Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 66
Текст из файла (страница 66)
В самом деле, пусть т, — кривая, соответствующая значению е= е, (т, проходит через точку С($, т), )т1 — уе(Е)/)~е,). Пусть теперь С,(Е, "4,) — точка обла- сти ьг: /ч1,!(еэ(е„РасположеннаЯ относительно те с той же сто- роны, что и точка С; тга,) О. Проведем через С, экстремаль т поля; пусть А, и В, — точки пересечения этой экстремали с кривой т,. Заме- ним дугу А,В, кривой т, лугой экстремали т; полученную дугу обозна- чим чеРез та. В силУ Условий теоРемы имеем У(Тэ) (У(Т,), т. е. длЯ всякого еа . е, найдется кривая та, соответствующая этому еэ и такая, что У(Т,) — У(то) ( У(Т,) — У(1е); этим самым наще УтвеРждение доказано. Из сделанного замечания следует, что при доказательстве теоремы мы можем предполагать ) 4) = е и а как угодно малым.
Теми же рас- суждениями нетрудно показать, что как бы мало ни было число т1, при доказательстве (39) можно ограничиться рассмо~рением кривых Т, рас- положенных в ч-окрестности кривой то. Проведем через точки А и В пучки экстремалей функционала 1. Будем теперь число и считать настолько малым, чтобы: 1) через точку С (г„ 9) проходила экстгемаль каждого из построен- ных пучков, 2) каждая из двух экстремалей АС, СВ пучков могла быть окру- жена полем экстРемалей (1) (Т)н, 3) область 0л, покрытая (Т)л, должна содержать дугу АС кривой Т, а область ~н, покРытаЯ (Т)н, должна содеРжать дУгУ СВ кРивой т. Так как по построению и условиям теоремы каждая из дуг АС и СВ пучков экстремален реализует сильный экстремум и так как дуги АС и СВ кривой т принадлежат полям, окружающим дуги АС и СВ пучков, то отсюда заключаем, что: У® ) ( Р'~~х+ 1 Ег1л, лц ов где последние два интеграла берутся по соответствующимдугам пучков.
Пусть у=у,(х) есть уравнение дуги АС пучка экстремалей, выходящих из А, и пусть и(х, у) есть функция нзклона поля 0. При этих обозначениях в силу формулы Вейерштрасса получаем: ~1(1) — У(Те)) ~ (у,'(х)' — и(х, у))аВ „(х, у, ~)пх, дп причем 1 заключено между у,' (х) и и (х, у,). Так как вдоль АС функции )у,'(х) ~ и и(х, у) ограничены и так как Г„„~ О, то отсюда заключаем, что вдоль АС Г„„(х, г, ~) имеет положительную нижнюю границу й .
й 102) 349 твоввмл осгудл Отсюда У(1) — У(1е)' ° йв у (у,'(х) — и(х, у))э'ах. АС Рассуждая теперь, .как при доказательстве теоремы 1, получим оконча- тельный результат. Комбинируя оба из приведенных выше методов, нетрудно установить теорему, обобщающую каждую из доказанных выше теорем. ТЕОРЕМА 3. Пусть те — экстремаль функяионала У, соединяющая две данные точки А и В и такая, что: 1. те можно окРУжить полем экстРемалей ',1), УдовлетвоРЯющим те.и же условиям, что и в теоремах 1 и 2. 2. Существует 0-окрестность кривой то такая, что в каждой точке (х, у) этой окрестности при любом значении у' имеем р„„(х, у, у') ) О. 3.
Сущесгпвуют окрестности точек А и В, в которых при любом значении у', Г„у ) Р) О, где Р— конспганта. При этих у-ловиях существует константа К такая, что У(1) У(1е) ) Кз где т есть произвольная линия класса О„соединяющая А и В, при- надлежащая тгокрестности и не принадлежащая е-окрестности кривой те. Функционал 1. Несущественным изменением методов, развитых выше, предыдущие теоремы можно расаросгранить на случай функционалов 1. Заметим сейчас же, что условия, нри которых удается найти оценки снизу для 1(1) — 1(1е), значительно меньше отличаются от условий для сильного минимума 1, чем это имеет место для функционалов У.
При- ведем основную теорему, касающуюся оценки 1(Т) — 1(те). ТЕОРЕМА 4. Пусть простая дуга то с коняалси А и В является экстремалью функционала 1. Пусть, кроме того, ть удовлетворяет условиям сильного минимуиа ! (стр, 343), а в точках А и В пусть дополнительно имеем: Р;(хы у„сов 0, зш'О) ) О, р, (хз, уг, сов 0, щи О) ) О при любых значениях О. При эгпих условиях сущеюпвует тгокрестность дуги те и поюжительная функция Ь(е))О, О(е(п гпакац что: 1(1) — 1 (То) ) и (з) где т — любан дУга класса Оы соединЯющаЯ А и В, пРинадлежащаЯ тгокрестности то и не принадлежащая е-окрестности дуги т . Обобщения. Без сушесгвенного измеяення тех же методов теорема Осгуда может быть распространена на функционалы, зависящие от высших производных или ог многих функций. Имеются также существенные результаты, обобщающие теорему Осгуда для задач на условный экстремум.
Наряду с обобщением теоремы Осгуда яа функционалы более общего вида большой интерес представляет задача возможного уточнения теоремы Осгуда 350 твопия поля и достлточнып зсловия сильного вкстввмзма (гл.Х1'ч" для простейшего случаю найти условия, возможно близкие к условиям, достаточным для сильного экстремума, при соблюдении которых имело бы место. заключение теоремы Осгуда. П р ил аж е ни я.
Последовательность кривых класса О,в уп т ° ° ° т соединяющих точки А и В, мы назовем минимизирующей последовательностью для функционала з', если последовательность з'(ув), и = 1, 2, 3,..., при и -+ оо стремится к нижней границе значений з'(1), когда 1 есть произвольная ливия класса допустимых линий. непосредственным применением теорем 2 и 3 мы получаем следующие результаты: Если зкстремаль тв удовлетворяет условиям теоремы 2, то всякая минимизирующая последовательность кривых ут принадлежащих области (ее и соединяющих точки А и В, сходится к кривой то причем каково бы ни. было число в, зта сходимость является равномерной при хг+ в(х(хз — в.
Если экстремаль тв удовлетворяет условиям теоремы 3, то всякая минииизирующая последовательность кривых, принадлежащих Я и соединяющих А и В, равномерно сходшпся к кривой ть. ДОПОЛНЕНИЕ 1 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ВЪ|ПУКЛЫХ ТЕЛ 1. Общие замечания Особый класс вариационных залач представляют те, где за класс допустимых линий (7 ) принимаются замкнутые выпуклые линии '). Допустимыми вариациями являются те, которые переводят выпуклую кривую в выпуклую же.
Дадим вначале несколько определений. Из точки А выпуклой линии Т проведем всевозможные хорды АС, соединяющие точку А с другими точками С кривой (черт. 61). Предельными для направлений хорд АГ будут два направления АВ и АВ„которые образуют два касательных луча к кривой 7 в точке А. Эти направления существуют в каждой ь", 4, Черт. 61. Черт.
63. Черт. 62. точке кривой 7, поскольку направления хорд АС изменяются монотонно при приближении С к А. В силу выпуклости 7 угол р между направлениями АВ и АВ, удовлетворяет неравенству: О ( р ( н. Если в некоторой точке Е е = н, то оба касательных луча ЕЕ и ЕЕы являющиеся продолжением олин другого, образуют касательную к кривой 7 в точке Е. Если А, С и С,— три точки выпуклой кривой 7 и лучи АВ и А|З, суть продолжения хорд АС и АС„то в угле ст АВ нс заключаются точки кривой 7 (черт.
62). Пусть АВ (черт. 63) есть луга выпуклой кривой 7, заключенная между хордой АВ и касательными лучами АС и ВС к кривой 7, пересекающимися в точке С. Допустимые вариации луги АВ будут переводить г) Здесь мы называем валунными линиями линии, являющиеся границам» выпуклых плоских тел (см. ч. 1, стр. 137 — 141). 352 дополнение г ее в дугу, заключенную в том же треугольнике АСВ, причем хорда АВ допускает только односторонние вариации — именно только те, которые увеличивают плошадь фигуры Я, ограниченной линией т; наоборот, ломаная АСВ допускает односторонние вариации †имен в сторону уменьшения площади ьб Рассмотрим теперь класс ( т ) выпуклых кривых, заключенных в замкнутой области )ч. На кривых класса (т ( определен функционал У(1).
В силу общей теории экстремумов функций при односторонних вариациях (гл. Х11), экстремум У (1) достигается на выпуклой кривой т, состоящей из дуг четырех родов: Черт. 64. Черт. 65. 1) дуг Г„вдоль которых вариация в точке от У (т) исчезает; 2) дуг à — частей границы тч; 3) прямолинейных отрезков Га, соединяющих концы дуг Г, и Гя; 4)тломаных Гю состоящих из пар касательных лучей к дугам Г, и Га. Ргссмотрим, например, задачу о максимуме плошади выпуклой фигуры, заключенной в замкнутой области тс. Здесь |(Т) означает площадь, ограниченную кривой т. Так как для У(1) не существует экстремалей, то граница т выпуклой фигуры в тт, имеющей максимальную площадь, должна состоять только из дуг Г, Га, Г (черт.
64). При этом'хорда АВ из Га, стягивающая концы двух дуг из Гя, должна обязательно касаться границы тч в концах своих или посредине, в противном случае дуга АВ допускает вариации, увеличивающие плошадь, ограниченную Я (черт. 66). Рассмотрим теперь следующую задачу: в области Д, ограниченной кривой р> задана система точек А, (1=-1, 2,..., и). Требуется построить выпуклую фигуру Ц наибольшей площади, заключенную в тч, не содержащую внутри себя точек Аг Наша задача есть частный случай предыдущей.
Обозначим через Я, многосвязную область, полученную выкидыванием на тт точек Аг Граница Д, состоит из кривой р и точек А,. По-предыдущему, граница т выпуклой фигуры 1Ч, заклЮЧЕннай В Д, И Обладающей максимальной площадью, должна состоять из кусков границы тт, н прямолинейных отрезков, касающихся границы тс„ но так как граница тт> состоит из кривой р и точек А„ то прямолинейные отрезки †час т †долж быть или касательными отрезками к р, или проходить через одну или несколько точек Аг 363 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ Рассмотрим случай, когда внутри отрезка ГО, входящего в состав Т, содержится только одна из наших точек Ао причем ГО не касается р. Мы положим сначала, что концы Г и 0 этого отрезка не лежат на р. В таком случае точка А, должна лежать на середине отрезка ГО, В самом деле,,пусть, например, часть А,О отрезка ГО меньше части ГАи Пусть ЕГ и р ОН вЂ” прямолинейные отрезки части кривой Т, соседние к ГО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
