Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 53
Текст из файла (страница 53)
а с Среди всех функций уо+ оу, для которых оу(с) = оу(а) = Зу(Ь) = О, функция уо(х) реализует слабый минимум для К,(у) и Кэ(у) (в силу выполнения условия Якоби): Кг(уо+ оу) > К (уо) Кэ(уо+ Ьу) > Кг0'о) [коль скоро р(уо, уо+оу) меньше некоторого о,]. Примем о=о,. Для всякой функции уо+Ьу из Т, Зу(с) ф О. В самом деле, если бы оу(с) =О, то в силу сделанного выше замечания К(уо+Ьу) =К (уо+Ьу)+К (уо+ау) ) К (уо)+К (уо) = К(уо) Следовательно, уо+оу не входит в Тс Далее, так как наша экстремаль есть экстремаль первого рода, то для нее вторая вариации ь 1(оу) = ~1,РЬуэ+Аь Зу'г) ь(х и может принимать и отрицательные значения.
Пусть для функции Зу(х) 1„(ЗУ) ( О. Имеем: К(у„+ 1оу) — К(уо) = Р 1„(оу) + оп К(уо — Гоу) К(уо) = сг 1аь Оу) + оэ где о, и оэ — величины порядка выше второго сравнительно с й При достаточно малом 1 будем иметь: К(Уо+ ГЬУ) — К(Уо) ( О К(уо — 18У) — К(Уо) ( О и в то же время р(уо уо~ 18у) (е. Таким образом обе функции уо+13у, уо — 18у входят в Те Но в таком случае, как мы видели, Ьу(с) $0. Если, например, Зу(с) ) О, то при 1) 0 уо (с) + 1 оу (с) ) уо (с), уо (с) — 1оу (с) ( уо (с), 285 $ 89] теОРия лежАндРА-якОБи Область Т распадается, следовательно, на две непустых части: область Т„состоящая из функций у(х), для которых у(с) — уе(с) ) О, и' область Тя функций у,(х), удовлетворяющих неравенству; у,(е)— — уе(с) ( О. Эти области разделены совокупностью Та функций уа (х), для которых уа(с) — уь(с)=0. Так как Та лежит вне Т,, то, следовательно, область Т, не связна.
9 89. Теория Лежандра-Якоби квадратических функционалов Уравнение Якоби. Полученные нами выше критерии положительности квадратического функционала: ь Уа, — — ~ (Р'„„йуа+ 2Г„„,3уау'+ Е'„,„,8у'а) ~х (73) исторически были получены, отправляясь от некоторого специального преобразования квадратического функционала — преобразования Лежандра. Пусть тв = те(х) есть произвольная функция от х класса С„ определенная в закрытом интервале (а, о]. Имеем: (23уоу'тв+Зуэтв') 1х= / Ы(гвйуа) =О, У (74) если оу(а)=оу(Ь)=0. Добавим к правой части (73) левую часть (74); квадратический функционал примет внд: 1„ь = / ( (Р'„е+ тв') 8УЯ+ 2 (е, + тв) БУоУ'+ Г;,3У'а ] ~1х. (75) а Поставим теперь задачу подобрать функцию тв так, чтобы подинтегральное выражение превратилось в полный квадрат.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы функция те удовлетворяла условию: (Г „, -]- те) — Е'„, „, (Р„„+ тв') = О, (76) ь р 2 с, — 7" а,,, ] ь' ч. — ""' а 9'в' (77) т) Квадратический функционал у,ь(зу) не меияетса от перемены знака уйу, т. е. функция я(х) должна удовлетворять диференциальному уравнению первого порядка. Таким образом, если существует кривая класса С, в интервале [и, о], удовлетворяющая уравнению (76), то квадратическому функционалу е„можно придать вид: 286 втогля влвиьция и линвйныв вьгилционныа злдьчи 1гл.
Х111 и' то= — Р,— Р,,— вм вв' и ' (78) где и = и (х) — новая неизвестная функция. Подставляя выражение для то в уравнение (76), получим: (и) = Ри — — (ьси') = О, (79) где, как раньше, положено: Уравнение (79) есть знакомое нам уравнение Якоби †линейн уравнение второго порядка. Замечая, что всякий интеграл уравнения (76) выражается при помощи (78) через интеграл уравнения Якоби, мы заключаем, что при Ем„, ) О для существования интеграла уравнения (76) (интеграл должен быть класса С, в интервале 1а, Ь)) необходиио и достаточно, чтобы существовал интеграл уравнения (79), не имеющий нулей в интервале (а, Ь1, а это последнее сводится к тому, чтобы закрытый справа интервал (а, Ь1 не содержал точек, сопряженных к а. Из преобразования Лежандра второй вариации также весьма просто получается необходимость условия Рь, м )~ О для положительности формы.
Подставляя в выражение (77) функционала в'„вместо то ее выражение через и из (78) (и ф О при а <х ~ Ь), получим: О э1о ес~ь ~ак называемое преобразование Якоби второй вариации. 9 90. Квадратический функционал в'„ь как предел конечных квадратических форм Вывод уравнения Якоби предельным переходом. Развитая выше ~сория квадратических функционалов у„может быть получена предельным переходом из теории конечных квадратических форм, изложенной нами в гл. 1Ч. Не останавливаясь на деталях, укажем на основные моменты этого предельного перехода (см.
Ь. 1.пз1егп1К ()Ьег е1п1пе Апъепдппиеп бег д!геск1еп Ме1Ьовеп..., Мат. сборн., 1926). Из полученного преобразования второй вариации немедленно следует: если в интервале (а, Ь]г а) Р,,) О и Ь) суиьествуе>п интеграл в' в' уравнения (76), то форма 7„ь положительна. Лежандр, предполагая неявно, что интеграл уравнения (76) всегда существует, считал, что для положительности формы достаточно, чтобы Р„,м ) О. Пробел в теории Лежандра был обнаружен Якоби. Якоби свел задачу интегрирования уравнения (76) к задаче интегрирования некоторого линейного уравнения второго порядка в „уравнения Якоби". Положим: 287 9 90] КВАДРАТИЧЕСКИЙ ЕУИКЦИОНАЛ Пусть дан квадратический функционал ь .
(у) / ( у -г- РУ ) А (80) заданный в пространстве ]х (у(х)] — непрерывных функций; при этом у (а) = у (Ь) = 0 и Я(х) ) 0 (а ( х ( Ь). (81) Разобьем отрезок (а, Ь) на и равных частей и обозначим через ун Р,„ тгл значения функций у(х), Р(х), Р(х) в 1-й точке деления. построим теперь квадратическую форму и — 1 переменных ун у,„..., у„ в — 1 УА.,(у„у„", у„,)= ~И~Р;у;+Р, ( — +- — ') ~ й, л=о где Ьх= и Лле=У„= О Очевидно, имеем: у(у(х)]= и lк 1(у„ум.,у„,); Л (Ь вЂ” а) при и -+ оо — — — — -+ х и знак предела понимается в том смысле, что и уь-+у(х).
Полагая: Рл +Рл а РЛх — ' 11 л Дх а =а. Л<-11 Лз+1 Дх 1 (82) а,. =О, если / не равно 1 — 1, 1, 1+1 форма з'„ , примет обычный вид: ът В силу условия (81) при достаточно малом Ьх, очевидно, имеем: аа+,—— а,+м . О. аи. О, (83). 011'а''' ° йэ (84) где аь=]а„.! (ю', 1=1, 2, ..., Ь) суть детерминанты. Общее число отрицательных собственных значений формы з'„, равно числу перемен знаков в последовательности (84). Покажем теперь, как из условий положительности квадратических форм получаются условия положительности функционала з'(у(х)].
В силу теоремы Сильвестра для положительности формы з'„, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все члены последовательности; втоеая вьеиьция и пикейные вьаилционныя задачи (гл. Х1П 288 Покажем, что это число перемен знаков совпадает с числом перемен знаков в последовательности (84).
Для этой цели составим матрицу из жоэфициентов системы (85): . 0 . 0 . 0 аы а„О а,а а О. 0 авя азв аз, 0 00... Оа а, а и — 1 — 2 и — 1н — 1 и — гн Обозначим через 8, детерминант, получаемый из этой матрицы вычеркиванием г-го столбца и умножением на ( — 1),: н — 1 8, „=( — 1) Ц аз~, Ьг ,=1 Так как все члены а, отрицательны, то гу+г (86) 7гг = Д ~ а, ~, ( .
ее=( — 1) 7г,.! Ь,,!, (87) Отсюда, решая систему (85): У| Уя У з~ лг и подставляя значения для Зо получим: Уг Ув Ун агав Лваг Лиан — г Так как все А, положительны, то из (88) непосредственно вытекает нужный результат: число точек пересечения полигона П„с осью Ох совпадает с числом перемен знаков в последовательности (84). Следовательно, принимая во внимание теорему Сильвестра, получаем, что число отрицательных собственных значений формы г'„совпадает с числом точек пересечения полигона П„с осью Ох.
Принимая во внимание специальную форму коэфициентов нашей формы У„м приладим условиям Сильвестра несколько новый вид. Для этой цели, считая у, произвольным фиксированным числом, найдем стационарную точку формы г'„,; принимая во внимание, что ай=О при 1 ф г — 1, г, с+1, получим: У,=О, ан,у,,+пну,+пи+,у,+, — 0 (г'=1, 2, ..., и — 1). (88) Задавая в этой системе у„мы можем последовательно определить уз= — ", у, ..., у,. Построим полигон П, г-я вершина которого аж ' имеет координаты (гбх, у,); число точек пересечения полигона П„ с осью Ох совпадает с числом перемен знаков последовательности: Ун Уг~ .
~ Уе-ы 990 втогля влгилция и линяйныв влэиьционныя задачи [гл. ХИ1 ОбозначаЯ тепеРь чеРез ть, т1я, ..., т1„одно из нетРивиальных Решени» системы (85), мы в силу формул (86), (87) и (88) (где у, заменены т4) получим: аи ав,» а и+ г — Ъ Ую+ г — Ут ° ы Ъ+г Уа л — % (90) ч» Если теперь кривая 7 — интегральная кривая уравнения Якоби — не пересекает на закрытом справа интервале (а, Ь) ось Ох, то то же самое будет иметь место для полигонов П„(т1ы т1я, ..., л„). В этом случае выражение справа в (90) имеет всегда смысл, причем при бх, стремя- % щемся к нулю, будет стремиться к единице, а вся правая часть (90) чг+~ будет стремиться к ь где т1=~1(х) есть интеграл уравнения Якоби. Отсюда ь 7 ( ) / 17 (УЧ~ чУ~)а аь г а Этот положительный (при 1т ) О) интеграл и есть искомая форма Якоби для второй вариации.
В случае если отрезок [а, Ь] содержит А точек, сопряженных к а, то предел формы У„можно представить в виде суммы (л-[-1) положительных интегралов и п отрицательных членов. (См. Л. Люстерни к и И. П е т р о в с к и й, О приведении второй вариации к каноническому виду треугольными преобразованиями, „Ученые записки МГУ", вып. 11.) 9 91. Вторая вариация для изопериметрической задачи Изопериметрическая задача.
При разыскании достаточных условий слабого минимума в случае изопериметрической задачи основную роль играет изучение квадратического функционала, когда на класс допустимых функций наложен ряд условий. Мы дадим сейчас теорию квадратического функционала, рассматриваемого на линейной части пространства Й, а затем покажем, как из этой теории получаются достаточные условия слабого минимума изопериметрнческой задачи и, общее, решение вопроса о поведении функционала в близости первого порядка экстре- 9 91) ВТОРАЯ ВАРи»ция для изопВРиметРической ВАдАчи 291 мали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
