Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 72
Текст из файла (страница 72)
2, Опрсделсиие итгибающег момента И персрезыеьющеа силы ряс. 3, условия рав овесия злемсята гтсржив е. 4. Опорные закрепления стсржя»в в — мареков,вв подеижчвя опор,в й— ариирвзя иеподвижпая опора в " за дслка Рис. 6. Примеры закрепления балок вия равновесия, поэтому опоры балки при статически определимом ее закреплении не должны создавать более трех неизвестных силовых факторов. Типичные случаи опорного закрепления стержня (балки) показаны на рис.
4. Шарнирная аодаихная опара может передать вертикальное усилие, шарнирная неподвижнал адара — вертикальное и горизонтальное усилия, за. дедка — вертикальное и горизонтальное усилия, а таквке момент. Следовательно, балки, показанные на рис. 5, а, являются статически определимыми, а на рис. 5, б — статически неопределимыми. Как правило, использование статически неопределимого закрепления следует избегать. Эпюры изгибающих моментов. Эпюры представляют собой графическое изображение распределения нагибаю. щнх моментов по длине балки (рис.
5). Эпюры обладают следующими свой. ствами: а) если к балке приложены сосредоточенные силы или моменты, то зпюра состоит только из прямолинейных участков; б) в сечении, где приложен внешний момент, зпюра изгибающих моментов имеет скачок, равный по величине приложенному моменту. Изгиб виерзсней ЗЗБ уа' Рзс. З. Зоюрм изгибающих момемтоз о в 1 Е НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМА((ИИ ПРИ ИЗГИБЕ В основе технической теории изгиба лежит гилогиеэа ллоскиг сечений: точки поперечного сечения после деформации лежат в одной плоскости.
Принятая гипотеза подтверждается экспериментом. Относительные удлинения волокон при изгибе, Рассмотрим плоский изгиб стержня. Выбранная система координат показана на рис. 7. Ось г направлена вдоль оси стержня, ось у лежит в плоскости изгиба. то ча О совпадает с центром тяжести сечения. В силу гипотезы плоских сечений можно считать, что сечение стержня гзс, т Изгиб стержни получает поворот вокруг оси к на угол ф и осевое смешение во вместе с началом координат (точкой 0). Величины ф и вз изменяются по длине стержня. Удлинение волокна стержня, находящегося на расстоянии у от плоскости гг (рис. Б), будет А*Б* — АБ АБ Ллииа отрезка АБ равна йг. Огре.
зок А'Б' = йг+ во+ йво — у (ф + + йф) — вз+ у йф = с(г+ йвз — у йф. Следовательно, "во "ф йф и — — у — = ез — у — ~ аг аг с(г (2) где ео — удлинение волокна стержня. совпадающего с осью г. Пля упрощения вывода ие рассма. тривались смещения сечений по оси у (вертикальные прогибы), так как они (в пределах малых деформаций) ие влияют иа удлинение отрезка АБ. Нормальные напряжения при изгибе. В соответствии с законом упругости Напряжения и дегйормации при изгибе 337 оуйу = — и .
Ъ Рве. 8. Дебормаивв пвн вьгнбе где о — напряжение в плоскости поперечного сечения стержня (напряжение вдоль волокон); Š— модуль упругости материала. Напряжениями, действующими нз боковые поверхности волокон, пренебрегаем . Из уравнений (2) и (3) следтет. о=Е ~вь — у — ). (4) йр се )' Так как внешняя сила вдоль оси к отсутствует, то из условия равновесия (рнс. 9) следует где интеграл распространяется на всю площадь поперечного сечения.
Подставляя значение о из равенства (4) и предполагая модуль упругости постоянным, найдем Е ~ (ц — у "" ) бр=о. Р Так как )' уйЕ = О как статиче. Р скнй момент относительно прямой, проходящей через центр тяжести, то еь — — С. Момент, создаваемый напряжениями о, должен быть равен Направление момента М„ показано иа рис. 9. Подставляя значение из Рвс, З. Иаарямеввя вэгвбв равенства (4) и учитывая, что ез — — О, находим Š—, ~ уз йу = М . йр Величину ) уьйЕ=У» р называют моменпюм инерции сечения относительно оси к, Следовательно, йф Мя Еле (6) Внося зто значение в равенство (4), получаем основную расчетную формулу о= — — у Мх (7) 1„ Знак минус в формуле(7) необходим для согласования правила знаков, принятых для момента М„ (положи. тельно направленный момент вызывает сжатие в верхних волокнах), для напряжения о [положительная величина соответствует растяжению) и величины у (положительное направление принято вертикально вверх).
В точках плоскости кг (для этих точек у = О) напряжение изгиба от. сутствует, и зту плоскость называют нейтральной. Ось к, проходящую через центр тяжести сечения и перпендикулярную к плоскости изгиба, называют нейтральной линией. Распределение напряжений изгиба по поперечному сечению вдоль пря- Изеиб стержней Р»с. 1Е. Раслреаелее»е иаир»мех»я »агнес ае сечее»ю мой АдАа показаио иа рис. 1О. При изгибе часть волоков растягивается, а часть сжимается. В точхах, одииаково удалеииых от нейтральной линии (оси к), иапряжеиия одииаковы.
Наибольшие иапряжеиия действуют в точках, наиболее удаленных от кейтральиой оси (точки Аг и А,). Напряжеиия изгиба в зтпх точках Мх, Мх ОА — — — Л1 ОА с /» (в) Очеиь часто пользуются понятием момента сопротивления, Если точка сечеиия, например точка А, находится иа расстояиии р от оси, то момент сопротивлеиия в втой точке )рл = = Х lи. Ийогда под моментом сопротивлеиия поиимают наименьшее виачеиие Чу для сечеиии: !б' = 1»(Люах где Лта»вЂ” ,асстояиие наиболее удалеииого во.
локка от иейтральиой ликии. Формулы для л'» и %' иекоторых сечеиий была приведены в табл. 2 иа с. 17. Формула (7) справедлива и для стержия переменного сечеиия, если входящие з иее величииы отвесить к ассматриваемому сечеиию. ормальиые иапряжеиия в общем случае изгиба и растяжеиия стержпя. В общем случае иа стержень могут действовать изгибающие моменты М» и М р в растягивающее усилие У (рис. 11). На основании гипотезы плоских сечений аиалогичио равеиству (2) в=ее — у — +х — „, (9) б1р бф бг дг где ге — деформапия, свяааииая с про.
дольиым перемещением сечения; ф я ф — углы поворота сечеиия стержня отиосительио осей х и у соотзетствеиио. Если учесть температуриые деформации, то иа основании закона упругости е = — 1 иТ, (1О) а Е где Т вЂ” температура в данной точке сечения; а — коэффициент лииейиого расширеиия. Вследствие иеразиомериого нагрева модуль упругости материала Е может быгь различиым в разных точках сечеиия. Равеиство (!О) запишем в форме а=Е(е — сгТ) = бр с!ф = Е ( е — р — -! л — — сгТ) .
— ч е (11) Деформапию в стержие характери. бш бф зуют три параметра: зе, — , бг ' бг Для их определеиия воспользуемся условиями равиовесия: обр =. Лг; 1 ол бг = Мр) (!2) х Рес. !1. Общий случай иэс»ба е расе»жение стержне Налрткенил и деформации лри изгибе 339 В этих равенствах интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения Е. В нося в последние зависимости соотношение (!1), получим ео ) Едр — — ~ уЕдЕ+ + — ~ хЕдŠ— ~ аТЕдЕ = У; дор дг р Е (13) ео ~ хЕ дŠ— — д! куЕ дЕ -( ды С дг,) + — ~ к Е дŠ— ~ ко ТЕ дЕ = М д~р р дг — э' (14) ео ~УЕдŠ— ~ УоЕдЕ+ др г дг + — ~ укЕдЕ— дор Г дг — ~ уаТЕдЕ = — М„, (15) Зги уравнения можно упростить соответствующим выбором осей к н у. Выберем положение начала системы координат (точку 0) так, чтобы удовлетворялись равенства ~ «ЕдЕ=О; ~ уЕдЕ=О.
(16) Р Р В этом случае точку О называют лриееденным центром тлмести сечения. Если модуль упругости во всех точках сечения одинаковый, то приведенный центр тяжести совпадает с обычным. После того кзк положение начала координат стало определенным, повернем оси к, у в плоскости сечения так, чтобы удовлетворялось равенство ~ хуЕдЕ= О, (17) Р Оси координат, удовлетворяющие условиям (16) и (17), называют лри.
еедечными глазными асями сечения. Для постоянного модуля упругости во всех точках сечения приведенные и главные оси совпздают с обычными главными осами. Способ определения приведенных главных осей сечения описан ниже. С учетом условий (16) и (! 7) из уравнений (13), (14) и (15) получим ) аТЕ дЕ У р во= + (13) ~ Едр ~ ЕдЕ Р Р ~ уаТЕдЕ м„ ~ уоЕдЕ 1 уоЕ дЕ (!9) ~ каТЕ дЕ + ~ хоЕ ау «'Е дЕ (йо) Внося значения ео, — и дцо дор дг дг в уравнение (!!), получим оканчатель ную формулу для напряжений в стерж не У М„ а=Š— у ~ Е дЕ 1~ у'Ебр Р ~" )+ ~ аТЕ дЕ ~ уаТЕ дЕ -1-Е +у + ~ Е дЕ ~ у'Е гу ~ хаТЕ дЕ -)- к — аТ . (2!) хоЕ дЕ 340 Изгиб стержней Первая группа членов в этой формуле выражает напряжения в стержне от внешних сил, вторая — температурные напряжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
