Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Такое поле мы будем называть центральным полем, точку А мы будем называть центром поля. В приложениях этого понятия мы опять будем безоговорочно предползгать выполненными отмеченные выше условия — непрерывности а и у с нх производными; кроме того, мы будем предполагать, что — ) О при х, < х <хэ ду да Заметим, что если семейство линий х, (х (х.„ у= а(х, а) а,с(а .а 1) Фуякциовала у илв /.
мы будем предполагать, что у непрерывна вместе со своими частными производными во всех точках области поля. Всякое поле эксзремалей, удовлетворяющее перечисленным выше требованиям, мы будем называть собственным полем или просто полем. Центральное поле. Другим специальным видом поля является так называемое центральное лоле. Допустим, что зкстремали семейства (т[ выходят из одной точки А (х,, у,): о(х„а) =у, 9 94! пОле экстввмалай и тяансваесьли образует центральное поле экстремален, то семейство линий х,(х,'(х(х, у=>а(х, а) а (а(а образует собственное поле. Поле для функционала 1.
В приложениях понятия поля к изучени>о функционала 1 мы будем так же, как в случае функционала >', иметь дело с полями, удовлетворяющими ряду теоретико-функциональных условий, Остановимся на этих условиях. Пусть [ т[ есть однопараметрическое семейство экстремален функционала В х= о(Е, а),1 у=1(> ").> (11) Допустим, что при изменениях 1 и а в пределах 1, ( 1 ~ь 1», [ а, (а (аа) (12) рассматриваемое семейство линий [т[ образует поле. В приложениях мы будем безоговорочно предполагать, что в замкнутом прямоугольнике (12) функции о и ф непрерывны вместе со своими частными производными вп а,, Ь,, ф„и что, кроме того, в том же прямоугольнике >» ' ФР (13) [8 ~» если все линии т, заданные системой (11), имеют концы в одной и той же точке А(х, у) и если, какова бы ии была окрестность точки А, куски т, расположенные внутри этой окрестности, образуют поле, то мы скажем, что [ т [ есть ценл>ральное лоле экстремалей.
Точка А называется цен>иром поля. В приложениях мы будем предполагать, что а> и 6 удовлетворяют, как раньше, условиям непрерывности и что неравенство (13) имеет место при 1> ( Г(1„а> (а(ая. Заметим, что если линии Т, заданные системой (11), образуют центральное поле экстремалей, то при любом положительном е линии Т', определенные системой (11) и условиями 1е+ е ( 1 ( ~а, а, (а (ая, образуют поле, удовлетворяющее всем отмеченным выше теоретикофункциональным условиям. Обозначим через Я область, покрытую полем. Из принятых условий относительно функций у и ф следует разрешимость системы (11) отно- сительно 1 и а: существуют функции 1= а(х, у), а=9(х, у), определенные и непрерывные вместе с их производными в области ьа и такие, что х = о [у(х> у), 6(х, у)), у=— ф [9(х, у), ф(х, у)1. 314 теоеия поля и достаточные хсловия сильного экстеемммл [гл.
ХГчГ Трансверсаль поля. Из речучьтатов, установленных в гл. ХП1, следует, что если Р, ф 0(Р, ф 01 в точке А(х„у,) прн некотором ее значении у' (у =уе ), то йучок экстремалей, выходящих из А по направлениям, близким к у ', в достаточно малой окрестности точки А образует центральное ноле экстремалей '). Пусть ', ч ) — поле экстремалей функционала з или Л.
Мы скажем, что линия Г есть трансверсачь полл [ т ), если всякая экстремаль Т поля, пересекающая Г, пересекает ее трансверсально. Остановимся подробно па функционале з'. Как известно, условие трансверсальности в случае функционала з' имеег вид: Р(х, н„ч') — у'Р ° (х, у, у') — ' — Р (х, у, чд) =0 (14) Н с1х --,'- р с(у = О.
Это условие связывает угловые коэфнциепты у' касательной к экстре- ае мали с угловым коэфицнентом- '-трансверсального направления. Отсюда ах заключаем, что если нам дано поле и если в каждой точке Не -)- рз ф О, то в каждой точке поля нам известно направление трансверсали поля, проходящей через эгу точку. Все трансверсали поля получатся, такиы образом как ре~неиия диференциального уравнения первого зчорядка: зу ре [х, р (х, а'и о ' (х, а)) -~ — —— =е,'(х, а)р ° [х, ю(х,а), е„'(х, х)) — Е[.г, е(х, х), сч '(х, а)), (1б) 'де вместо параметра а, определяющего экстремали поля, следует подставить выражение этого параметра через координаты точек поля.
Отсюдз, принимая во внимание сделанные выше допущения относительно поля, мы получаем, что через каждую точку поля проходит одна и притом -* — ), только одна трансверсаль. Таким образом при ~ условии Нз-)-рэ ф О совокупность трансверсалей есть однопараметрическое семейство кривых, образующих поле. Такое поле мы будем в дальнейшем называть полем транс— ) версалей. Совокупность экстремалей и трансверсалей образует сеть коивых, покрывающих область (черт.
49). Для функционалов специального вида: Черт. 49. Р=А(х, у) 3~ 1+у" условие трансверсальности совпадает с условием ортогональности, и при А ф 0 семейства экстремалей и трансверсалей образуют ортогональную сетку кривых. ') Добавочные условия, которым должно удовлетворять центральное поле, будут выполнены, есац за параметр а мы примем значение у„' н будем предполагать Р, обладающей непрерывными частиымв производными до третьего порядка включительно. 315 % 941 поля экстгемллвй и тглнсвегслли Построение поля экстремпдей по трансверсали.
Используя условие трансверсальности, мы можем также решить задачу, обратную рассмотренной: дана трансяерсаль Г поля; требуегпся построить само иоле. Условие трансверсальности нам дает в каждой точке трансверсали Г направление экстремали поля. Таким образом задача построения поля по заданной трансверсали сводится к построению семейства интегралов уравнения Эйлера-Лагранжа, выходящих из точек Г по данным направлениям.
Если для точек Г и для направлений трансверсальиых к Г г= , -'- О, то в этом случае рассматриваемая задача, как известно, решается единственным образом. Отсюда результат: транслерсаль поля определяепг само поле единственным образом '). Раньше мы видели, что иоле экстремалей определяет поле трансверсалей единственным образом; следовательно, каждая трансверсаль поля экстремалей определяет единственным образом все поле траисверсалей.
Приведем несколько примеров полей экстремалей и трансверсалей. Пример 1. Пучок параллельных прямых, экстремалей интеграла образует поле, покрывающее всю плоскость. Трансверсалями поля будут служить ппямые, ортогопзльные прямым пучка. Пример 2. Пусть Р— выпуклая область, не содержащая точки А. Семейство отрезков, принадлежащих Р и одновремепчо пучку лучей, выходящих из А, образует поле экстремалей,'покрывающее Р з). Если А ие принадлежит границе Р, го поле собственное; если А принадлежит границе Р, то поле центральное.
В обоих случаях трансэерсалями поля будут служить дуги окружностей с центром в точке А. Примерз. Пусть Г есть кривая класса Сэ Проведем через каждую точку Г прямую „ортогональную к Г. В достаточно малой окрестности Г построенные прямые т п образуют поле зкстремалей (; '; функционала ~ ус 1+у'з ах; сама линяя Г п будет трансверсалью этого поля. Если вдоль каждой прямой поля, начиная от точки, принадлежащей Г, отложить отрезок постоянной длины я, то, как известно, геометрическое место концов этих отрезков образует линию, ортогональную всем прямым поля, т.
е. построенное геометрическое место точек есть трансверсаль поля. 11авзя д всевозможные значения, мы получим поле трзисверсалей. Указанный здесь метод построения поля трансверсалей, как мы увидим ниже, распространяется на функционалы общего вида. Пример 4. Семейство экстремалей интеграла (задача о брахнстохроне, гм. 9 28) /) тУ угу ") Подчеркнем те условия, прк которых мы получилн этот результат: 1) чтобы определить направление экстремали в точке трансверсали Г, иам надо опре«я делить у' через х, у и -= из (15),— мы предполагаем, что у' определяется Нх единственным образом, 2) вдоль Г для у', определенных из (15), имеем: з) За параметр з, определяющей прямую экстремаль поля, можно принять угловая козфнциент этой прямой.
316 твоэия поля и достьточныя головня сильного экстгамгмь [гл. Х11Г есть семейство пиквоид с вершинами на оси Ох: х = Г(Π— 5!и О)+ С, у = Г (1 — со5 О). Семейство этих зкстремалей при С= О, г, (г(г образует поле зкстремалей, покрывающее область, ограниченную кривыми: х=гг(Π— 5!пз), х=гь(Π— 5!пО), у = гг(1 — соз О), у = г,(1 — соз О) И ПР5МЫМН х = а, 0(а(2лг,, у = 2лгэ 5. Пусть точка А есть обыкновенная точка поверхности зк Проведем через точку А всевозможные геодезические этой поверхности. Рассмотрим кривые т этого семейства, попадающие в олвосвязиую область Р поверхности ч.
Если диаметр Р будет достаточно мал и Р будет расположена достаточно близко от точки А, то кривые т образуют поле экстремалей, покрывающее область Р. Теоремы о трансверсплях. Приведем ряд теорем основного значения, касающихся свойств поля экстремален и поля трансверсалей. Все эти теоремы имеют место как для случая экстремален функционала Л так и для случая экстремален функционала А Доказательства теорем в обоих случаях вполне аналогичны; мы их приведем для случая функционала л'. Пусть [ Т [ есть центральное поле экстремзлей с центром в А. Отложим на всех экстремалях этого поля дуги равной л'-длины, считая, что начала всех этих дуг лежат в точке А. А Геометрическое место концов этих дуг есть Черт.
50. некоторая линия Г (черт. 50). ТЕОРЕМА 1. Линии Г есть трансверсаль нашего полн, т. е. (для случая функционала л): Е(х, у, у') — (у' — — У) Е'„(х, у, у') = О, где у и — — угловые коэ4ициенты касательной к экстремали т и йу «х к кривой Г в точке их пересечения. В самом деле, обозначив через л (В) л-расстояние от точки В кривой Г до центра поля А, имеем для всех точек кривой Г; У(В) = соп51., где У(В) есть интеграл /'Е(х, у, у')ах, взятый вдоль дуги АВ экстре- мали Т. При переходе от точки В(хьу) к близкой точке В'(х+с(х,у ';-ау) кривой Г имеем, следовательно: еай= О.
Но вариация интеграла л сводится в данном случае к вариации л в конце, т. е. из равенства ор = 0 следует, что т и Г трансверсальны. Имеет место также обратное предложение: ТЕОРЕМА 2. Если кривая Г есть трансверсаль центрального поля вкстремалей с центром в А, то точки Г лежат на равном расстоянии от А. 317 $94) поля экстгвмалей и тглнсвягслли Г Черт. 51. где йхп ау„ сгхг, ауя †приращен координат концов дуги АВ. Вследствие условия трансверсальности в точках А и В оба выражения в скобках равны нулю; следовательно, оэ = О. Оказывается, что верно и обратное предложение. ТЕОРЕМА 4. Пусть Г есть трансверсаль поля ( Т (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
