Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Пусть нам дано диференциальное уравнение и-го порядка Р(х, у, у',...,у~"~) =О. (52) Относительно функции Р мы будем предполагать, что она в области ее задания обладает непрерывными частными производными по всем аргументам х, у, у',...,у~"'. Из общей теории диференциальных уравнений известно, что если точка (хо, уо, уо,...,Уо ) принадлежит об[вп ласти заданиа фУнкции Р, т. е, если г"(хо, Уо, Уо', ...,Уо" )=0 несли об1 в этой точке Р ~е1ф О, то при достаточно малом Ь) 0 существует интегральная кривая Т уравнения (52): у =у (х) (хо < х ( хо+А), удовлетворяющая начальным условиям: у(хо) =уо у'(хо) =уо' ° ° уге " (хо) =уо . (бЗ) Если при этом вдоль кривой Т имеем: р„эч ~ о, то всегда можно найти такое число р, что цри любых,",е, 6уо,'оуо',...
..., оуо~ ~, у(х), удовлетворяющих неравенствам 1е1е-. 1' !'Уо1<е йУо! <е 1йУо 1<;, 1У(х)( <е, где у(х) определена и непрерывна при хо ( х ( хо+ Ь, существует инчегРальнаЯ кРиваЯ Т,; У=У(х)=У(х)+ЗУ(х) (хо~(х <х, +Ь) уравнения р=дх), удовлетворяющая измененным начальным условиям: У (хо) =- Уо+ оуо У (хо) = Уо + оуо ~ ° ° ° ...,У'" "(хо) =Уо'," "+дует " (бЗ') ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ. Если е бесконечно мало, то кривая находится в е'-близости и-го порядка от кривой Т, где е' — бесконечно малая порядка е.
э 85] гзлянеииз в ВАРиацня)г Уравнения в вариациях. Принимая от~еченные свойства диференциальных уравнений, поставим задачу опрдделить с точностью до бесконечно малых высших порядков вариац)ио 3у(х), предполагая основную кривую у=у,(х) известной. Имеем„.
Г[х, у+оу, у'+Зу',...,у(")+оуы))=У(х). (54) В силу теоремы Пуанкаре при е бесконечно малом все йу(О суть бесконечно малые порядка не ниже первого, отсюда, принимая во внимание, что г" [х, у(х), ...,у (х)1 =О, получим: Е„йу + Р' оу' +... + Р'„(о) 3уоо = У(х) + ц (х), (54') будут так)ке бесконечно малые порядка выше первого. Таким образом, решая уравнение (55) при условиях (53'), мы получим с точностью до малых высшего порядка искомую вариацию йу.
Уравнение (55) есть л и н е й и о е уравнение, коэфициенты прн неизвестной функции оу и ее производных [при заданном основном решении у(х)] суть вполне определенные функции от х. Наиболее важным в приложениях является тот случай, когда у(х) =О, т. е. когда ищется главная часть изменения интеграла при варьировании лишь начальных условий. В этом случае уравнение (55) примет вид: Гв(у+ гв,йу'+... +Р„Ь)йу") = О. (56) Уравнение (56) носит название уравнения в вариациях; его интеграл при бесконечно малых начальных условиях лает главную часть изменения интеграла уравнения (52) при соответствующих бесконечно малых изменениях начальных условий.
где т)(х) есть остаточный член разложения Е' в ряд Тейлора, следовательно, на интервале хо (х (хо+А максимум [т)(х)[ есть бесконечно малая порядка выше первого [т)(х) зависит от йу ]. Значения частных и) производных берутся здесь, очевидно, 3у(')= О()'=О, 1, ..., л), так что все коэфициеиты при оу суть определенные функции от х; йу(х) есть искомая вариация интеграла у(х), а оу = —,„~у. )ю) л'" Итак, неизвестная функция 3у должна удовлетворять уравнению (54') н начальным условиям: оу=оуо, оу'=3у ', ..., 3ущ) =3у„(") (53") при х=хо.
Рассмотрим теперь вместо уравнения (54') уравнение: Р„оу+ Р'„,оу'+... +) „о)йу~ш = У'(х). (55) Так как правые части уравнений (54') и (55) отличаются на бесконечно малую порядка выше первого, то в силу теоремы Пуанкаре интеграл и(х) уравнения (55), удовлетворяющий начальным условияи (53 ), будет отличаться от искомой функции 3у (х) на бесконечно малую порядка выше первого. 1(роме того, в силу той же теоремы все разности ['у'"))(х) — оу("') (х) ) (и = 1, 2, ..., л) 272 втогля влгилция и лннвйиыв влгилционныв злдлчи (гл.
Х!Н Уравнение в вариациях для уравнения Эйлера. Найдем уравнение в вариациях для уравнения Эйлера; Получаем г'а„йу + ~'„„ау' — — (р„„4У + р °,йу') = О или, развернув и приведя подобные члены: (Р„„— — Рта) оу — — (Р„„ЗУ') = О. Вводя обозначения, аналогичные принятым нами в предыдуших параграфах: Р— — Р =Р, г ° =77, га йх га та уравнение в вариациях примет вид: (ьУ1 = 'У вЂ” и (РЗУ') = О. Это есть уравнение Якоби, являющееся уравнением Эйлера для квадратического функционала: ь е'= / (Роуз+ 77йу'в) пх. а $86.
Геометрическая теория сопряженных точек Сопряженная точка как точка пересечения двух бесконечно близких кривых пучка экстремалей. Используя доказанный факт, что уравнение Якоби есть уравнение в вариациях для уравнения ЭйлерзЛагранжа, можно дать новое определение сопряженных значений. Пусть дано уравнение Эйлера-Лагранжа: Обозначив чеРез То экстРемаль, УРавнение котоРой у — уо( ) (х )~ хв) выходящую из точки Ао(хо, уо), допустим, что вдоль этой экстремалн Г„т фО. Построим теперь экстремаль Т: у=у(х, и), выходящую из точки Ао; при этом я=у (ха ") — уо (хо).
Обозначим через А,, Аэ', ... точки пересечения экстремалей (а) () и 7„, расположенные в порядке возрастания их абсцисс. Точку Ап к которой будет стремиться точка А,(") при и, стремящемся к нулю, назовем (чй сопряженной точкой точки Ао. Для того чтобы оправдать зто определение, нам нужно прежде всего доказать, что предел А,(") существует. Мы сразу докажем, что $86) ГИОметРическАя теОРия сопеяженных точек 273 абсцисса А,~ ~ при а.+ 0 стремится и с-му сопряженному значению для хе. В самом деле, пусть ('Р (ха) = 0~ а (хо) = 1) У = 9 (х) есть решение уравнения Якоби (у) =о, (58) постРоенного длЯ экстРемали Те, и пУсть х, (х, (ха( ...
— РешениЯ уравнения 9(х)=0 (хе(х,); х, есть, очевидно, ьче сопряженное значение для хе. Так как уравнение (58) есть уравнение в вариациях для уравнения (57), то в силу результатов предыдушего параграфа имеем: у(х, а) — уо(х) =ар(х)+аф(х, а), (59) Для доказательства теоремы нам, очевидно, достаточно доказать, что в каждом из интервалов системы (60) имеется при достаточно малом а единственный нуль разности у(х, а) — уо(х).
Обозначим через т минимум функции ~е(х) (, когда х принадлежит закрытому интервалу (хе, а,+а) и не принадлежит ни одному из открытых интервалов системы (60). Очевидно, т > О. Обозначим через р минимум ! а' (х) ~, когда х находится в любом из интервалов (60). В силу свойств собственных функций е' (хе) ф О, следовательно, считая е достаточно малым, мы можем считать, что р) О. Выберем теперь число а настолько малым, чтобы при всяком а (~а((т1) имели место неравенства: ~ф(х, а)( (т, ~ ы(х, а) ! (р.
(62) Покажем, что при ~а) (т1 и при х„— е(х(х„+а разность у(х, а) — уо(х) будет иметь единственный нуль. В самом деле, так как на интервалах (х,+Ь, ха — Ь) н (х„+Ь, х,— Ь) (а(х) () т, то в силу (60) и (59) на этих интервалах знак разности уе (х, а) †ус (х) совпадает со знаком а(х), но при переходе из одного интервала в другой е (х) меняет знак, следовательно, в интервале (х — Ь, х„ + Ь) разность уе(х, а) — уе(х) имеет по крайней мере один нуль. Если бы нуль был не один, то нашлось бы число с (~х„ — Г~ ( Ь) такое, что у ($, а) у,($) О, где функция ф(х, а) вместе с ее производной ф'(х, а) равномерно стремится к нулю вместе с а на всяком конечном интервале хе (х (д. Абсциссы точек А,ей суть, очевидно, 'нули выражения (59).
Покажем, что, как бы мало ни было число е при достаточно малом а, с'-й нуль разности (59) отличается от х, меньше чем на а. Для этой цели построим систему интервалов (хе, хо+а), (х,— а, х, +а), ..., (х,— а, х,+е). (60) 274 втогля влгилция и линкйиыв влгилциониыв задачи [гл. Х(11 тогда, диференцируя выражение (59), получим: м~(() — фг(-:, .) = О, У з>0 (1+У") выполнено для л~сбой экстремали, Обратимся к условию Якоби. Как мы видели, при произвольных точках А и В возможны три случая; 1.
Через А и В зкстремаль провести невозможно; задача неразрешима. 2. Через А и В можно провести единственную экстремалгс будет выполнено лишь необходимое условие Якоби. 3. Через А и В можно провести две экстремали:,верхнюю и нижнюю. Ванный нами раньше (3 32) геометрический метод конструирования зкстремалей легко обнаруживает, что для верхней экстремали условие Якоби выполнено, для нижней-не выполнено. Верхняя экстремаль дает во всяком случае слэбйй минимум, а нижняя ие дает ип максимума, ни минимума.
что невозможно,ибопопостроеиию )ч'(с)) >р, а (ф'((, а) ~( р. Используя понятие сопряженной точки, мы можем дать новую формулировку критериев существования слабого минимума. Для того чтооы дуга АВ энстрелгали (о дава.га слабый лггнияулб достаточно, чтобы вдоль уо было Гэзг > О и чгпобы закрытая дуга АВ не содержала точек, сопряжеййыгс я А. Аналогично в терминах сопряженной точки можно формули ровать необходимое условие Якоби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
