Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 65
Текст из файла (страница 65)
е. Вг — АС(0, Для этой задачи: АС вЂ” Еэ Рв'я' = з (А+ 2Вуе+ Сугг) 3 Следовательно, всякая геодезическая тз, которую можно окружить полем геодезических, дает сильный минимум длин луг, соединяющих А и В. Пример 4. Наименьшая поверхность вращения. Так же как и в примере 2, условия Вейерщтрасса выполнены для любой экстремалв; следовательно, среди двух экстремалей, соединяющих точки А и В, верхняя экстремаль дает сйльный минимум площади поверхности вращения. Функционал е.
для функционала у оказывается возможным дать достаточные условия сильного минимума, ограничивающие поведение юодинтегРальной фУнкции лишь в точках самой экстРемали То. ТЕОРЕМА. Лля того чтобы экстремаль То, соединяющая точки А и В, давала сильный минимум функционалу 1= ~ Р(х, у, х', у') с!с среди линий класса Сы соединяющих точки А и В, достаточно, чтобы: 1') экстремаль Т можно окружить полем экстремалей !Т), 2') вдоль экстремали То было удовлетворено усиленное условие Лежандра: Р, (х, у, х', у') ) О, 3') вдоль экстремали То при произвольном значении 0 удовлетворялось усиленное условие Вейерштрасса: Е(х, у; соя О, юпВ; совО, зшЬ) ) 0 при О ф О, зде созО и з!пО сУть напРавлающие косинУсы экстРемали Тэ в точке (х, у) (см. стр. 338). Для доказательства введем вспомогательную функцию Е,1, опре!г! делаемую следующими условиями: Е,(х, у; соя В, з!из, сов О, з!и 0) при ОФО 1 — соз (Π— 0) Ег! )(», у! соз В, з!п 0; соз О, з!и В ) = 1 Гг(х, у, соз О, в!и В) при О = В.
Согласно общим теоретико-функциональным условиям, наложенным на Р, .построенная функция Е,!'! определена и непрерывна вдоль линий поля (Т) в некотоРой окРестности кРивой То пРи всех значениЯх О. Так как 0 344 твогия поля и достлточныв головня сильного экстгвмямл [гл. Х1Ч фигурирует лишь под знаком периодических функций — косинуса н синуса,— то отсюда заключаем, что при определении знака Е, достасй точно считать 0 меняющейся в пределах 0 (О (2я. В силу условий 2' и 3', в некоторой замкнутой окрестности ьге кривой то вдоль линий поля [т) для всех значений 0 (О (2и имеем: Еь~~) О.
Отсюда заключаем, что в указанной окрестности ьге при 0 (О (2и Еь~ достигает минимума, отличного от нулю сь) Е,~п) а) О. Следовательно, в каждой точке ьге при всех значениях 0 имеем: Е, ) а(1 — сов[0 — 0)1. Отсюда, какова бы ни была линия т класса допустимых линий, принадлежащая Яе, имеем: 1[т) — 1[те)= у Еьйз) а / (1 — сов[Π— О)) сЬ)~0. [А) т 7 Этим самым полностью доказано, что то дает сильный минимум.
Строгий минимум. Также как для случая функционала 1, для функционала 1 можно ввести понятие строгого минимума. Мы скажем, что линия то дает строгий сильный лсинииуи функционала 1, если сушествует в-окрестность нулевого порядка линии то такая, что вдоль любой линии т, отличной от то из этой окрестности, но имеющей с ней обшие концы, имеем: Нетрудно показать, что при условиях только что доказанной теоремы мы имеем строгий сильный минимум.
В самом деле, из формулы [А) следует, что 1[т) — 1[Те) = 0 тогда и только тогда, когда 1 — соз [Π— О): — О, т. е. когда 0=0. Используя условия, определяющие „собственное поле" [см. 994), и, опираясь на теорему единственности интегралов диференциальных уравнений первого порядка, нетрудно показать, что из 0=0 следует совпадение т и те. Отсюда заключаем, что в условиях теоремы [стр. 333) при Т, не совпадающей с То, имеем: 1 Ы 1 [Те) ) О т. е. то лает строгий минимум. 2 102) 345 ТЕОРЕМА ОСГУДА Я 102. Теорема Осгуда Подход к оценке приращения функционала. Рассмотрим функцио» палы е' и Е У= / Г(х, у, у')дх, 7= ~ Е(х, у, х', у')дв, т которые мы изучали в двух последних параграфах. Было показано, что если экстРемаль Те фУнкционала е и Г УдовлетвоРЯет соответственно условиям 2), 3) и усиленному условию 4): Е ) 0 (стр.
341) или условиям теоремы (стр. 343), то эта экстремаль дает сильный экстремум соответствующего функционала, т. е. при соблюдении этих условий существует область Я, содержащая ть и такая, что У(1) ) 4(7о) 7(1) > 7(То) для любой линии 7, содержащейся в ье и принадлежащей классу допустимых линий — линий класса С,, имеющих общие концы с те. Эти результаты являются аналогами достаточных условий сильного минимума функций одной и многих переменных. В теории экстремумов функций точки (2 17) было показано, что если точка М, есть стационарная точка для функции 7(М) и если квадратический член разложения у(Л4) в окрестности М есть положительно-определенная форма, то в некоторой окрестности точки Мо имеем: У(М) — У(М,) > А ~ ММ, ~з, где й есть константа.
Таким образом в теории экстремумов функций точки достаточные условия давали возможность установить не только знак Разности 7(М) — 7(Ме), но позволЯли оценить снизУ этУ Разность в зависимости от расстояния точки М до стационарной точки. По аналогии с теорией экстремумов функций точки, естественно, возникает вопрос о возможности для случая функционалов установить не только знак Разности э'(7) — У(7з), но также дать оценкУ этой Разности в зависимости от РасстоЯнии линии 7 до экстРемали Те.
Осгуд впервые показал, что при некоторых дополнительных условиях относительно экстремали 7 поставленный вопрос решается в положительном смысле. Теорема Осгуда и ее дальнейшие обобщения наряду с большим самостоятельным значением, как мы увидим ниже, играет основную роль при доказательстве сходимости некоторых приближенных решений вариационных задач. Разберем отдельно теорему Осгуда для функционалов 1 и А Функционал Х Сохраняя обозначения, принятые выше, докажем следующую теорему: ТЕОРЕМА 1.
Пусть экстремаль 7е: у=уз(х) функционала у соеди" няет две данные точки А и В и удовлетворяет следуюиьим условиям: 1) то можно окРУжить полем экстРемалей 17): ( х, (х (хаь у = у (х, и) ~ у (х, О) =у (х). ~ ~<" 346 твовия поля и достаточныв головня сильного экстгвмхма [гл, Х1У Пусть, кроме того: чэля всех точек поля [Т], где р, и 1ь суть константы. 2) В области ьб покрытой полем, при любом значении у' имеем Г„„(х, у, у') ) 1ь > О, где р, — константа. При этих условиях существует константа й такая, что У(Т) У(ТО) ) а аде Т вЂ” любая кривая класса (зы соединяющая точки А и В, принад- лежащан Ц и не пРинадлежащаЯ а-окРестности То. В самом деле, согласно формуле Вейерштрасса (стр.
325) имеем: э'(Т) — э'(То) = / Е[х, У, и(х, У), У'] ах= = / [у' — и(х, у)] Р'„е (х, у, ~) ах, т где и(х, у) есть функция наклона поля и ~ — функция х, заключенная между и (х, у) и у'. Отсюда, принимая во внимание второе условие теоремы, получим: э (Т) — з (То) ) Р / [у' — и (х, у)]з Ых. 'Так как по условию дуга Т: у=у(х) не принадлежит в-окрестности дуги То, то на дуге Т существует точка С(е, з1) такая, что: ] 1 — Уо(()!) . (В) 'Обозначим через Т, лугу кривой Т, соединяющую А с С.
Очевидно, имеем: э(Т) э(То))1ь / [У "(х У)1 й». (38) и Обозначим через а = а (х) параметр, определяющий линию поля проходящую через точку [х, у(х)]. Функцию а=а(х) можно рассма- тривать как уравнение линии Т, если за координаты принять х и а. Так как в силу условий теоремы каждая дуга поля среди линий класса 0„ соединяющих ее концы, реализует сильный экстремум функционала з', то (если а = а (х) при а ( х ( 1 не есть монотонная функция х) в нера- венстве (38) лУгУ Т, можно заменить лУгой Тз. а=а,(х), соединЯющей точки А и С, для которой а=а,(х) будет монотонной функцией х. В соответствии с этим мы будем в дальнейшем считать функцию а = а (х), определяющую Т„монотонной функцией х; пусть для определенности— возрастающей.
Для дальнейших оценок воспользуемся неравенством Шварца: г г / срз (х) йх ° / фг(х) сГх)~(/ а(х) ° ф(х)с(х) . т % 102) 347 теОРЯИА осгуда Полагая в этом неравенстве и (х)=1 и ф (х)=у' (х) — и [х, у (х)), получим: у(1) — э(Те) ) 9 / [У и(х, У)) ах)~1 — ~ — (/ [У вЂ” и(х, У)) их) .(а) Ъ и Принимая во внимание геоме(рический смысл и (х, у), нетрудно видеть, что: (У(х) — и [х, У(х)][бх= ' д"* ' йо („„(х)) Отсюда, принимая во внимание монотонность а=а(х), получим: »1 У / д (Ь) и о где а=О есть линия те и а=и, есть линия поля, проходяпгая через точку С. Так как по первому условию теоремы — ) иы то из (а) ат и (Ь) получаем: э(1) — э(1е) )» [ / д„йи) ) 1 ~„ив.
о Кроме того, в силу (В) е(! ц — Уо'(1)~=! / '(' '~'й ~(йяи,. о Отсюда окончательно: У(1) — У(1а) ) ( — ) — 'еа. гг» гь Теорема полностью доказана. Для оценки разности э'(1) — У(1е) снизу в некоторых случаях оказывается более сильным метод, существенно отличный от метода, использованного нами при доказательстве теоремы 1. Для иллюстрации этого метода докажем следующую теорему: ТЕОРЕМА 2. Пусть Те. У=уе(х) есть экстремаль функционала э', соединяющая точки А и В и обладающая следующими свойствами: 1, Т можно окружишь полем экстремалей (1): у = й (х, о), х, (х (хю [а[ <оо, у(х, 0) =уе(х).
Пусть, кроме того: О,'< Р, < ф < Рв длЯ всех точек полЯ (т), где 9, и Ма — константы. 2. В каждой гпо'исе области ьс, покрытой полем [1), при любых значениях у' имеем: Р„е (х, У, У')") О. Пусть, кроме того, С(1, ц), х, (1(хг, [»1 — уе(1)!) е, есть точка области Я. При этих условиях существует константа я ) О, зависящая только от вида функционала э' и числа 1, такая, что: Э (Т) — э' (То) ) Яг», (39) где 1 — любая линия класса [;)„соединяющая А и В, принадлежащая — 1е и проходящая через С. 348 таогия поля и достаточныв хсловня сильного эксггвмэма (гл. Х1У Заметим прежде всего, что нижняя граница разности У(1) — У(Те) есть возрастающая функция е (при фиксированном 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
