Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 76
Текст из файла (страница 76)
щающейся внутри циляндрического со. суда, стенна которого совпадает с контуром сечения вала. Эта аналогия позволяет сделать ряд практическя важных аыаодои (рис. 7). 1. Во всех входящих углах (рис. 7, а) образуется концентрация напряжений. Если радиус закругления вершин аходящего угла стремится к нулю, то касательное напряжение стремятся к бесконечности. 2. Во зпешних гыступах (рнс.
7, б) касательные напряжения умепашаюпсся (по гидродинамяческой аналогии здесь образуются застойные зоны с малой скоростью течения). По мембранной апалпгаи касательное напряжение пропорционально уклону резиновой пленки, закрепленной При кручении круглого вала картина деформаций остается такой же, кан н при упругих деформациях. Из опытоа на кручение тонкостенных труб получена зааиснмость (рис. 8) т = 07 (Т). (20) Для приближенного построения мож.
но использоаать обычную кривую деформирования (а, а), положив т = = а! у'3, у = )'Зе. Расчетную зависимость т = 07 (у) ча сто принимают и виде диаграммы, показанной на рис. 9. Допустим, что до радиуса г, (рнс. 10, а) материал вала работает и упругой области. Тогда на участке ! (область упругости) т = т,гугг, на участке 7! (область пластячности) т =- т,. Крутящий момент ТГьгг1чпп1п1 гшгджпп 359 б) Рпс. 1О.
Распредеаенне касатеааимк напра- менна прн упругопаастнческна деформацник: Из этого равенства „= 'фяа бМ„ птт Предельное значение Мн, соответствующее работе стержня целиком в пластической областк (гт = О]: Мнт = — пй тт. (23] 2 3 2п)(аР (Ун) = Мго (26) где Распределение напряжений в этом случае показано на рис. 10, б. Для угла сдвига справедлива зависимость у= Ог. Для радкуса гт Т, = — "=0., 1 В силу соотношения (22) Из формулы (25) следует, что при приближении велкчины М„к М„т деформация вала сильно возрастает.
Если исходить из точной кривой деформирования т = Ф (Т] (см. рнс, 3), Рнс, 8. Диаграмма деформировани» Рнс. э, диаграмма деформнро- ванин аеа упрочиенни то значение угла сдвига на внешнем радиусе можно определить из соот- ношения 1 Р(ун) = а 1 Ф(7)у'ДТ. ун О Функцию Р (ун) вычислнют, задаваясь различными значениями ун, и затем строят зависимость М„=- = Мк (ун) (рис. 11). Искомое значение ун соотаетсшует заданному крутящему моменту. Расчет следует начинать при ун -в ~ тт16, так как зто соотэетствует началу пластичности в точках внешнего контура.
ТРУБЧАТЫЕ СТЕРЖНИ При расчете трубчатых тонкостенных стержней на кручение предполагают, что вектор касательного напряжения парагглелен касательной к сред. ргис. !1. Зависимость М М 350 Кручение стержней Так как раз = 2ййю где йгс — площадь заштрихованного на рнс. ! 4 сектора, то Р йз 2го где г — площкаь, ограниченная средней линией сечения трубы. Из равенства (28) вытекает формула Бредша г (з) = " .
(29) 26(з) го Рнс. !3. Касательные иапрямение пря кручении трубчатого ссср« ня ней линии контура а напрюкення распределяются равномерно по тол. шине стенки (рис. !2). Из условия равновесия элемента стержня, показанного на рис. (3„ следует; Жесткость стержня при кручении. Потенциальная энергия деформации стержня ! о М'„6 (з) 2 Д Д 406т (з) гз о о где ! — длина стержня; Š— длина дуги средней линии (периметр). Отсюда получаем Ц = 30„", ~3 М . (30) о Из равенства работ 0,5Мнф (!) = У, откуда угол поворота ')4 к! ф (!) Бт ° 6 с = б,тл, или 6 (з) т (з) =- сопя!.
(27) Сумма моментов всех касательных напряжений относительно оси, проходящей через произвольную точку сечения (рис. ! 4), равна ) рт (з) 6 (з) йэ, где р — длина перпендикуляра, опу. щенного нз точки 0 на касательную к контуру. Интеграл берется по всей длине Л контура Приравнивая этот суммарный момент внешнему крутящему моменту, в соответствии с равенством (27) по. лучим М,с = т(з) 6 (з) ~ рис. (28) тг Рнс.
Ы, К ппрелелеиию иесткостн стериия иа кру- чение Рис. !3. Раеиоаесие ллеиеита стерн~ и Рис. сз. стериеиь коробчатого сечении Плоская деформация жгмц 361 дз где Т = 4Рз ( — геоманРиче- с ! л б (з) о Например, для круглой трубы ра- диусом г с толщиной стенки 6 4н'г'6 Т = —, .= 2ягеб) 2 скпя ясеппяоапе сечения стержни при кручении. Дли трубы с постоинной толщиной стенки 4Рсб Т= дли трубы коробчатого профили по. стояниой толщины (рис. 15) 4азб Т = „ = а'б. яа Глада лУ РАСЧЕТ КОЛЕЦ ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КОЛЕЦ изгибающий момент. Пренебрегая влиинием нормальных и перерезываю. щих сил на деформацию, можно тапи.
сать с помощью интеграла Мора обобщенное перемещение Зяс. !. Стзтячесае епредезммзе система н зоюры изгибавших момеетое ет змеыммз нагРузок и едмнячмыя сизовых фзатоаоз Предполагается, что одна иэ глав. иых осей сечении лежит в плоскости кольца.
В этой же плоскости действуют внешние нагрузки. Замкнутое кольцо при действии ярямоугольной нагрузки ивлиетси 3 раза статически неопределимым. При расчете на прочность тонкого кольца можно считать справедливыми зависимости, установленные в теории прямолинейных стержней.
Основную (статически определимую) систему получим, разрезая кольцо в некотором сечении 8 = 0 (рис. 1). Неизвестные силовые факторы в сечении обоэилчимг Х, — растигивающая (сжимающая) сила; Хт — перерезывающая сила; Хз— где Л1р — изгибающий момент в сечении кольца (в основной системс) от действия внешних яагр)зок; М,— изгибающий момент в сечении кольца от единичной нагрузки; Ео' — жесткость сечении на изгиб. Для решения задачи в соответствии с равенством (1) следует опредечить изгибающие моменты от единичных 362 Расчет колец силовых факторов, приложенных в направлении Х,, Хм Хз Из условия рзвеиства нулю относительных перемещений получаем сне«ему (канонических) уравнений: 6ыХ<+ быХ,+ 6,»Х,+ 6<р = О; (2) блХ,+ 6„Х,+ 6»зХ»+ 62р= О; (3) 6»<Х»+ 6иХз+ бтХ»+ 6«р = О (4) Коэффициенты, входящие в последние уравнения, называют коэффициентами влияние. Каждый из этих коэффициентов получается в результате умножения эпюр, указанных виден.
сами коэффициентов. Используя свойства симметричности и кососимметричности эпюр, легко установить, что 6<»= бы= О; 6»»= 6»»= О. Далее имеем (0) = — а! ИРбВ) Г Ев' о здесь Мр — изгибающий момент в сечении В в эпюре Р, т. е. момент ог внешних сил в разрезанном кольце. Из уравнения (3) находим б,р 6,2 ' а из уравнений быХ, + 6,»Х, + б,р = О; 6„Х,+6„Х,+6, = О следует: Х 6ыбз, — 6„6«з 6, рбю — вербы Хз = бпбзз 6<»6»< Перейдем к вычислению коэффициентов влияния.
Изгнбающий момент е эпюре «Г» И,ы, (О) = 1 Р (1 — сов 8). Момент считают аоложительным, вски он уменьшает кривизну стержня (см. рис. !). Изгибающие моменты в эпюрах «2» и «3» М<ю(0)= 1Лз)ивМ<з)(8)1 Для кольца постоянного сечения: 2л 1 6„= Еу ~ И; „,РбВ = о )<з Г Зл)2» — (1 — соэ 0)з <(В = — ," Е«' а Е! о гл ! <з = ЕГ ~ '1«<)И«з)Рбв = о 2л Р' Г 2луз — (! — соэ 8) <Гв = ЕУ,) Е«' о 2л 1 бт = — ) Мз <з)Я <зв = о гл оз,л)зз Е«' — ып'8<ГВ =— о 1 6»з= ЕГ ) М«»Фбв= о 2л йз г 2 ил г нВ Ев' ) Ез о ! Г 6<р — — — ) М М Я<(В Еу3 ' ' )1)) о Г<з à — М р (1 — соз 8) <!О; Е«' о 2л 1 б,р= Еу ') М,М) 12)Рбв о гл Рз Г = — а! И, Вбв; ЕУ 3 о 2л 1 бзр — ЕГ ) М М) 12))<а<8 = о ЗОЗ Плоская деформация колец руееете Разреза езе раерееа а) д) д) Рнс.
2. Снмметрнчнан (а, 61 н кососнмметрнчнан (а1 нагрузка на кольцо 1 Хв= ~ Мр(О)де— 2л о 2н 1 — — Мр (8) соз В дв. (10) о Теперь подставляи эти значении в равенства (5) — (7), получаем 1 Х, = — Р ~ Мз (О) соз 9 ЫВ( (8) о 2л 1 Хз = — — ~ М р (О) щп В дв( (9) лР о Изгибающий момент в сечении В и (о) = м р (9) + х Р (!в — соз О) + Хз)( зщ В + Х, или с учетом равенств (8) — (рв) 2п 1 М(В).=М,(Е) — —,~ М,(0)де— о соз В г ) Мр (8) соз В дев о гл з(не à — — Мр(О) Мпвс(0. (11) о Для вычислении изгибающего момента в сечении кольца следует определить изгибающий момент в разрезан. ном кольце Мр (О) и вычислить интегралы, входящие в равенство (11) ".
При вычислении интегралов можно пользоваться приближенными методами, например правилом трапеций. Угол О отсчитывают от произвольного сечения разреза (О = О). Если внешние нагрузки имеют ось симметрии, то разрез целесообразно делать по этой оси (рис. 2, а, б). Для симметрично нагруженного кольца и (в) = м„(е)— 2 сок В мр (0), е дев о л ! ) Мр (8) с(В. (12) о При кососимметричиой нагрузке (рис. 2, в) и (в) = м„(в)— 2 щи 0 à — ~ М,(Е)мпедв. (!З) о Пример. Кольцо нагружено двуми сосредоточенными силами (рис.
3). Разрез проводим по оси симметрии, разделяя нагрузку поровну по краям разреза, в результате получим Р Мр[8) = — — 21пВ. 2 ' момент в сеченнн кольца равен моменту в разрезанном «ельне за вычетом трех верных членов разложеннн етого момента в рнл Фурье. Расчет колец 304 УйтРст Рнс.
з. ковьца под деаствнем двук сасредаточенныв спв а) Рпс. 4. Кольца пад деяствнем двух сасредотосеннык моментов Находим Вычисляем МР(0) бб = О и Рй à — — в!п 8с(0 = — Р!с; 2 О Мр (О) соз 0 00 = О. о Из равенства (12) следует: 1 1 М (8) = РР ~ — — — мп 8) . 'чя 2 При 8 = О имеем М (0) = — Рй = 0,810РР. 1 При 8 = и!2 М( — ")=( ! — — ') РР= = — О, !02Р!с. Пример. Кольцо нагружено двумя сосредоточенными моментами (рис.
4). В этом случае (рис. 4, о) МР (О) = О при 0(8 (а; М р (О) = — М при а (~ 0 <~ и. ~ М Р (О) с(8 = — ~ М с(8 = О О = — М (и — а); МР(0) Обб = О = — М ~ сов 8 Нб = М Мп а. О Пользуясь равенством (12), находим М М(0) =Мр(0)+ — (и- )— 2 сов 8 — М юла. Приб(а а 2 М (О) = М (1 — — — — в!пасоэа), При 0> а М(8) = — М х г а 2 Х !Ч вЂ” + — з1п а соз а) .
'чл и Расчетные формулы для некоторых случаев нагрузки колец даны в табл. 1. Эпюра изгибающих моментов приведена иа рис. 4, 6. ге досдал дефоржа((ид яоллб 365 1. формулы длк рвсчетв колец О б о в и а ч е н и я: М (9) — изгибающий момент в сечении «ольцв; положительное исправление моменте принято, «ви укввано иа рисунке; 9 — текущцй угол (а,  — фиксированные углы, определяющие положение действующей ивгрувкн); 6». 62 — ивмемеиия диаметре кольце в явправлениях» и р; у — момент инерции сечения: Š— модуль упругости. Эпюры нвгибвющих моментов двиы для значений а. уквввнвмх нв вскяввх Эпюры ивгибвющих моментов Рвсчетиые формулы Прн 0 цб <а ( а сов ( — — ВЬ м (в) г( а а 2 в!!)в Р г а Г( (9) =— сов ! — — 9), а ( 2 2 3!ив 2 2и где а = — рвд (л — число сосредоточенных сил). п Перемещение точки приложения снлм относительно центра кольце 4 + — в)па + 2 2 Рг' ы 2 Кольцо под действием сосредоточеииык одиявковых рвдивльиых сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
