Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 97
Текст из файла (страница 97)
О з сз (37) л / !Х1 !Х11 Х ~ (аT»+ (бс) » АУ— бХ! 6Х1 — [( !с".Г [с! с ~ =- с (л) 1Х! !Х! лс Вследствие не. лвисвм !сти произвольных вариаций [б[ул) соотношение [38) эквивалентно системе ЗМ» линейных алгебраических уравнений ~ ) ~ Ц ~ [В„!' [А! (Вл)йу! Х "с! [. ( Х ([ул! — ~ Ц [В.! [А) Х ~л Х ((аТ) + (ее)) йУ— Метод конечных элеменпюп лов (44) Ус с45) (В)— (' ст йы йф йы ДВ А„ ФО й„ йсп! йт/ йтС Фт, дуся ссст йтт (йп) =- (42) — ~Ц (ф.)'(р) др'— (бэ.)' Д) 33 '( = О (39) зпЕз .) г Запись п Е л означает, что в уравнение входят только элементы, примыкающие к л-му узлу. Индекс показывает, что в сумму входят составляющие, связанные с узлам Г (в четырехблочном векторе для тетрандального элемента и сохраняется блок узла л). Матрица разрешающей системы (39) является редко заполненной (имеет небольшой процент ненулевых коэффициентов) и при надлежащем порядке нумерации узлов имеет ленточную структуру.
Часто используют механическую трактовку уравнения (39), при которой отдельные слагаемые рассматривают как обобщенные усилия, а величину зхз ~Ц (Вп)'(Л) (Вп) а = (йп) «О) и каи матрицу жесткости элемента и. Тогда если через (ып) обозначить узловые нагрузки, которые статически эквивалентны граничным напряжениям то уравнение (39) для одного элемента (беэ учета температурных и дополни- тельных деформаций) имеет вид (йп) (и ) = (м ). (4() Матрица жесткости элелсента и имеет блочную структуру, связанную с блочной структурой векторов (ип) и Я„): где Фы, ..., йтт .
— квадратные подма. трицы (блоки) размерности (ЗХ3), й у =-. ~Ц (В,)т (Л) (В)(д), (43) ля где согласна (32) (В ] =- (О) (Ф1пЛ); ( .) = (О) (Фс" ). л))одматриссп Фл показывает реаклсисо (обобщенное усилие) в узле с тетраэдра (элемента и) от единичного смещения его (-го узла при неподвижных узлах л, т, Так как вся конструкция состоит из совокупности элементов. то матрицы жесткости отдельных элементов объединяются в матрицу системы. В одном узле сетки обычно сходятся неснолько элементов и каждый из иих вносит вклад в матрицу жесткости, и мя строка суммарной матрицы жесткости будет содернсать соответствующие компоненты матриц жесткости элементов, примыкюощнх к бму узлу. С учетом (39) матрица жесткости конструкции (К), содержащей Дс уз.
Кы ° ° ° Ксм К К ° Клм Кмл Кмл ." Кмм Обозначая векторы внешних сосредоточеппыл в узлах сетки усилий и перемещений узлов сетки соответствен. но получим систему линейных уравнений относительно узловых смещений (Е) --(К) ((г). (49) По физическому смыслу уравнение Мб) представляет собой уравнение равновесия снссслсы (в смещешсях), Для получения единственного решения система должна быть дополнена граничными условиямн в перемещенияхх. 486 Численные методы расчета конструкций у (о, а) В В) а) ! ч 0 1 — м 2 Р«с. 3.
К расчету «ласт««чн Благодаря тому, что система урав. пений (46) соответствует минимуму квадратичного функционала полной потенциальной энерган исследчемого тела, матрица этой системы симметрична и положительно определена. Зги ее свойства, а также ленточную струк. туру и «редкозаполнеиностьэ исполь. эуют при рсшеьнн системы точными методами (метод блочного исключения Гаусса, метод квадратного корня и т.
и.). Определив иа уравнения (46) узла. вые перемещения, можно по формулам (33) найти напряжения. Описанный вариант метода конечного элемента является простейшим. Мо>ьно повысить порядок аппрокси. мации функций перемещения в эле. менте, вводя, например, допол«ктельные узлы на ребрах тетраэдра или используя элементы другой формы (прямоугольную оризму и т. д.), При этом точность расчета повышается быстрее, чем прн измельчении сетки простых элементов. Метод конеч.>ого элемепта может быть эффективно реализован при наличии полно«тью автоматизированной программы, реализующей зсе этапы расчета конструкции (идеализация конструкции, формярозание системы (39) или [46), решение этой системы, подсчет напряжений и других величин).
Программа должна быть универсальной, пригодной для шчрокого круга практических задач. Весьма эффективны программы, имеющие блок автоматического разбиения областн на элементы, сокращающие процесс составления и кои- трала обширной исходной информа. цин. Целесообразно применять графический контроль (вывод на графот>строитель или экран дисплея) дан. иых о геометрии области и характере ее разбиения. а также выходной информации. Примеры расчета элементов кои. струкции методом конечных ~лементов приведены в гл.
28 Неже приведен пример решения простей>ней задачи, иллюстрирующей основные особенности реализации метода конечных элементов. Пример. Определить перемещения в квадратной пластинке толщиной 1 мм от заданной нагруэни Р, Нlмм (рис. 3, а). Для большей наглядности разобьем пластинку всего из два треугольных элемента (рнс. 3, 6). Лля получения разрешающей системы уравнений сформируем предал. ритель«ые матрицы [А) и [В„) [см. соотношение (40][. С учетом равенства (9) матрица ко. эффициентов жесткости (А[ для пло.
ского напряженного состояния имеет внд м ! [А) = 0 0 (47) Рассмотрим элемент 7. Соотношения (27) для него будут такими; и = ах+ о,х+ аэу; о =па+ пчх+ очу. (48) Метод конечных элементоэ 487 Коэффициенты ам ..., а, определяют через перемещения узлов из следующих систем уравнений (нрииято и, = =и,, и,=и,, и,=и ): а, -1- а,хе+ аеУ1 = иы а, + аех) + аэуу = иВ а, + а,хее + азут = ит (49) 1 2Ь [(о, + ь;х + сеу) ие+ (а)+ ь)к + с,у) и) + (ат + ьтх + с„у) им[; 1 1 [(аг+ Ьгх + сгу) ос + (а) + Ь)к+ сэу) о) -1- (от + Ьтх + сту) от[, (51) 1 о=— 2Ь где коэффициенты ае, Ь;...
выражаются через определители: У) ! !хт Ут! !ке 141! Ь, =! Усе !; Ь„=! У' :.'! =!':,! -=!':,'!' (52) 1 1 ке уе 1 ку у) — коэффициент, 2 1 Хт уее численно равный площади элемента. В данном случае (плоская задача) матрицы Фм ..Фт имеют вид Ье 0 0 сг се Ье 1 [в„! =— 2Ь Ь 0 0 с,„ с„ Ьт ! 1 О! (не+ век+ сеу) (54) ~1 01 ~ ит+ Ьтх -[- ему ) (53) или [в[- 1 Для плоской задачи матрица днффе ренцнрования принимает вид д дх 0 [В [=- О с (55) ст Ьт [Й= ог = ! Ь, = ! У' Се = ! д ду д дк и 444+ аек» + аере = ог,' »4+ах,+ 4У,==-,; (50) а4+ аехт + аеут = от, где хи УЫ к, УВ хт, Ут — ксоРдинаты узлов. Определяя аы ...,а» из уравнений (49) и (50) и внося их в соотношения (48), получаем уравнения (28); Применян соотношение (32), находкм П (Вп! = [Вев)Вт[ (55) где :1 Так как в рассчитываемом примере деформации постоянны в пределах Численные методы расчета конструкций "1 в,— —,' [ 0 0 Х 0 О 2 матрицы в 1 в 2Л Ьы Ьш Ьвз Е , =~ .
". '.1 = „, „, ° " "зв Ьт Ьзз 1 — и и 2 1 О ! — ч О 1 — ч 1 — ч 2 1 — ч 0 2 1 — ч 2 1 — ч 0 2 каждого элемента, то матрицы [Во! ие зависят от х и у. В этом случае соотношения (40) и (43) примут вид [до! = [В„!' [А! [В„! УЫ [Ьц! = [В;!' [А] [Вг! Л, (57) Перейдем к расчету пластинки, рассмотрим элемент П По формулам (52) находим: аз = О; аз = 0; аз = — аз; Ь, = а; Ь, = — а; Ьз =- 0; св= а; се=О; се=а, а' Ь= —; 2 Из соотношений (53) получим функции, стояшие множителями у единичных матриц; ах — ау О!1 = а з ау 3 з далее с учетом равенства (54) получаем Используя эти зависимости. по фор.
муле (57) находим блоки матрицы жесткости Ьм — — [Вв! [А! [Вв! Л = 2аз (),з) Х а 0 ΠŠ— а Х 1+ч 3 — ч 2 2 Проводя аналогичные вычисления, получаем остальные блоки для матрицы жесткости 1-го элемента, которая в рассматриваемом примере будет кметь вид Метод коночных элементов 439 Матрица жесткости для 2-го элемента формируется аналогично: ((зв азз дзз азз йзв йзв О~~ а— '1 441 е 2(1 — ч) п44 [дз) 1 — ч ! 1 — ч ! 1 — ч 2 — 1 ! — ч 2 0 2 , '2 0 1 ) — ч 0 ! 1 — ч ( 2 — ч ! 1 ! 0(! 0 ! ! О 1 — ч 2 1 — ч 1 — ч 2 2 3 — ч 1-1- ч 1+ч 3 — ч 2 2 1 — ч — 1 2 1 — ч ч 2 Матрипу представить жесткости пластинки в соответствии с равенством (39) можно в вкде (верхние индексы при д показывают комер элемента) д(() (г (222 + 222 ) вД32 + ДЭ2 ) ~42 (2) в(12 тдгэ +дгз ) ®) +,ф) д(2) ва 0 (К) = к о Кзз Кж Кзв Кзв ~ 2 (1 чв) Х К44 К44 Кп Кв Кж Кт Кз! Кзв 0 К 1 — ч 2 1 — ч 2 3 — ч 2 0 0 0 0 1 — ч 2 1 — ч — ! 2 1+ч 2 О ( О ! 3 — ч ! (1+ч ! 2 ! 2 3 — ч 2 1 — ч 1 — ч 2 2 2 2 1 1 — ч 2 ! ! 0 ', 1 ч ! 3 — ч ! ! — ч 1 — ч 0 2 , '2 2 2, 2 1 — ч 2 ! ,', 2 — 1 ( ч 1+ч 2 1 — ч 2 3 — ч 2 1 — ч 2 1 — ч 2 1 — ч 2 (!) дн д(() 2( дЦ) д(2) гз д(2) 24 д(г) 44 3 — ч ( 2 1+ч ! 2 цшлекнме методы расчета конструкций 490 а чг» ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
