Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 61
Текст из файла (страница 61)
е. У,(А) есть з'-длина дуги АВ„экстремали 1,; обозначим аналогично через Уа(А) У-расстояние от А до Г . При этих обозначениях уравнение семейства эллипсов с фокальными кривыми 1', и Гя примет вид: е', (А) +еа(А) = С= сопя!. Перейдем от точки А (х,у) эллипса к близкой точке А' (х+ йх, у+ йу) того же эллипса. Будем иметь: ЫУ, (А) + а'е'я (А) = О. (18) Но сУ,(А)=Н,йх+р,йу, ЫХ (А)=Найк+рабу, (19) где Н, и р, суть значения функций Н=Р— у'Р„и р=р„. в точке А при значении у', равном угловому коэфициенту касательной к т, в точке А; и и ра — значения тех же функций в той же точке А, но при у', соответствующем зкстремали тя.
Из равенств (18) и (19) мы получаем диференциальное уравнение семейства эллипсов с данными фокальными кривыми: (н, +и,)+ "» (р,-)-р.,) =0, (20) где — — есть угловой коэфициент касательной к з-эрлипсу в точке А. а» бх Если р= р 1-! — у'~, то у' У'!+у": * У!+у" ' зкстремали 1, и тя суть прямые — нормали к Г, и Г,. Обозначим через р, и ра углы прямых 1, и 1а с осью Ох; уравнение (20) примет вид: соз ~, + з!и р, — — = — соа р,— в!и ра- --. бу .
ау (21) Обозначая через а, и ав соответственно углы, образованные т, и (я с касательной к эллипсу в точке А, уравнению (21) можно придать вид: соз а = — соз ая. 1— Последнее уравнение выражает следующее геометрическоя свойство е'-эллипса: углы, образованные нормалью к эллиису в любой точке А с нормалями к фокальным кривым, опушенным из А, равны между собой. Аналогично для поверхности: геометрическое место точек поверхности, сумма расстояний которых (по поверхности) от двух данных й 97] 325 гводвзичвскив эллипс и гипввволл Уг (А) — Уэ (А) = С= сопзй и вдоль з'-гиперболы: йУ, (А) — йзг (А) = О, откуда Н, ах + р, ау — (Нг йх+ ра йу) =- О, н,— н пх р,— р то-естес (22) где Н„Нэ и р„р — значения функций Н = Р— у'Р„и р = Р„ в точке А для экстремалей 7, и 7, — — — угловой коэфициент касапу 'х тельной к гиперболе в точке А.
Мы можем рассматривать Н как функцию х, у, р. В этом случае Н, =Н(х, у, р,), На= Н(х, у, р,), где х, у — координаты А; уравнение (22) примет вид: пу и <х, у, р ) — н(х, у, р,) (23 дх ) Рг Р1 Пусть теперь з(Г„Гя) есть дуга гиперболы с фокальными кривыми Г, и Гв, проходящая через точку Ао. Если Гя будет неограниченно приближаться к Г так, что, как бы мало ни было е, начиная с известного момента, Г окажется в е-близости первого порядка от кривой Г„то в этом слУчае дУга гипеРболы е(Г„Гв) бУдет неогРаниченно пРиближаться к экстремали, проходящей через точку Ав и трансеерсальной Г,.
Иными словами: при слиянии фокальных кривых каждая дуга гиперболы вырождается в дугу экстремали. Это свойство з'-гиперболы есть естественное обобщение случаев вырождения обыкновенной гиперболы. Для доказательства обратим внимание, что если Гя при своем изменении сливается с Г„ то 7г сливается с 7,; следовательно, рг стремится к р„ и уравнение (23) перейдет в уравнение: ду ди сх др ' кривых Г, и Га есть величина постоянная, обладает тем свойством, что геодезические нормали к кривым Г, и Г, проведенные из произвольной точки А нашего геометрического места, образуют в этой точке с его геодезической касательной равные углы. В частности, если рассмотреть на поверхности геодезический эллипс, т. е. геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, то геодезические радиусы-векторы (геодезические дуги, соединяющие точки эллипса с фокусами) образуют равные углы с касательной к геодезическому эллипсу.
У-гиперболы. Назовем 1-гиперболой геометрическое место точек, разность У-расстояний которых от двух данных кривых Г, и Га есть величина постоянная. Кривые Г, и Гг будем называть фокальнылси кривыми гиперболы. Пусть А есть точка з'-гиперболы, 7, и 7г — дуги экстремален, проведенные из точки А трансверсально к Г, и Гв; У,(А) и зг(А) — их У-длины.
Имеем: 326 таогия поля и достьточныв эсловия сильного экстгвмэмл (гл. Х!Ч В этом уравнении, в выражении р=р (х, у, у'), х, у суть коордие ь наты точки А, а у есть угловой коэфициент касательной к в точке А. Уравнение (24) есть одно из уравнений канонической формы уравнения Эйлера. Для получении второго уравнения построим пучок экстремалей 1(), трансверсальных к Г,; линия т, будет, очевидно, принадлежать этому пучку.
Обозначим, как раньше, через з'(х, у) з'-расстояние от точки А (х, у) до Г,. В силу (5) 9 93 имеем: йз = Н йх + р йу '); здесь в выражениях Н=Н(х, у, р) и р=Р„(х, у, у'), у' равен угловому коэфициенту касательной к экстремали ~учка (,) з). Отсюда, пользуясь условием полного диференциала, получаем: дН дН др др — + — — — =— ду др ду дх ' дН ду Заменяя согласно (24) — через — — , получим: др дх ' + дН др др йу (25) ду дх ду их ' Если правую часть уравнения (25) заменить полной производной †, то сгр дх' оно вместе с (24) даст искомые уравнения Эйлера в канонической форме.
Приведенные рассуждения приводят нас к следующему результату: ТЕОРЕМА 1. Если фокальная кривая Г сливается с фокальной кривой Г„то ветвь У-гиперболы, проходящая через точку А, превращается в экстремаль, проходящую через А и трансверсальную Г а). Если линии Г, и Гг вырождаются в точки (фокусы), а экстремали суть прямые, то доказанная теорема даст известный результат относительно вырождения обыкновенной гиперболы. Если экстремали суть геодезические на поверхности, то теорема дает естественное обобщение свойств обыкновенной гиперболы на з'-гиперболы геометрии на поверхности. Из доказанной теоремы как следствие получаем такой результат: ТЕОРЕМА 2. Если з'(х, у, а) есть з-расстояние от точки А(х,у) до линии Г„: у = у(х, а), где а — параметр и если э непрерывна вместе со своими частными производными, то дб де при произвольной постоянной )ь' есть уравнение экстремали.
т) Второе слагаемое в (5) 5 93 пропадает в силу трансверсальностн линий Тт кгп г) Берется зксгремаль пучка, проходящая через А, и касательная проводится в точке А. ь) См. Л. Л ю стерн и к, Замечания к некоторым варнационным задачам, .Ученые записки МГУ", вып. 11. 327 9 98] мвтод интеггиговлния якови В самом деле, уравнение: з'(х, у, а') — 7 (х, у, а) = сопвй (26) определяет некоторую з-гиперболу. Постоянную величину в (26) выберем равной 3(а' — а). Уравнение нашей з'-гиперболы примет вид: з (х, у, е') †./(х. у, а) а~ — е Если и' -ь а, т. е.
кривая Гм стремится к Г, гипербола переходит в экстремаль. Из уравнения (27) следует, что вдоль этой экстремали: — — 8. 5 98. Метод интегрирования Якоби Из приведенных выше рассмотрений весьма просто может быть установлена связь между задачей интегрирования уравнений Эйлера (обыкновенных уравнений) и некоторого уравнения с частными производными. Докажем предварительно две теоремы. ТЕОРЕМА Е Если Г есть кривая класса С,. то У-расстояние точки А (х, у) от кривой Г удовлетворяет следуюи(ему уравнению в частных ироизводных: (28) еде Н еапь функция от х, у, р, определенная в 9 93.
В саном деле, з'-расстояние есть з'-длина дуги экстремали т, соединяющей А(х,у) с кривой Г и трансверсальной к Г. Пусть точка В есть конец дуги т, лежащий на кривой Г. Перейдем от А к близкой точке А'(х+ дх, у+ау). Обозначим через т' экстремаль А'В', соединяющую точку А' с кривой Г трансверсально последней. Пусть координаты конца В экстремали т, лежащего на Г, при переходе к дуге Т', получают приращения ахр, Ыуа; приращение з-расстояния при переходе от А к А будет: «7=(Нйх+рйу) — (Нойхо, ро«уо) ]ем. (5) 9 93].
Но вторая скобка вследствие трансверсальности 7 к Г пропадает. Следовательно, аз = Нах+рду. Отсюда: ду дl Н= —, р= —. дх ' ду' Рассматривая Н как функцию х, у, р, получим искомое уравнение: —— Н(х, у, д' ). дз' дй ТЕОРЕМА 2 (обратная). Если 1(х,у) — функция переменных х, у, непрерывная вмеапе со своими частными производными, удовлетворяет уравнению (28), пш найдется константа К такая, что 1(х,у) — К ') выражает з-расстояние точки А(х,у) от кривой з(х, у) =К. ь) К есть такая константа, что уравнение у(х, у) = К выражает действительчую кривую класса Со 328 твовия поля и достлточныв заловив сильного экстввмхмл [гл.
Х!'г' В самом деле, обозначим через Г кривую, выраженную уравнением з (х, у) = К; в силу теоремы ! 1-расстояние от точки А (х, у) до Г удовлетворяет уравнению (28). Так как з' в уравнение (28) явно не входит, то, следовательно, з'" (х, у)+К есть тоже интеграл уравнения (28). В силу геометрического смысла зь (х, у) и условий теоремы, вдоль Г имеем: з' (х, у) = уе (х, у). Отсюда в силу теоремы единственности интегралов днференциальных уравнений вида (28) з(х,у) =— зь(х,у); теорема доказана. Эту теорему можно доказать, не прибегая к теории уравнений в частных производных. Можно, например, непосредственно установить, что всякзи линия, пересекающая трансверсально все линии семейства 1(х, у)=К„ есть экстремаль.
Отсюда будет следовать, что семейство з'(х, у) = К есть поле трансверсалей. Останется показать, что з'-расстояние между транс- версалями з = К, и з' = Кг в точности равно Кз — К,. Уравнение (28), характеризующее з-расстояние в нашей неевклидовой геометрии, носит название уравнения Якоби-Гамильтона. Якоби впервые показал, что задача интегрирования уравнения (28) приводится к задаче интегрирования уравнения Эйлера и наоборот. ТЕОРЕМА 3. Зная общий интеграл уравнения Якоби-Гамильтона (28), можно найти общий интеграл уравнения Эйлера (7) и (8) '), и, обратно, зная общий интеграл уравненин Эйлера, можно найтьг общий интеграл уравнения Якоби-Гамильтона. Пусть, в самом деле, мы нашли общий интеграл уравнения Эйлера, зависящий от двух параметров: у=у(х, а, р); (29) из каждой точки х, у в любом направлении можно провести экстремаль семейства (29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
