Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 74
Текст из файла (страница 74)
21) дни= ~ М,( )йн= О = ~ Мс(г) — йг. йр йг О Приравнивая работы внешних н внутренних снл, получаем ! у (а) х 1 = ~ Мс (г) — йг. (40) йф йг О Уравнение (40) должно быть справедливым для произвольного (малого) прогиба стержня. Предположим теперь, что в качестве у рассматриваетск прогиб от внешней нагрузки. Тогда йф М (г) йг Ел'х (г) где М (г) — изгибающий момент в сечении от действия внешней нагрузки. Подставляя отсюда значеиие— йр йг в соотношение (40), получаем основную расчетную формулу (интвграл Мора) у(а) = ~ йг. (4!) Г М,(г) М(г) Ели (г) О Следовательно, чтобы найти прогиб в данном сечении стержня, надо при. пожить единичную силу в этом се. ченни, определить изгибающий момент Мс (г) от единичной силы и вычислить интеграл (41). Величина М,(г) в Н сы!Н, так как в равенстве (41) сокращен мноиснтель 1 Н.
Единичный силовой фактор при использовании интеграла Мора сле- Рис. гм Работа инусрениик снлоны» факторов Оаргдглгниг нрогибоз с помощью интеграла Моро М, (г) М (г) Ез (г) о дует считать безразмерной гели«иной (момент от единичной силы имеет размерность длины). В большинстве практических задач интеграл Мора определяют с помощью правила Верещагина (см. ниже). В общем случае интеграл Мора может быть вычислен по правилу трапеций. Равенство (41) справедливо и для упругапластических деформаций, если соответствующим образом опреде. йр лить — . йг Если требуется учесть влияние перерезывающей силы иа прогиб, то уравнение (40) будет иметь вид у (а) = ) Мг(г) — йг + йр йг о +) О,(г) уйг, (42) о где у = йО (г)/ОЕ (г) — угол сдвига [см. формулу (32)), О, (г) — перерезываюшая сила в сечении от действия единичной силы Вместо равенства (4Ц будем иметь 40, (г) О (г) йг.
(43) о Второй член в этой формуле выражает прогиб от действия перерезывающей силы. Преимущества определения перемещения с помощью интеграла Мора особенно сказываются для стержней с непрямолинейной осью. Пусть, например, требуетсн найти проекцию перемещения точки А (рис. 22) на направление / †', причем следует учесть влияние изгибающих моментов, перерезываю2пих и нормальных снл.
Повторяя предыдущие рассуждения, найдем проекцию перемещения точки Рнс. 22. Изгиб Г-образ«ого стсР«аа прнложеияя единичной силы на ее направление: б = ~ — йз+й ~ — йз+ г М М г ОгО ЕУ 1 ОЕ + ~ йэ, (44) о где Мы Ям Мг — изгибающий момент, перерезывающая и нормальная силы в сечении стержни от действия единичной силы, М, О, Дà — то же в поперечном сечении от действия внешних снл. Интегрирование распростраи нется иа всю длину осн стержня, элемент длины обозначается йг. Определение углов поворота. Формула для определения углов поворота выводится так же, как соотношение (44). В сечении, где определяют угол поворота, прикладывают единичный момент [рнс. 23).
Работа момента будет ~р (а) Х П В соответствии с этим М, (г) М (г) <р(а) = ~ йг. (45) « (г) о В этом равенстве М, (г) — изгибающий момент в сечевйи стержня от действия единичного момента. 348 Изгиб стержней Рне. 22. Работа ехннненого момента Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина. Изгибающий момент ат внешней нагрузки и изгибающий момент от единичной силы (момента) определяют по одному правилу знаков (например, момент считают положительным, если ои создает сжатие верхнего волокна).
Если прн вычислении интеграла (41) илн (45) получается отрицательная величина, зто означает, что действительный прогиб нлн угол поворота сечения направлен в сторону, противоположную направлению соответственно единичной силы илн единичного момента. Зпюра изгибающих моментов от единичной силы илн единичиога момента состоит из отрезков прямых. Рассмотрим участок стержня в пределах от г, до ге (рис. 24). Предположим, что изгибающий момент от единичной нагрузки выражается равенством М, (г) = Аг+ В, (46) где А н  — некоторые числа. Тогда интеграл Мора иа рассматриваемом участке Мт (7) М (г) Ев'н (г) гв — (Аг+ В) йг. М (7) Еун (7) Рне. 24.
К ныеоду нвеннна Верещевнне Предположим, что жесткость стерж- ня на нагиб в пределах участка по- стоянна, и учтем, чта гв ~ М (7) йг = Е, в, где Š— плошадь эпюры изгибающих моментов от внешних сил. Тогда вв Мв (7) М (7) Еун (7) вв 1 — ~е в* в в в ~ . гв (47) )Талое следует прннить во внимание, что гМ (7) йг = гцр, (48) вв так как интеграл представляет собой статический момент площади Е, а гц— абсцисса центра тяжести плошади Е.
Формула (48) справедлива в том случае, когда величина Е имеет постоянный знак в пределах участка. Используя соотношение (48), получим из равенства (47) гв Мт(г) М (г) Ев „(г) в, Е ЕМ,„ Ев'н Еу„ = — (Аг + В) = — ' . (49) Определение пронибон е помощью интеграла Мора а) Рис. 2$. Ограниченна для применения праннаа Верещагима Абсцисса центре тяжести Пло- щадь Эпюра 1 — ! з 1 — М1 2 М, (г) М (г) Р,Мц Еух (г) Еух (50) 1 — 1 е — М! з где М,ц — момент от единичной нагр зки в сечении гц. едовательно, интеграл Мора в пределах участка равен произведению площади эпюры моментов от внешних снл на ордннату эпюры ат единичной нагрузки в сечении, соответствующем центру тяжести этой площади, делен- наму на жесткость стержня на изгиб (пролило Верещагина).
1. Паощадь и поаожение центра тяжести епюр Ограничения для применения правила Верещагина. !. Зпюра изгибагащега момента от единичной нагрузки должна быть в виде одной прямой линии. На рис. 25, и показан случай, когда это условие ие соблюдается. Интеграл необходима вычислять отдельно для участков ! н П. 2. Изгибающий момент от внешней нагрузки в пределах участка должен иметь одни знак. На рис.
25, б показан случай, когда правило Верещагина следует применять для каждого из двух участков в отдельности. Ограничение не распространяется на момент от единичной нагрузки. 5. Жесткость стержня на изгиб в пределах участка должна быть постоянна. На рис. 25, в приведен случай, когда интеграл нужно вычислить отдельно для участков 1 и П. Вспомогательные данные для применения правила Верещагина приведены в табл.
1. Если эпюра ат внешних силовых факторов на данном участке является линейной (например, прн действии сосредоточенных сил и моментов), то равенство (46)можно использовать для момента М (г) и тогда, повторяя вывод, найдем яс где рт — площадь эпюры моментов от единичной нагрузки; Мц — ордината эпюры моментов от внешйих нагрузок в сечении, соответствующем центру тяжести площади эпюры моментов от 350 Изгиб аиержней Ра~ а "Ь аЬ аоЬ М (0) М, (0) 2Е/ (0) единичной нагрузки. Все ограничения, указанные выше для формулы (49), соответствующим образам переносятся на формулу (50).
ПРОГИБЫ И УГЛЫ ПОВОРОТА В СТЕРЖНЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ Если стержень имеет небольшое число участков с различной жесткостью, то при определении прогябов н углов поворота можно применять правило Верещагина. Пример. Опрелелнть прогиб стержня в точке А (рнс. 26). Вычисляя интеграл Мора для участков, находим 1 1 РаЬ 2 аЬ р — а + Еуг 2 а+Ь 3 а-1-Ь 1 1 Раз 2 аЬ + о Ь— Еу» 2 а+Ь 3 а+Ь Ра»Ь» г' а Ь 3Е(а+Ь)' Ч 72 72 ) Если жесткости на изгиб участков 7 и 77 одинаковы (Еуг = Еуз = Еу), то Ра'Ь' ЪЕ7 (а+ 5) ' Табличный метод расчеса.
Прн боль. шем числе участков различной жесткости целесообразно применить табличный метод расчета непосредственно по формулам (4!) н (45). Интеграл вычнслиют приближенным методом по правилу трапеций. Последователь. ность расчета показана на следующем примере, Пример. Определить угол поворота вала в сечении А (в месте посадки зубчатого колеса). Размеры вала в мм показаны на рис. 27. Силы Р, = 25 кН, Р, = 40 кН. Модуль упругости материала Е = 2,1 !0'МПа(2,1 1О' Н/см»).
Реакции определяем нз условия ра. вепства нулю моментов всех снл относительно левой эпюры: 105 55 )74 = 25 — -1- 40 — = 25,4 кН; 190 !90 )72 = 39,6 кН. Лля расчета все расстояния между опорнымн сечениями делим на 10 рав- Рпо. 24. Опрглоооппо прогна» сторм»» переменного го»»оп» ных участков длиной 5 = 1,9 см каждый. Составляем расчетную таблицу (табл. 2), Интеграл Мора по правилу трапеций будет иметь внд М (г) М (г) Ф= Е (г) Х йг = а + 'цз М (гг) М,(г4) М(1)М (1)~1 Еу (г!) 2Е/(1) / = 4=1 = 1,9 [Π— 0,52 — 0,79 — 1,19— — 1,15 — 1,43 + 1,02 + 0,57 + ! 0 35 + 0 11 + 0) 10-4 = — 5,9 10 4 рад.
Угол поворота сечения ф = — 5,8.10 4 — оо — 0'2'. 360 2п Знак минус означает, что угол поворота направлен в обратную сторону по отношению к единичному моменту. Зб! Изгиб оиержня с учетом пластических деформаций Ргм збял Рлс. 27. Определение угла поворота сгерияя переменного сеченн» 2. Расчегнла таблица дли определено» угла яоаороеп сечения вала Зиачепне параметров в сечениях Параметр 6 ~ 7 10 !9,0 20,! 0 !5,2 17,1 4,6 4 6 26,! 20 ! 9,6 4,6 11,4 13 3 52 эе 35,9 35,9 19.2 !4 4 9,5 5.2 35 9 21 6 7,6 5.2 35.9 21,7 5,7 4,6 26,1 21.7 4,5 20,1 21,9 3,6 4.З 26,1 2!ж О 4,5 20.1 22 6,2 0,1 0.36 0,11 — 0,5 0,4 0,3 — 1,43 1,02 0,57 — О.
4 — 1.15 — 0,3 — О,! — 0,2 — 0.52 --0,79 — 1,19 ИЗГИБ СТЕРЖНЯ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ В основе расчета лежит крявая деформирования (рис. 28), предсгавляюжая собой зависимость а = / (е), устанавливаемую из опытов на растая!ение. Дли конструкционных сталей ота аа- л, см Л, см ух, см' М ° 10-'. Н см 54ю — ' 10', см-' Еу висимость имеет такой же вид и при сжатии. Для расчета обычно испольэуки: схематизированную диаграмму деформировэния, показанную на рис. 29, Первая прямая соответствует упру.
гим деформациям ((ба = Е); вторая прямая проходит через точки, соот- Изгиб гшерэенай Рве. Зв. Кревае деформнроваянн бее Гпроенення Если изгибающий момент таков, что наибольшее напряжение изгиба а ( ( ат (рис. 32), то стержень работает в области упругой деформации 6М аж,„= —, ( а„. ЬН2 Рве. 28. Диаграмма дсформнрованн» вЂ” атЬНс — Дг . 1 (5!) Рнс.
22. Схематнэнр ванная хрнвая дс- Рнс. 3!. Крнвэя дсформвровавнв прн больформнровання мнх пластнчесхнх деформанннх встствующие пределу текучести и преав — ат делу прочности 15 а, = в т. Угол ев — е, ' наклона аэ значительно меньше угла и (15 сх, = 0,01 !И а), и для расчета вторая прямая иногда представляется горизонтальной лияией, как показано на рис. 30 (кривая деформнрования беэ упрочнення). Наконец, если рассматриваются значительные пластичеснне деформации, то участками кривых, соответствующих упругому леформированию, в практических расчетах можно пренебречь. Тогда схематизированные кривые деформнроваыия имеют вид, показанный на рнс.
3! Распределение напряжений изгиба прн упругопластических деформациях. а(ля упрощения задачи рассмотрим стержень прямоугольного сечения и предположим, что нрнвая деформировання не имеет упрочиения (см. рнс. 30). При дальнейшем возрастании иэги. бающего момента в крайних волокнах стержне возникают пластические деформации. Пусть орн данном значении пластическими деформациями охвачена область от 0,5Н, до 0,5Н (рис. 32). В этой области а = ат, При р ( < 0,5Н, напряжения изменяются по линейному закону а = а 2у/Но Из условия равновесии момент вну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
