Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 99
Текст из файла (страница 99)
1 и-з=иу= — — и, 3 2 о; = а„— рс (о — и ) = — — рси 3 (а; = О.ца7, но М; = Мр)1 правая граница а', = О, о+, = и „+ (а', — аз,)/Рс = — и, Новые значения аз(1 р 1)1) = аз + а;- — а„= 2 = — Зр" з(+ 1 =о,'+и„— и = — — и.
то — о. 3 правая граница, вторая формула (54) и+1 — — 0,5 Сизо + ип, + (аэо — ап,)/рс) = =о, аф=О Новые значения Затем проводится аналогичный расчет для момента времени гэ = гс+ + 61(; = 2) и далее етом же порядне На рис 5, 6 приведены результаты расчета в виде зависимостей иг и аг от номера шага 1 В момент 1 = 451, когда упругая волна, отраженная от левой свободной границы первого элемента, возвращается и плоскости контакта, происходит отскок стержней В этот момент второй стержень не на- 7 пряжен н имеет скорость иэ = — ио, 9 которую он и сохраняет в дальнейшем Элементы первого сгержня при этом имеют такую же сиорость о, = иэ = 7 = — — ио, но они испытывают на.
9 пряжение ра~тяжения ас = аэ = 8 = — рси (вб всех точках, кроме 9 внешних границ, что является источвиком последующих колебаний) В дальнейшем первый стергкень будет двигаться с той исе средней скоростью 7 оси = 0,5 (и, + о,) = — — ио, но в нем 9 будут происходить незатухающие (в отсутствии сил внутреннего трения) колебательные процессы в виде волн напряжений и скоро~сей, каи показано иа рис 5, 6 Полная энергия системы стержней после отскока сохраняется постоянной и равной (например, при определении ее в моменты г — — 5, 7 и т д ) 1 э Эх — — К1+ Кг + /(з = 2 РР(ио Х гс~( — +1( — ) + ( — ) = 2РР(оз, что в точности равно начальной кипе. тической энергии стержней и подтверждает упругий характер удара, Потеря скорости из.за упругих колебаний стержней в данном случае составляет 12ого Из приведенного примера следует, что расчет чрезвычайяо легко алгоритмизируегся.
Уравнения улругосгяи 495 Глана 27 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ а„ ео 1 у»о 2 а, (а) = (е) = 1 2 1 — уг» 2 и а„Т а,Т вЂ” и 1 «з 1 — и 2 г* — и г» о е„ е„ о ао г УРАВНЕНИЯ УПРУГОСТИ (ео) 1 — T 2 12) — 7 г» Методом прямого математического моделирования решены задачи кручения н изгиба стержней, деформации струн, плоских и сферических волн, деформации упруговязкнх и упруго- пластичных материалов.
Им успешно Во многих конструкциях возникают деформации пластичности и ползучести (в деталях паровых и газовых тур. бнн, авиационных и других транспортных двигателей). Нагружеане часто осуществляется при переменной температуре, когда механические характеристики материала существенно зависит от температуры, В отличие от технологических задач теории пластичности и ползучести (обработка давлением и т. п.) дефор.
мацин пластичности и ползучести в ра. ботающнх конструкциях невелики, однако их учет оказывается совершенно необкоднмым длн расчета на прочность, оценки надежности и долговечности их работы. В последние годы расчет на проч. ность элементов конструкций интенсивно совершенствуетсн за счет широкого использования электронных вычислительных машин (ЭВМ). Открывакггся возможности более полного описания элементов конструкций с учетом реальных свойств материалов, характера натруженна и условий разрушения.
Ниже рассмотрены основные модели материала н методы расчета напряжений н деформаций в конструкциях при простом и сложном нагружеини с учетом упругости, пластичности и ползучести. Уравнения упругости для анизотропного тела с учетом температурных и дополнительных деформаций имеют внд (з»'= (а»'(а) + «аТ»+ (зо» (1) решаются многие технические задачи, связанные с проблемами анализа не.
стационарных процессов а деформнруемых элементах машин и конструкций, с динамикой поездов и пр. (4, 5, 6» где векторы-столбцы деформаций, на. пряжений, температурных и дополнительных деформаций 496 Расчет конструкций с учетом пластичности и лолзучести В соотношениях (2)" Ехнх —;...; дх ''''' ди др ухы =- — + —;...
(х, у, г), ду дк ' 1 Ех О О О тхг Ег тхы Еэ Еэ туг Ег тых Е, 0 0 О 0 О 0 Е, Ех Еы [а]' = 0 О хы 1 1 0 О 2ыгх О 0 О О О О для обычного кэотропиого тела 0 О О 0 О О 0 О О 1 Е (а)' = г (4) ! — О О 20 Π— О 1 26 1 0 О 26 (п)а — симметричная нвадратиая ма. трица упругих коэффициентов размерности 6Х6. Верхний индекс г соответствует упругим деформациям. Введение дополнительных деформаций в равенство (1) связано с последующим использованием модели упругого тела для описания пластичности и ползучести материала. В некоторых задачах дополнительные деформации позволяют учесть структурные и фазовые превращения в материале.
Известно, что напряжения и деформации в точке образуют теиэоры. Представление напряженного и деформированного состояния шестимерными векторами, составленными из компо. нентов тензоров, более удобно для записи уравнений пластичности н ползучести в матричной форме (см. обозначения в гл. 26). где и, о, ю — упругие смещения соответственно по осям координат г, у, г.
Значения у„ы в технической теории упругости равно удвоенной величине соответствующего компонента тензора деформаций, Для ортотропиого тела матрица упругих коэффициентов имеет вид Здесь и а дальнейшем символы!к, ы. г1 оэнавают. сто недостающие соотноюення выписываются па правилу круговой пере. становки индексов. Ураааения аластичности 497 где Е, Π— оютветственно модули упругости и сдвига; т — коэффициент Пуассона.
Отметим, что в формуле (1) коэффи. циенты лянейного температурного расширения представляют собой средине значения в темнературяом интервале от 0 до Т. Например, линейная температурная деформация в направлении оси х т ег = а„Т = )' а' (О) 88, (5) и где а' — истинный коэффициент тем пературного расширения; 8 — теку щая температура. Из последнего равенства вытекает а' (Т) = — Т [а„т), (8) Считая коэффициенэы упругостя зависящими от температуры, из уравнения (1) получаем (8е)к =- (а['(Но) -1- + ( — [а)') (а) бТ+ -1- е — — ~ аТ -1- (аее).
(7) с! (иТ) бТ Для нзотропиого тела соотношения (7) в развернутом виде будут такими: с)а'„= 1 [бо„— т (Ка -[- ба,))— 1 г)Š— — [а — т (ор + а,)) — аТ— Е' аТ 1 с)т — — (, +а) — дт+ Е " ' бТ Д(аТ) лТ „„, + бт бу = — ат 1 кр О хр 1 бб — — т — аТ+ ауа,... (х, р, х). аз кр дт ' кр"'' УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ реформационная теория иластиччости [3, 4) предполагает наличие однозначной зависимости между суммар. ными деформациямн в упрусопласти. ческом теле и напряжениями.
Для изотропного тела основные соотноше. ния деформационной теории имеют вид ! + т аа — в = — ф(оя — а),...; Е 1 1+т — Тхр — фт „,... (х, р, х), (8) где Е, т — соответственно модуль упругости и коэффициент 71уассона. Средние деформации и напряжение связаны соотношением упругости 1 — 2т е= Е о+от; (9) здесь е и а — соответственно средняя деформация и среднее напряжение: 1 3 (а + ар+ее) (10) 1 о = — (о„-1- ар -1- а,). 3 В равенствах (8) величина ф пред- ставляет собой параметр пластичности: 3 Š— = —, (11) 2(1+о) а! а, где о, и ес — соответственно интен- сивности напряжений и деформаций, 1 а! = — Х [/2 Х У' (а„— и )'-' + ...
-[- 6 ( с'-' р + " . ); (12) 1'2 ес = 3 Х Х1)7 (е„— ар)'+" + 2 (7',р+" ); а[ — интенсивность напряжений в упругом теле, соответствующая интенсивности деформаций е,. В расчетах принимается, что интенсивности напряжений о! и деформаций 498 Расчет конструкций с учетом нластичнасгни и лолзучести ~упругпп хе и Фр Пгругп,пкпсхаыскпс мепп рис. 1. Крива» Леаориироввиии (е) = ! ф (5), (!7) ех — е ер — а а,— е ах а„— а а,— а а! = ао' 3 2 (1 +»о) 1 2 (е) = тхр ! 2 Уз 1 угх трг ггх (18) (е) — (ф — 11 (Я.
!+» Е е! связаны однозначной зависимостью (рис. Ц а! = гр (а!). (13) Эта зависимость (обобщенная кри. вая деформироваиия) предполагается одинаковой длн любого напряженного состоя н и я. При растяжении стержня а„=ао; ар — — 0; а, =0; тх„=О; туг =- 0' тгх = 0; ех = ео' ер = — и ео', е,= — » еоу ухр —— 0; ур,—— — О; у„— -0 и нэ (12) получим где»* — коэффициент Пуассона в области упругопластических деформаций (» «»' «0,5).
Часто в практических расчетах принимают»' = 0,5, и тогда уравнение (13) представляет собой зависимость ао — еп при растяжении стержни. При упругих деформациях параметр пластичности ф = 1 и уравнения (8) совпадают с уравнениями упругости е е ! + » е„ вЂ” е = (а„ вЂ” а),..., 1, !+» — у' = — т,... (х, у, г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
