Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 98
Текст из файла (страница 98)
0 0 0 где ( К»» К»е 1 ! — ч 2 1 — т 0 ! 2 ! 3 — » ! ! т 2 2 ! 1+я ! 2 1 — т 2 ((г") = Принимая ва внимание нраевые условия (((! = О, ((з = 0), запишем матрицы смешений и внешних сил Значения реакций Я») и (!ча) неизвестны. Однако благодаря нсполь. При т = 0,3 получим систему уравнений 1,35и»+ 0 о,— 0,35и»+ + 0,35о» = 0; 0 и, + 1,35о»+ Р + О,Зи» вЂ” 1.о» = — 1„82 —; Е' — 0,35и + О,Зо»+ + 1,35ие — 0,65ое — — 0; 0,35и» вЂ” 1 о» вЂ” 0,65ие+ + 1,35ое = О, откуда ъ»= — 3,385 —; о»= — 2чц —; Р, Р Е ' ' Е и» = 0,63 —; и» = — 0,49 —.
Р Р Е ' ' Е Для определения неизвестных реакпий О,ю Ц,е и Яа» 0»з слеаует ис. зованию краевых условий для перемещений ((г и (»з число уравнений уменьшается на 2, и единственное решение задачи получается путем евы. черкивания» 1-й и 3-й строк и таких же столбцов. Таким образом, для определения неизвестных смещений используем уравнения пользовать ссютветственно 1-е и 3-е матричные уравнения. Для данного примера разрешающую систему уран. пений можно получить значительно проще, путем подстановки функции и и о соотношения (51) в уравнение (18) н удовлетворения условий (24).
Однако для сложной задачи (с большим числам элементов) указанный алгоритм метода конечных элементов оказывается наиболее простым и универсальным, ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ Численные методы широко используются при расчетах собственных частот и форм колебании элементов конструкций, напряжений при установившихся вынужденных колебаниях, при исследованиях границ динамической устойчивости и при решении ряда д угих сложных проблем динамики.
нагие иэ таних методов, относя. шихся главным образам н стапионарным динамическим процессам, широко освещены в технической литературе !2 и др.). )хинаиичесние расчетам 491 ,-! ! 1=! (42 у=а тса ! а) !о а!о ба бтр, б,б ! с,р б) ~~ со -Е::Л- б„со.ст,ср, '„(о ь!' с! 5!' ь, б ь;„, ю„ р! ! р! ! б) Рнс. а. Раабаеаае старица аа элементы (о] а ааарааеан -анерцаооо е состоааае » е- ° маме а иоиентн ар»иена ! (б) а С + с, (а) а! =. от, р.
= ррр а-=ат, р, =ре ь (58) Зоны «возмущения» с параметрами (58) будут распространяться в глубь соответствующих элемевтов в соответствии с законами механики упру. гого тела со скоростью с, так что глу- Более сложными и менее разработанными являются методы расчета нестациоиарных задач для деформируемых нонструкций, в особенности при меняющихся граничных условиях (ударное и ьиброударное нагружения, переходы через резонансные состояния, динамика систем с зазорами и пере. меннымн точками контакта, воздействие движущихся нагрузок н пр.). К наиболее математически простым, а вместе с тем физически корректным методам численного анализа нестационарных явлений в континуальных одномерных системах относится разработанный в госледнне голы метен прямого математического моделирова.
иия (ПМ»4) на ЭВМ процессов распространения волн механических воз. мущений (напряжений, деформаций, скоростей и т. п.) [ 5). Его сущность изложим на примере расчета продольных волновых про. цессов в упругом стержне длиной настоянного поперечного сечения площадью Е, боковая поверхность которого свободна от нагрузок. Разобьем стержень на а равных элементов длиной Лх = (!и; номера элементов ( = 1, 2, ..., л, номера се. ченнй ! = 1,2, ...,а+ 1 (ри..
4, а). Пусть в момент времени ! каждый элемент имеет постоянные в его пределах продольную скорость (!о, напряжение а), н деформацию вдр причем о), —— = Ее),, где Š— модуль упругости материала (рис. 4, б). На границах смежных элементов эти параметры могут отличаться на произвольную величину (иметь <сильные» разрывы), которые, однако, в тот же момент времени 1 должны распасться, в результете чего напряжение на правой границе )-го элемента о+ станет равиым напряжению на левой границе () + 1)-го элемента о, ,; то же относится к границе )сго и (! — !)-го элементов и к скоростям: Чшхекнме методы расчета конструкций аУ =-.
0,5(а, о+ а,. -1- -грс(и/ецо и/о)); 0 5 (и/4 ь о+ ";о -г + (а/+!. о а/о)/Рс), (64) бина их проникновения эа время будет х, = с/„(рис. 4, в). Так, для правой границы /сга элемента получим следующие соотношения. Закон сохраненнн ими у л ь с а. Изменение количества движения/хкх (и - .
и,, ) массы Ррх долж. но быть равно импульсу постоянных снл (а+, -- о,. ) Г/, действующих на границах этой массы а течение времени 1„, откуда о' — о/о = Рс (и! — ";о) 159) Условие сплошп оста т е л а. Разность перемещений (и+— / — и/е) 1, границ зоны возмущения за время 1, должна быть равна ее абсолютному удлинению (г+ — е,.о) х откуда и+ и;о = с (а+! — е/о)- (60) 3 а к о н у п р у г о с т н. Изменение напряжений аз — и. связано с нз. / /о мененнем деформаций ег — е соот/ !о ношением а) — а/о —. Е (е~/ — е;о) (61) Выраження (59) — (61) удовлетворякпчя совместно толька прн Е Е с =- 4/ —, Р (62) что соответствует известной формуле распространения упругих воли в стержне.
Аналогично для левой границы (/+ + 11-го элемента а/ч.! а!.ьы о == Рс (и/ч ! — о/ .!, о) 163) н т.д. Решив уравнения (59) — (63) совместно прн учете первых двух условий (58), найдем значения напряжений н скоростей, распространяющихся в глубь /.го элемента от его границы с (/+ 1).м элементом: а! = 0 5 (а!-1, о+ а/о Рс (и!-1, о и/о)); и! — — 0,5 (и/-!,о+ и/о (а! — ц о а/о)!Рс). (65) Изменение параметров составит а/ а/о " и/ и/о По принцнпу суперпознцни линейных деформаций волны (64) н (65) распространяются независимо, поэтому этн соотношения будут справедливы в течение времени Л/ = Ах/с да встречи с протнвоаоложными границами элемента. В момент времени 1+ А/ во всем /чм элементе установятся новые напряжения а! ('+ А/) = а/о+ (т! — а/о) + + (а! а/о) = а/ + ау а/о (66) н скорости и! 11 -1 АП = и/о + (и/ и/о) + + (и/ и/о) = и! + и! — и/о (67) Формулы (64) — (67) образуют систему рекуррентных (повторяющнхся) соотношений, позволяющих по нзвестным в момент 1 значениям напряжений н скоростей в !-м н в двух соседних (/+ 1)-м н (! — 1).м элементах найти новые значения напряжений н ско.
ростей в !-м элементе для момента времени 1 + А/. Добавляя условия на внешних границах стержня (задан. ные напряжения, скорости, перемещения) н последовательно решая этн системы для всех элементов с шагам по временн А/= бх/с, получим точ. ную н исчерпывающую картину дн. комического процесса в стержне прн самых произвольных условиях яагруження. В более общих постановках задачи произвольно меняющнеся по времени нагрузки аппрокснмнруются ступен. чатымн функциями с постоянными в пределах 61 значениями. Распределенные по длине стержня нагрузки т. е. напряженне н скорость изменятся на а+ — а н и+ — и / /о / /о' Аналогично для левой граннцы /-го элемента Цинамичесяие расчеты 493 уе Р г=/ /=г о/ усссус о, Нес ус / 1 г з Л) р/21~/+Аы"/йц о ф р/' Р/"/ ~ (л//ям о л//и) + '/, /л = о/й~ (68) рте/ЫР,Ы 1- р/с/Р/ считаются приложенными на гоаннпох элементов асечеииях/(Р/ /я~). В число апешних снл могут нключаться силы среиия.
неиэзестные силы реакции и прочно. Стержни переменного сечения представляются ступенчатыми с постоянными з пределах элементов пло. щадями Г/. Если Е и р ментстся по длине стержня, он разбнаается иа элементы разной длины так, чтобы их длины Лх/ удоалетнорялн условию Лх =с/Л/, где с/= )ЛЕ//р/ при ЛЛ одинаковом для всего стержня. При этом з пределах /-го элемента принимается Е/ =- сопз1, р/ = сопя!. При уменьшенйи отрезков аремень ЛЛ а следовательно, и Лх/ принятые усло. зия поззолнют воспроизводить переменные характеристики с необходимой точностью.
Так как при принятых допущениях соотношения (64) — (67) являются точными, то процесс расчета абсолютно устойчиа прн любом числе элементов н нременных этапов, /(ля общего случая заннсимости типа (64), (65) можно объединить, за. писан их для упругого стержня а виде где Л//о — и/ор/ Л//я~ зев п/йс. ор/хп Напряжения определяются затем по формулам (59) нли (бс) Условия рааноаесия иа границах элементов /У/ — — Л//х, ~ Р/ / м (69) Если раею — перемещение границы /-го элемента а начале этапа, то а конце его рь (/ 1-ЛЕ) =- уж~+ ох ЛГ. (70] — '/о Пример. Упругий стержень лли. ной 2/ и площадью поперечного сечения Е ударяет со скоростью со но упругому стержню длиной / и пло.
щадью 2Р из того же материала. имеющему такую же астречиую ско. рость — и, (рис. 5, а). Определим ско. рость отскока ио„„„при упругом ударе и изучим динамическую картину соударения, Рве Ъ К Расчету соудазеввв двух стеам- веа Так как массы и скорости стержней равны. то по элементарной теории соударення упругих тел они разлетятся с той же скоростью ооесна = = †ооссне =- о,. Однако дейстзительная картина удара из-эа разной конфигурации стержней будет иной.
Предстания ).й стержень н виде двух элементов, 2-й — а виде одного элемента длиной Лх, = Лхе = Лхо =- Начальные условия (з момент начала контакта). и„, = п,о —— - пы = 0' ото = ом =- оо; ом =. — ио Гра ннчные условия: а, = 0; о' = О. При контакте стержней и+ == а, О, после отскока и+,.= пй =- О. Первый шаг по времени / =- 1, г, =- Л/ =- Лх/с = = //с; с= )/Е/р. Первый о сгмонт левая граница, формула (63): о; = о„ вЂ” (а, — п,о)/Рс =- оо/ п~ = О' 494 Численные методы расчете конструкций а, (1+5() =ар+ар — а,о — 0; и, (1+ йП = и+, + , -— и, = иго Второй элемент леваЯ гРаница, иу = и+ = ио, а- = ! = а+=О. правая граница, формула (58) при Рэ = Р, Ре = 2Р, Рэ,з = 0 Гэизо+ Рос'.о+ (Ронге — Ргаао)/Рс 2 1'э -1 Рэ — 2+ 1 3 1 ио о =' 3 4 ау = аеоц- Рс (оф — иго) = — РсиоС 3 ( 0 есть контаит Новые значения аг(1 -Г Лгг = ау -1- ай — аэо = 4 Рсоо 3 1 иг (1+ 11 =- иф г ир ито = ио Третий элемент, левая граница.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
