, и наша нослелняя теорема даст иам известный факт ортогональностн окружности к радиусам. Пример 2. Если экстремалн суть геодезические на поверхности, то трансэерсали целтрального поля суть геодезические окружности; трансверсальность попрежнему означает ортогональностсь н мы получаем ортогональность геодезической окружности к геодезическим радиусам.
Пример 3. Лля случая принципа Ферма центральное поле экстремалей есть пучок световых лучей, исходящих от светящейся тачки А, линия Г есть ливня волны, т. е. геометрическое место точек, лежащих на равном оптическом расстоянии от А, т. е. геометрическое место точек, до которых одновременно достигает световой сигнал, отправленный нз точки А. Трансверсальность в этом случае означает ортогональность. Наше предложение дает нам частный случай принципа Малюса — линия волны ортогональна лучам.
Пример 4. для случая принципа Мопертюи-Эйлера центральное поле экстремалей есть пучок траекторий, исходящих нз точки А при равных начальных скоростях. Линия Г есть так называемая линия равяого действия. Оиа ортогональна всем траекториям пучка, так как и в этом случае трансверсальность означает ортогональность. ТЕОРЕМА 3. Если Г, и Гэ — две транс- версали поля ( Т (, то отрезсси экстремалей поля между Г, и Гз имеют одинаковую ./-длину. Пусть АВ есть дуга экстремали Т поля (Т( Л (черт. 51), заключенная между Г, и 1'.
При переходе от дуги АВ к близкой дуге А'В', заключенной между теми же трансверсалями, Гс дляна э'(А, В) получит приращение оэ =(Н, йх, +р, ау,)+ (Нг'сгх +раиска), 318 твоэия поля и достлточныя головня сильного экстгямэмл (гл. Х1'ч Первая скобка равна нулю вследствие трансверсальности » и Г. Следовательно, равно нулю н выражение во второй скобке, что дает нам трансверсальность » и Г,. Пример. Рассмотрим случай, когда з = ( г'1 +у'а лл. Здесь поле экстремааей, трансверсааьяое кривой, есть пучок нормалей к кривой. Теорема 1 дает нам равенство отрезков нормалей между двумя кривыми с общими нормалями. Если на всех нормалях к данной кривой отложить равные отрезки, то согласно теореме 2 мы получим новую экстремаль, имеющую общие нормали с первой экстремалью.
Теорема 2 распространяется н на геодезические нормали к кривым на поверхности (теорема Гаусса). 9 95. Теория Кнезера Пусть мы имеем кривую Г класса С . Пусть ,'»,' есть однопараметрическое семейство экстремзлей функционала илн I (») = / В(х, У, х', У') й. Функция В удовлетворяет обычным условиям непрерывности и диференцируемости. л Допустим, что экстремалн» трансверсальны к Г и обладают огибающей г класса С, 1семейство (»), очевидно, не образует полн Черт, 82. экстремалей У(»)]. Обозначим через -. пара- метр, определяющий кривую нашего семейства, н пусть, есть кривая семейства, отвечающая значению[с. Обозначим через А (черт. 52) точку пересечения» и Г и через В точку пересечения» и г.
Введем положительные направления на линиях» и з. На линии» будем считать положительным направление от А к В.. Положительное направление на з определим так, чтобы в точках В,. положительные направления на» и г совпадали. Параметр т будем во всем дальнейшем считать выбранным так, чтобы при его возрастании точка В, двигалась в положительном направлении по з. Обозначая через У 3-длину отрезна А В экстремали», будем иметь: ггз.
= — (гта г1ла + Ро пУо) + Я и» ~~ Р пУ) ~ где с(ло, Ыуа, тих, Ыу суть приращения координат концов А и В экстре- мали » прн переходе от экстремали , к бесконечно близкой экстре- мали » +а,. Вследствие трансверсальностн » и Г первое выражение в скобках исчезает. Лалее: )У<~л+Р„2У = (В(л, У, У')' — (У' — У') Р) 1х, твозна кнвзввл где у' н у' — угловые коэфипиеигы кривых Т и з в точке В . Так кзк э точке В обе кривые соприкасаются, от у' =у', и, следовательно: ьП =Рбх Интегрируя это равенство в пределах от то до -.„получим: з' .— -з' = г Рйх, .й .Э (16'р где интеграл з правой части взят по дуге В В.
кривой з. По нашему ь ч определению этот интеграл есть з'-длина соответственной дуги В В 1 Равенство (16) выражает собой теорему Кнезера: ТЕОРЕМА 1 ! Кнезера). Пусть имег.н сел!вися!во зксгире.игг.гсй, трансвзргальных к линии 1' класса Ся и об.гадагоших огибтощей з гсласса С,. Пусть А,В, и А Вз — две дуги нашего селгейсзгза с концами А, и Ая на Г и каннами В! и В, на з. При этих обозначенияхг если !почка В яредшестзуегл гпочке В, то разнослгь 3-длин АгВ, и А,В, равна з'-длине дуги огибающей, заключенной между пючками В, и В.
Случай вырождения. Если линия 1' вырождается в точку О, то семейство экстремалей ( т ( в теореме Кнезера преврзщается в пучок экстремалей, выходящих из точки О; мы получаем следующий предельный случай теоремы Кнезера: ТЕОРЕМА Г. Пусть имеем пучок эгссгиремалей, выходя!!!их из глотки О и обладаюигих огибаюи)ей з класса С,, Пусть ОВ, и ОВз— две экстремали нашсго семеистза с кониоми В, и Вэ на з.
Й(ггг этих обозначениях, если точка В! луедшесглвует точке Вг, разноспгз з'-длин ОВз и ОВ, равна 3-длине дуги В,Ва огибающей ь. Другой на!нный частный случай теоремы Кнезера мы получин, если допустим, чзо огибающая з вырождаезся в точку Р, т. е. если все линии (Т !' проходят через ~очку Р.
В этом случае семейство (Т( вырождается в пучок экстремалей, выходящих из Р и трансверсальных к Г. Если мы дополнительно допустим, что и линия Г выродилась в точку О, то семейство .'..' превратится в семейство кривых, проходяпгих через точки О и Р. В этом случае по теореме Кнезера У-длииы всех этик линий будут между собой равны. Например, пучок больших кругов сферь!, выходящих из точки О, реализует последний случай. Пример 1. Для случая, когда (т) есть семейство прямых (экстреиазей Звя 1/! -)-уилл), семейство (т) ио теореме Киезера есть сеьгейстзо нормалей к; огибающая з есть ззолюта кривой Г.
Из теоремы Кнезера следует в этом случае известное вред!!эжен!!е о том, что луги эаозюты равны разности дзян о~резкое нормален, касающихся эволюты в копнах этой дуги. Пример с. Йля слу~ая геодезических на поверхности (экстремален для ( аз)семейство (т) обращаетгя в семейство геодезических нормалей к кривой Г, их огибающая з — ззк называемая ггодезическая зволюта кривой Г. Теорема Кнезера обращается з теорему Гаусса: Длина дуги ггодезической зволюты к кривой Г равна разности д.ьин отрезков ггодгзичгскзх норма.гьй кривой 1, яасающтчся зюлюты в конг!их этой дуги. 320 твогия поля и достлточныв головня сильного экстгемтмл [гл. Х!ч 9 96.
Условия Якоби Необходимое условие Якоби. Мы видели в гл. Х!!1, что если экстреыаль 7, соединяющая точки А(хп у,), В(хэ, уэ) дает слабый минимум функционалу г и если вдоль 7 Е'„Ъ )О (х, ~( х ( ха), (17) то дуга АВ не содержит точки, сопряженной с А и отличной от В. Приведенная выше теорема Кнезера об огибающей пучка экстремалей позволяет установить это предложение геометрически независимо от развитой в гл. ХН! обшей теории квадратического функционала.
Это геометрическое доказательство годится в одинаковой мере как прн рассмотрении функционала з, так и функпнонала 7 (в случае функционала 7 надо естественно условие Р„„) 0 заменить условием В,) 0). Отметим, что нижеследующие рассмотрения приобретают особенно полную геометрическую наглядность, если потребовать дополнительно, что В>0.
Черт. 53. Черт. 54. Перейдем к доказательству необходимости условия Якоби. Допустим, что при условии (17) дуга АВ содержит точку С, сопряженную с точкой А и отличную от В. Рассмотрим пучок экстремалей, выходящих из точки А. Как известно, геометрическое место точек этих экстремалей, сопряженных с точкой А, образует огибающую г семейства. Условие Якоби для слабого экстремума заключается в том, чтобы дуга АВ не имела общих точек с з. Геометрически возможны четыре случая: 1) огибающая з не выродилась в точку и точка С касания экстремалн 7 с г есть правильная точка кривой ') (черт. 53); 2) огибающая не выродилась в точку, точка С есть точка возврата лля з (черт. 55), причем точки дуги АС экстремали 7, близкие к С, и точки кривой г, близкие к С, расположены по одну сторону от нормали к г в точке С; 3) огибающая з не выродилась в точку, точка С есть точка возврата для з, причем точки дуги АС н г, близкие к С, расположены по разные стороны от нормали к з в точке С (черт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
