Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 96
Текст из файла (страница 96)
ф! — заранее выбранные функцнн, удовлетворяющие кннематнческнм граннчвыь< условиям. Неизвестные параметры А<, ВО С! определяются нэ системы линейных уравнений (! = 1, 2, ..., л) дФ дФ дФ вЂ” =О, — — О, — — О. (15) дВ; ' дА; ' дС! Для тел сложной конфигурация основная трудность состоит в выборе агпрокснмнрующнх функций.
Поэтому тело разбивают на малые, связанные между собой области, в пределах которых подбираются простые аппроксимирующее функцнн. По такому принципу строятся взрнэцнонно.разностные методы н метод конечных элементов. ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД Сущность метода лонсннм на прн. мере плоской задачн теории упругости прн отсутствии температурных н дополннтеньных деформаций.
Учитывая уравнение (6) н связь между деформациями н перемещениями и н р (соответственно в направлении осей д и у), можно записать Фа = ~ в) Фа! дЯ = == "~(~:)'+( )'1+ + в(® (~~)+ + — ( — + — ) ~йВ, (16) где для плоского напряженного состоя- ния коэффициенты Е . Еч в для плоской деформация А= Е 2 (! + т) (1 — 2р) Ер в=„ В равенстве (16) 5 — область тела (единичной толщнны) в плоскости х, у; Е 2(1+ о) Варнацнонное уравнение (1) при отсутствии массовых снл ©Ф = д (Фа — Фр) = в((1(в~( — ) ";( — ) ) 'У) (т)+ — (<в„,охая<в)=в. <в< с где Х„н ӄ— проекции на осн к н у компонентов внешней нагрузки на границе области с контуром Е. Длн получения приближенного решения уравйення (18) удобно контур области аппрокснмиронать хонечным числом прямолинейных отрезков.
Исследуемая область покрывается нерегулярной (нлн регулярной) сеткой, состоящей нз линий д = сопз( н у = = сопз1. Точкн пересечения прямоугольной сетки должны совпадать иа границах области с тачками на стрем ках, аппроксимирующих контуР (рнс. 1, а). Кроме того. на область наносят дополнительную сетку ', линии хата рой проходят посередине лнннй основ.
ной сетки. Точхн пересечения линяй Наносятся мтрняоаммн ливнями лана для лолуасаня раааостнма ураанснна. 481 Вариационно-ризностный метод к-< к ° < б б Рнс. <, Сеточная ра м г» пнестннкн дх основной сетки называют узлами. Подобласти, границы которых образованы контурными отрезками (линиями основной сетки) н линиямн дополнительной сетки, называют ячейками. При этом каждая ячейка (заштрихована иа рис, 1, б) содержит одну узловуюточку и может быть прямоугольником либо треугольником.
В качестве основных неизвестных принимаем смещения в узловых точи ах и,„и рт, где т — номер узла. Потенциальную энергию деформации каждой ячейки можно найти в пред. положении, что смещения точек между узлами изменяются линейно и их производные сстакггся постоянными в каждой ячейке. Используем конечно-разностные со. отношения для первых производных в точке т (см. рис. 1): ди и<, д.„— и<, д ди и<><, д — и<, д ду Дев где ! и д — соответственно номера Горизонтали и вертикали; дй и дл— х у шаги сетки (знаки «+» и « — > указывают, что соответствующие шаги приняты в направлении увеличения или уменьшения координаты). С учетом равенства (1б) получим приближенное выражение для потенциальной энергии элементарной ичейки 18 вака> «аг 1 с центральным узлом т (1, Д), см. рис.
1, б: Фв <и = Фв «, ю = =~А~( < д+', ' ) + ( р„,д о,д)г~ <2 2 < Д+ + ( "" '„. "' ' )'1+ + а("'дчл "') )х х (и и<>к д — и<, д ) +В ( и"+' "" ) Х Ь+ х ( '; ))"" д "д+ где ду — «вес> ячейки (<<1 = 1 — для ).й ячейки, целиком лен<вшей внутри области; 41 = 0,5 — то же для ячейки, примыкающей к косой границе (тре. угольной ячейки); 4< — — 0 — то же для ячейни вне области; 1 = 1, 2, ..., р— номер центрального узла. ' Закон>урные ячейки испол>>уюте» Лля еиинообратиого форчироваггня систеии уравнений на криволинейной гранина области 482 Численные методы расчета конструкций Влияние температуры учитывается введением в выражение (19) дополнительного слагаемого: Т 1 и!.ьаа кпь + 1 — 2ч ( Ь" огамь — опь ) + Так иак аппроксимации длн каждой ячейки имеют вид (19), то, суммируя потенциальную энергию деформации (19] па всем ячейкам сеточной области, получим соотношение для полной по.
тенциальной энергии деформации и Ф, = ~; Ф,<„, (20) /=! где р — число узлов на области. Вариация потенциальной энергии деформации ЬФе = — бпт + бот (21) дФе дФа дпт дот Потенциальная фуннция внешних сил Г Фр = ~, (Хань б)ь+ Уь ь й1ь! (22) ь=~ где Х» и УЬ вЂ” компоненты внешних снл, относящиеся и внешнему граничному узлу Ь; Ь = 1, 2, ...; г — номер граничного узла; б)ь — ллина элемента границы возле узла Ь.
Вариация потенциальной функции внешних сил ЬФр = — Ьит -(- бо,„. (23) дФр дФр дит дот Так как вариации Ьи н бе произвольны, то из условия (18) следует; дФ дФ вЂ” =-О, — =0 дит ' дот (т=1, 2,, р). (24) Величины и„, и от входят в соотношения (19) лишь для двеиадпати (из шестнадцати) ячеек, окружающих узел т. Поэтому, записав соотношения типа (19) для каждой из 12 нчеек, прилежащих к узлу т, продифференциро. вав их отдельно по ит и от и просуммировав полученные выражения са. гласно равенствам (21), с учетом равенств (22) и (23) получим два разрешающих уравнения, связывающих смещения и„, к от в узле т с неизвестными смещениями в восьми соседних узлах (см. рис. 1, б) и действую.
щнмн в них компонентами внешней нагрузки, Записывая разрешающие уравнения для всех узлов сеточной области, получим (р+ г) лкнейных алгебран. ческих уравнений; здесь р н г — число неизвестных смещений соответственно ит и аж*, которые можно представить в матричной форме (В) (и) = (Л), (23) где ( В) — симметричная, положнтель. но определенная матрица коэффипиентоз; (!/) — вектор-столбец с компонентами смещений и,„ и о„,; ()2)— известный вектор-столбец, хаоактерн. зующий внешние нагрузки. Система линейных алгебраических уравнений относительна смещений решается достаточно просто одним из известных методов.
Для получения единственного решении система до. полняется граничными условиями в перемещениях. В результате расчета при заданных нагрузках на контуре находят сме. щения во всех узлах сеточной области. Далее можно найти деформации и напряжения в каждом узле. Примеры расчета напряженного со. стояния в элементах конструкции ва. риационно-разностным методом приведены в гл.
23 и 29. Вывод разрешающих уравнений для пространственной задачи аналогичен приведенному. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В последние годы широкое распространение получил метод конечных элементов, который имеет те же принципиальные основы, что и вариапион- Числе иеиаиестина еиещеииЯ ит и е а общем случае мажет бить разлил.
т иым 1иаирииер, если иа адиля иа осей симметрии или и ааяелие и = О). т Метод конечных элементов 483 но.разиостный метод, но более прост при реализации на ЭВМ [3!. Лля расчета область расчленяют на конеч. иое число малых алел!ентов, обычно в виде треугольников для плоской задачи и многогранников для пространственной задачи (рнс. 2). В пределах элемента перенещеаия представляют с помощью суммы аппроксимиру. ющих функций. Например„ ч и(х, у, г] =- ~ о»с'»(х, у, г), (26] »=1 где (» (х, у, г) — заранее выбранные функции; о, — неизвестный параметр. Число параметров »' выбирается равным числу узлов элемента. что дает возможность выразить смещения как линейные фупкпии узловых смещений этого же элемента.
)(ля элемента в виде тетраэдра (см. рис. 2) принилают, что смещение пред. сгавлнет линейную функцию коор. динат и (х, у, г) = а, -1- а,х+ + азу + ачг. (27) Обозначая и (хс, ус, гс) =- иы о(хы ус, гс] = ос. 6» (хм ус, гс) =- я»с. Где ис, о„юс — компоненты смещения узла ( элемента и, накодим нз (27) вектор смещения для этого узла в виде д — О дх д — О ду д О дг О !Хз [0~ = д д д д дг ду д О дх (Хз ! = [Вп[ (32) 6Х4 и, ис Ус У»ч д дг 1ХЗ ЗХЗ [У! [Фп ЗХ1 !Х4 (28) 1б» Рчс. г. К»н»ччы» »л»м»чгы и(х, у, г) (и„) = о(х, у, г) ~ ю (х, у, г) [ф(ч!Ф(ч)Ф(п]Ф(чсз с С с с где Ф("с, ..., Ф(п! — квадратные ма- тРИЦЫ (ЗХЗ); УС, ..., Ут — ВЕКТОРЫ смещения четырех узлов тетраэдра 1, ),йт: и;= с;...; ит= (29) В более кратной форме равенство (28) можно записать с помощью матриц и векторов, содержащих блоки: зХ( зХз зХ( (ич) = [Ф„! (и„).
(ЗО] 1Хс 1Х4 4Х! Здесь и в некоторых случаях в даль- и йшем укззапы сислл строк и столбцов в блоке матрицы (верхние цифры) и числа строк и столбцов в самой матрице (нижние цифры). Если одна из пар цифр состоит из единиц (1Х(], то верхние и нижние цифры можно переставлять. При умножении матриц «внутренние» (обязательно попарно одинаковые] числа «поглощаютсн». После того как сформирована матрица аппроксимирующих фуниций [ич), вектор деформаций (3) можно записать с помощью матрицы диффе. ренцнрования !Хс (ХЗ ЗХЗ ЗХ! !ХЗ ЗХ( (Е) = [Р! [Фч! (Уч) =- (Вп! (Уп) 6Х( ЗХ( (Х4 4Х( 6Х4 4Х( (31] Числгнныс методы расчета конструкций 484 (ЗЗ) или л=1 где и Е =- Ру (Зб) В соответствии с законом упругости вектор напряжений [см.
уравнения (2) н (5)! 1Х1 1Х! Г 1ХЗ ЗХ1 (ол» =- [А! ~ [Вл! ([7л)— бХ! 6Х6 . бхай 4Х1 !Х1 !Х! ) — (иТ» — (ее) бх! бх! Для получения разре!пан>щей системы уравне1!ий используют начало возможных перемещений (длн всего тела), что обеспечивает выполнение условий равновесии 1Ц [й»' [и» йУ— — Ш (би»'(Р» йУ— — ~ ~ (йи)' (()) йВ = О, (341 — векторы внешних нагрузок (объемной и поверхностной), Проинтегрировав по всем элементам, будем иметь (Фе — число элементов] ~ ~ ~ ') (бгл)' (ол) йУ— л — ~) ~ (би„)' (Р) йУ— — Ц (бил)т (В! дв) =- О. (Зб) Зл'с~ l Последняй интеграл распространяется ча поверхности элемента, принадлежащие внешней поверхности те. ла; Лля всех внутренних элементов он обращается в нуль. У !итывая равенства (3!)), (3!) н (33), находим лэ Х 1 Ш ([В ! ( )!' [А! [В [ х 1 Ул х ((7.) йу — ~ Ц дв.! (3[7„))' х Х [А) ([аТ) + (ев)) йУ вЂ” Ц ([Р.! [б[.»)'(Р»йУ— — ([Ф.! нс„!) !с! ж ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
