Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Повернем (черт. 66) Г' отрезок ГО вокруг точки А, так, чтобы ои Г д; пересек отрезок ОН в близкой к 0 точке 0', .а прололжение отрезка Еà — в близкой к Г точке Р'. Так как отрезок ГО не содержит Н внутри себя кроме точки А, никаких других точек А,, а также точек границы р, то Черт.
бб. при достаточно малом угле поворота мы при врагдении ГО не заденем этих точек А„.; переход от ломаной ЕГОН к ломаной ЕГ'О'Н есть допустимая вариация соответственной части линии «„притом увеличивающая плошадь ьг. В самом леле, при этой вариации мы отнимаем от Я треугольник А,ОО', но зато добавляем к (е треугольник ГГ'А,. большей площади. Следовательно, кривая не дает максимума площади ограниченной ею фигуры (В.
2. Выпуклое симметрическое тело в целочисленной сети В теории чисел мы встречаемся со следующей задачей(Г. Минковский): в п-,иерном проппранстве (х„х,, х„) задана целочисленная сеть Я ~). Найти выпуклое центрально-си.нлсетрическое осело с центром в одном ссз узлов сети Й наибольшего обьема, не заключающее больше внутри ебя никаких узлов сети. Не меняя общности задачи, можно считать, что центр это~о тела находи~ся в начале координат О. Если подвергнуть пространство (хп х„...,х„) линейному преобразованию х,.=~~ ацу„(1=1, 2,...,и) (11 г с целыми коэфициенгами и детерминантом )а„'1=1, то сеть Й перейдет в самое же себя, причем сохранятся объемы тел, их свойства выпуклости, симметричности относительно О и свойство не содержать внутри себя узлов сети Я, кроме 0; следовательно, каждое тело, реализующее максимум для искомой задачи, может быть преобразовано в бесчисленное множество других тел, тоже реализующих максимум плошали.
Мы решим эту задачу сейчас для плоского случая. В силу общих свойств решений подобных задач для экстремальной фигуры должны быть допустимыми только односторонние вариации, уменьшающие ее плошадь. Эта фигура должна быть ограничена прямолинейными отрезками, заключающими узлы сети, причем, если внутри какого-либо граничного отрезка заключена только одна точка сети, то оиа должна г) Ся. ч. 1, сгр. 134 — 136. дополнения г 354 находиться посредине э~ого отрезка (см. конец предыдущего раздела) Экстремальная фигура представляет собой центрально-симметрический полигон ьс, его периметр д содержит не менее двух пар симметрических сторон, и„следовательно, д содержит не менее двух пар симметричных относительно О узлов сети.
Пусть С и С, †д соседних на полигоне ьг узла сети (черт. 61). Треугольник ОСС, не содержит кроме точек С н С, никаких узлов сети. В самом деле, вследствие выпуклости Я линии ОС и ОС, [лежат внутри Д и не содержат по определению никаких узлов сети, кроме концов; сторона СС, или проходит внутри полигона ф тогда она тоже не содержит узлов сети; или принадлежит границе Я, то, так как С, есть непосредственно соседняя к С узловая точка сети на ф йна отрезке СС, других таких точек нет. Итак, треугольник ОСС, не содержит никаких узлов сети, кроме своих вершин.
Но тогда можно линейным преобразованием (1) с целыми Черт. 67. Черт. 68. коэфициентэми ап и детерминантом ~ а,„~=1 преобразовать векторы ОС и ОС, в единичные векторы нашей системы координат, не меняя площадей фигур. Итак, нам достаточно ограничиться случаем, когда наш полигон проходит через концы В и А единичных векторов и через симметрические им точки В„Ан В силу выпуклости полигона ьс он не может иметь точек внутри углов, образованных продолжениями сторон квадрата АВА,В,. Наш полигон может задевать только те узловые точки сети 91, которые лежат в полоске между КК, и 'Ы, и между ММ, и ЖдГ, (черт. 68).
Пусть, например, он задевает какой-нибудь узел в первой из этих полос. Какой бы узел из этой полосы полигон Я ни задел, он во всяком случае при этом заденет точку С на нашем чертеже вместе с симметрической точкой С,. Рассмотрим возможные случаи: 1. Полигон Ц задевает только три пары точек А и А„В и В„ С и С,; тогда в силу предыдущего Я есть шестиугольник с центром симметрии в О и, следовательно, с тремя парами равных и параллельных сторон; точки А, В, С, А,, В„ С, лежат посредине этих сторон.
Площадь нашего шестиугольника, как это непосредственно видно из черт. 69, равна площади квадрата СОС,Оп т. е. равна 4. ЭКСТРЕМАЛЪИЫЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ 1а. Если две симметричных пары соседних сторон этого шестиугольника образуют продолжение одна другой, наш шестиугольник обрзщается в параллелограм плошади 4 (черт.
70). 2. Если кроме пар А и А„В и В„С и С, экстремальный полигон О задевает еще узлы сети, то это могут быть: или пара Е, Е, (черт. 70); полигон ьс в этом случае есть тоже параллелограм площади 4; или пары П, П,; полигон О совпадает с квадратом СПС,О, площади 4 (черт. 70). Итак, центрально-симметрическая выпуклая фигура с центром в узле сети О, ке содержащая внутри себя никаких других узлов этой сети и обладающая максимальво возможной плошадью, есть или центрально- симметрический шестиугольник или параллелограм площади 4. При этом в случае шестиугольника посредине каждой его стороны лежит узел сети; у параллелограма же или пара сторон содержит по паре узлов сети, другая же — по одному узлу, лежащему посредине (слу- В 0 чай 1а), или же каждая сторона содержит по три узла (случай 2).
0 л л Задача нахождения выпуклого тела максимального объема с центром симметрии в узле ' ~ д 01 целочисленной сети при усло- ~ В, 0 вин, что кроме центра тело не содержит внутри себя ника- ч 09 Черт. б9. Черт. 70. ких узлов сети, довольно просто решаемая для плоского случая, значительно усложняется при переходе к пространствам высшего числа измерений.
Однако можно сразу доказать, что максимум объема тако~о тела для случая п-мерного пространства равен 2". (Для плоского случая, и = 2, как мы уже знаем, этот максимум равен 2э= 4). ТЕОРЕМА МИНКОВСКОГО. Пусть в и-мерном пространстве (х„хз,..., х„) задана целочисленная сеть Х и выпуклое тело с центром симметрии в одном из узлов сети ВХ, не заключающее внутри себя никаких других узлов сети.
Обьем тела О не превышаегп в этом случае 2". Из точек целочисленной сети й выберем совокупность 5 всех узлов с четными целочисленными координатами (2йы 2йе,..., 2Ф„). Точки сети 3 назовем четными узлами. Обозначим через О(В) тело с центром симметрии в четном узле В, образованное поступательным перемещением тела ьв. Очевидно, Я(В) внутри себя, кроме точки В, не заключает никаких узлов сети 91. Рассмотрим совокупность всех тел С,Г(В) с центрами симметрии во всех узлах В сети З, ЛЕММА. Если В и В, — два узла сети 3, то соответственные тела Я(В) и О(В,) не имеют общих внутренних точек.
В самом деле, допустим противное: тела О (В) и О (В,) имеют общую внутреннюю точку С. Построим параллелограм ВСВ,П, три вершины которого суть наши точки В, С, В„' в силу симметрии тела О(В,) Збб дополнкник ~ оно содержит внутри себя точку С„симметричную с С относительно В,. Если перенести поступательно тело Я (В,) так, чтобы оно совпало с г) (В), то вектор В,С, совпадает с ВО. Так как С, лежит внутри Д (В,), то О лежит внутри 11 (В). Диагональ Со нашего параллело грама, концы С и О которой лежат внутри выпуклого тела Д(В), целиком лежит внутри ьг(В).
Следовательно, середина Е этой диагонали лежит внутри Ц(В). Но Е есть середина также второй диагонали ВВ,. Обозначим через 21т, и 21, (1=1, 2,..., и) координаты четных узлов В и В,. Координаты точки О равны й, +1, (1=1, 2,..., и), т. е. точка В имеет целочисленные координаты или В есть узел сети 21, Мы пришли к противоречию с определением тел 1;г(В), которые не должны кроме центра В содержать внутри себя узлы сети М.
Итак, лемма доказана. Обозначим теперь через Ю(В) куб; 21з,— 1 х,и 21г,+1 (т=1, 2,..., и) с центром в точке В. Объем В(В) равен 2". Тело ь1(В) имеет общие части с некоторыми из кубов В(В,)=)ч(В), Ю(Вя),..., )с(В„). Обозначим эти части через а„ а,, , а,. Куб В (В) образован поступательным перемещением куба В (В,) на вектор В,.В; при перемещении на вектор В,В часть а,. тела Я (В), расположенная в В (В,), перейдет в часть р, тела 9 (В,'), расположенную в кубе Ю(В), где В; †точ, симметричная с В, относительно В. Таким образом частям и,, а.„ ..,, а,, на которые разбито течо Д (В), отвечают конгруэнтные им части р„ 'З„ ..., Рз тел 1~(В„'). Так как объем всех частей р, не превосходит объема заключающего их куба В(В), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
