Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Так как тело К само может быть центрально-симметрическим, то ясно, что верхний предел отношении — -=1. 'Чо! К Спрашивается, чему равен нижний предел этого отношения и в каких телах он достигается. Эти тела мы будем называть предельными. 4. Рассмотрим, как расчленяет тело l тело К, и введем некоторые обозначения. Граница тела 7! Ог/ в некоторых своих частях совпадает с ОгК, в некоторых лежит внутри тела К. Черт. 77. Соединяя радиусами-векторами концы кусков общей границы 7 и К с центром У, мы получим конечное число конических областей, которые назовем областями типа а. Областями типа Ь назовем конические области, происшедшие от соединении с центром У частей границы У, лежащих внутри К.
Части же К, лежащие вне 7, назовем областями типа с или выступами (ц!е Карре по терминологии Минковского) тела К (черт. 77). Если бы против области Ь относительно центра симметрии лежала также область типа Ь, то обе они могли бы быть увеличенными за счет прилагающихся к ним выступов с без нарушения центральной симметрик тела А Но тогда 7 не было бы наибольшим центрально-симметрическим !) Н. М 1 па аж а К у, беате!г!е пег 3а1цеп, стр.
209 и 243 — 243. См. также: В1а в сй К е, Кге!в ппо' Кийе1, Бе!рг!3 191б; Т. Вопи е э е и ппд 9!. г е пс Ие 1, Теог!е пег Хопчехеп Когрег, т. 3, Вег1!П 1934; Л. Лю стерни к„Элементы теории выпуклых тел, ОНТИ, 1935. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ телом, вписанным в К. Следовательно, против центра всегда лежит область а. Против области или а. Области типа а, лежащие друг против друга, мы будем обозначать а'. Установим теперь основные количественные соотношения между областями типа Ь и телом 1. 5. Тело 1 получено пересечением тел К и К,. Если К, параллельно перенести в положение К,', то ( К, К,' ) будет центрально-симметрическим телом л' с центром в Р'.
Посмотрим, как изменился объем вписанного в К центрально-симметрического тела при этом переносе. 1' приобре.чо часть 1, заштрихованную (черт. 78), а потеряло части .1, обозначенные 2 и 3. Строя части 2' и 3', симметричные 2 и 3 относительно центра Р', подсчитываем соотношение объемов 1, 2' и 3'. Для этого на прямую, перпендикулярную направлению сдвига К,' относительно К, и лежащую внизу черт. 78, проектируем границы верхней половины тела 1. Проекции границ областей типа Ь назовем Рг Ь, типа а — соответственно Рг а и т, д. Теперь поступаем следующим образом: расстояние каждой точки верхней относительно линии проектирования границы тела .! вычитаем: 1) само из себя, 2) из расстояний до той же линии соответствующих точек верхней границы тела, 3) из соответствующих расстояний границ областей 3', 1 и 2'.
Первое вычитание даст линию ! черт. 78. Второе даст изображенную пунктиром область !!. Третье вычитание даст ограниченную двойною линией область !!!. Если через Ь обозначить длину сдвига К,' относительно К„ то приобретенная У площадь выразится так: области Ь относительно а лежит нли область Ь ! ! ! ! ! Ь «„РгЬ вЂ” ~~ д. Мы пишем ч„',, так как в общем случае частей типа ! будет не одна, а несколько; через г! мы обозначаем разность между цилиндрическим объемом, опирающимся на границы Ь-частей, и коническими, вообще говоря, наростами !.
Потерянная телом .! плошадь выразится так: где через !' обозначены лежащие у краев области проектирования и не принадлежащие ни .1, нн У части фигуры. 362 дополнение ! В итоге получится приращение плошади, если Дадим оценку правой части неравенства. Она достигнет минимума при минимальном Ы, что соответствует случаю, когда граница выступа служит продолжением границы г, и при максимальном у, что соответствует случаю параллельности верхней грани части 1 и нижней части 2' (черт. 79). В этом случае крайнее а'=у". Вообще же говори, крайняя область б больше, а область У меньше, что показано пунктирными линиями. Обозначая разность мы видим, что а)~0 и стремится к нулю вместе с и.
Следовательно, если разность У Р Ь вЂ” ! Р~У=~>0, то всегда можно подобрать такое малое Ь, что левая часть неравенства (2) будет больше правой. сч 1 Если же ~~ Ргд — — Ргг (О, то это сделать нельзя. Геометрический смысл втого результата следувпций, Если для некоторого направления проектирования Рг Ь > — Рг1, то тело К, можно перенести в этом направлении в положение К,' и тело г увеличится по площади, Этого нельзя сделать, если У Ргд ( — Р~'.У. Сопоставляя этот результат с уже упоминавшейся теоремой Минковского-Брунна о пересечении выпуклых тел и с доказанной выше теоремой о единственности максимального центрально-симметрического тела, вписанного в данное выпуклое, получаем следующую теорему: Необходимым и достаточным условием того, ного данное центрально-симметрическое тело г, вписанное в выпуклое тело К, есть максимальное, служит неравенство: Ргд .
— „Ргl длн любого направления проектирования. 6. Так как в процессе доказательства мы не пользовались никакими геометрическими преобразованиями кроме параллельного переноса и оценки объемов цилиндрических и конических областей, то ход доказательства остается неизменным в случае пространства любого числа измерений. 363 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ТЕ.Ч 7.
Если стороны соответственно грани выступа с не являются продолжением соответствующих сторон прилегающих к ним границ а-частей, то, продолжив эти границы а-частей, мы увеличиваем ЧО1К, тело же Г, поскольку его границы, в том числе и границы Ь-частей, не изменились, остается максимальным центрально-симметрическим талом, вписанным Ч01 Г в увеличенное указанным построением тело К. Отношение — при Чо! К этом преобразовании уменьшилось.
Следовательно, в предельном теле стороны выступов с служат продолжениями прилегающих границ а-частей. 8. В предельном теле границы Ь-частей для плоского случая прямолинейны. В самом деле, если границы одной из Ь-частей, назовем ее Ь„ = Ь' + а, своею частью а входят внутрь выступа с, то, срезав части П, указанные Рго Черт. ВО. Черт. 81. пунктиром на черт. 81, получим новое тело К' со вписанным в него центрально-симметрическим телом в . Для направлений проектирования, в которых Рг l потерпела уменьшение, имеем: Рг т = Ргг — 2 Рта. В силу теоремы п. 5, и и — 1  — 1 Рг Ь1 = ~ Рг Ь, + Рг Ь„= ~~ Рг Ь1-~- Рг Ь'+ Рг й ( — Рг У' + Рг й, 1 1 1 откуда ~~ Ргд,+Рг Ь' ( — РТУ. 1 Но левая часть есть сумма проекций всех Ь-частей тела.
Следовательно, необходимые и достаточные условия экстремума имеют место, и тело в есть максимальное из центрально-симметрических тел, вписанных в К'. В то же время ЧО1,Г1 Чо!,/ — 2Чо! а Чо!.Г Чо! К' Чо!К вЂ” ЧО1а ~ Чо1К ' и теорема доказана. 364 дополнвнив ! Из того факта, что границы Ь-частей прямолинейны, следует прямо- линейность границ и а-частей. 9. Мы назвали частями типа а' конические части тела У, границы которых совпадают с границами К и против которых относительно центра лежат такие же области.
в ь л а Чо! К = ~~ Чо! а, -1- ~~~ Чо! Ь,. ~~- ~~! Чо! с, + ~~~~ Но!а,', т 1 1 1 я Ы е Но1,/= ) Чо! а,+ ~ Чо! Ь,+ ~Но! а,', т т 1 так как каждая часть а, центрально-симметрична части Ь„то Н01 а, = ЧО1 Ь, Чо! К= 2 ~~ Чо1 Ь, + ~~ Но! с, 1- г Чо! а,', т 1 1 л а Чо!./= 2 что! Ь,+ ~~ Чо1а,.'. Оценим отношение ь ~~' Ч01 Я с 2+ „ Ъ Чо1Ь, Чо1 .| Н01К а ~Чо1а,' ~~а~Но1с, 1 1 2 гс — — + ~, Ч01 Ь| ~~!Н01 Ьу с 1 Отношение а ~„Но! а,' 1 В ~~ Но! Ь, 1 не ограничено ничем и может меняться в пределах от нуля до беско- нечности, второе же отношение ~~ Но! с, 1 В ~',Но1Ь, 1 не превосходит определенного максимума.
365 экстевмальные свойства выпгклых твл Происходит это от того, что отношение выступа с,. к прилежащей к нему Ь,-части в силу теоремы п. 5 не может расти больше того зна- 1 чения, которое оно получит, если Рг Ь,=- -Рг1, если высота кониче- ского тела Ь,— минимальная из возможных и границею между с, и Ь, служит прямая линия. Оценкой максимума этого отношения мы займемся дальше, здесь же, обозначив ~~~~ ~Чо! с, шах, 1 ч, Чо1Ь, 1 .заметим, что отношение Чо~у 2 —;х Чо! К 2+ х+у Итак, в предельном теле отсутсгпвуют а'-части. !О.
Теперь рассмотрим, в какой связи находится выступ с, с прилегающею к нему Ь;частью. В силу замечаний пп. 7 и 8 в предельном случае выступ ограничен с наружной стороны продолжением границ прилегающих а-частей, а с внутренней — прямолинейной границей Ь;части. Через пентр О тела 1 проведем диаметр, параллельный этой прямолинейной границе ь;части (черт. 82). Все тело К лежит между опорными прямыми к границам а-частей, прилегающих к выступу с„т. е. в предельном теле, внутри или слиЧо! с, ваясь с продолжением сторон выступа с,. Отношение — — '- будет тем Чо! ь, больше, чем ближележит центр Отела 1 к общей границе Ь; и сг части.
Но в силу соотношения п. 5 Ргд( 2-Рг1, 1 и рассматриваемый диаметр не может лежать к границе выступа ближе расстояния вершины выступа с до той же границы, и, следовательно, Чо1 с, шах — — — ~ = 1. Чо! Ь, Такой выступ назовем максимальныч. будучи положительным тогда, когда ~ч,'Ч 1, У= 1 ~' Чо! Ь, г и меньшим единицы, достигает минимума только ь ~~, Чо1 а,' и х= =О, ;Р чо! ь, 1 366 дополнвние ! 11. В силу соображений п.
9 предельными телами на плоскости будут те, для которых ~~>~ г, !пах „= т г ;~ ь, 1 и все а'-части равны нулю. В силу п. 10 т ( 1, причем равенство будет достигаться, если Чо1а, Чо! Ь, для каждого значения !. В таком случае ЧО1 Г 2 ппп — = —,. Чо!К 3 ' Зададимся одним максимальным выступом с, и, как в предыдущем пункте, построим диаметр тела г", параллельный границе с,- и Ь -частей. Верхняя половина те- С ла К должна лежать внутри или сливаясь с продолжением сторон выступа с, но так как выступ с, максимальный, то ргЬ, = — рту, 1 2 и, следовательно, границы верхней половины К слиЧерт. 83. ваются с продолжением сторон выступа.
Таким образом построена верхняя половина тела .г, и в силу его центральной симметрии оно построено полностью. Так как в предельном теле а'-части отсутствуют, то против а, и а, лежат выступы ся и сз, образованные продолжением границ а„ а и аа !черт. 83). Тем самым построено тело †треугольн, для которого отноше- Чо! Ь, ние ' = !пах = 1 достигается для каждого выступа н у которого Чо! с, Чо12 2 отсутствуют а'-части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
