Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Если модуль упругости во всех точках сечения одинаков, то из ра. веиства (21) вытекает И М„ М„ и= — — у — +х — + Д аТ бг ~ уаТ др +Š— +у ~ хаТбу +х — аТ (22) где г» и гэ — главные моменты ииер. цин сечения, Если точки сечения стержня имеют одинаковую температуру, то из формул (2!) и (22) следует, что температурные напряжении в рассматриваемом сечении отсутствуют. В этом случае напряжения в поперечном сечении стержня Ьс М. Мр о = — — у —" + х — ". (23) ~» уд Из этой формулы вытекает возмож.
ность раздельного определения напряжений растяжения (сжатия) я напряжений изгиба (второй и третий член в формуле), которые, в свою оче- Рис. 12. Определение приведении» тленны» осей сечении редь, можно определять раздельно относительно каждой из главных осей сечения. Определение приведенных главных осей сечения. Используем произвольную вспомогательную систему координат к,ус (рис. 12).
Координаты приведенного центра тяжести сечения О: ) »1Е»(Е ) Ебг )' у,ЕНЕ Ь = . (24) ~Ебу Угол поворота приведенных главных осей х и у 2 ~ х»у»Е бр Р (кйр = (23) ~ х»»Е бр — ~ у',Е б»и о = Еатм,» ~ 3 — ( Ь ) 1 . В центре стержня 1 о (О) — ЕаТ„,„, 3 в крайних точках 2 о(Ь) = о( — Ь) = — — ЕаТ „.- 3 и с Определение приведенных главных осей и центра тяжести ие отличается от обычного способа, если только элементу площади условно приписать «вес» Е. Отсюда следует, что приведенный центр тяжести будет смещаться относительно обычного в сторону, где модуль упругости материала больше.
Пример. Определить температурные напряжения в стержне прямоугольного сечения (рис. 13). Температура распределяется по параболическому закону гхдг Т (х) = Тме» ( — ) ~ь)' По толщине стержня температура постоянна. Предполагаем, что модуль упругости Е и коэффициент линейного расширения а постоянны. Из формулы (22) находим Иаярюкения и деформации лри изгибе йУГ = — «(гьт или м о = — у«, й» тогда (27) ЬИ« ./х =- —.
12 Рис. 1Э. Тсмпсрь«урн»с о«про»опия ь с«ср»по«промоусольпо«о сс«сппо Для стержня из жаропрочного сплава п15и Е = 2 105 МПа, и = 16Х Х10 1~'С, Тюь« = 200'С находим а (О) = 213 МПа; а (Ь) = — 426 МПа. Касательные напряжения при изгибе. Если изгиб создается поперечнымн силами, то в сечении стержня будут действовать касательные напряжения, уравновешивающие перерезывающую силу.
Влияние касательных напряжений на прочность и жесткость существенно только для коротких стержней, высота сечения которых составляет не менее 1/3 его длины. При определении касательных напряжений считают, что онн не влияют на величину нормальных напряжений изгиба. Это позволяет определить касательные напряжения из условия равновесия. Рассмотрим равновесие части элемента стержня длиной йг (рис. 14). Нормальная сила, действующая на рассматриваемую (заштрихованную) часть сечения, площадь которой составляет Д Эта сила изменяется по длине стержня вследствие изменения величины а.
Приращение силы 1«'1 должно уравновешиваться касательными напряжениями на горизонтальной площадке йгЬ. Таким образом, 1 ИИ) 'г = — — — ° Ь дг (26) Вследствие лариска«и касательных напряжений такие же напряжения будут действовать в соответствующих точках поперечного сечения. Нормальное напряжение в слое на расстоянии у« от нейтральной осн иг = ') ай) = — — ~ У«йу = Мх Г лх М»57 л'х Величина ~ У«й( = Яà — статиче- р ский момент отсеченной части сечения.
Далее находим й "4» Зг йг йг — 1) где 9 — перереэывающая сила в сечении. В соответствии с равенством (26) получаем формулу для касательных напряжений в стержне ЯЯ1 (28) Раанодействующая касательных напряжений раааа перереэмпающсй силе. Для касательных напряжений в стержне прямоугольного сечения (рис. !6) о,зи Ис 6,= ~ ьу,йу,=- — ь( — -у«); 2 5 4 Изгиб степиснсй Рпс, 14. Равяовесве влемепта стержня тср Рпс. 1В.
Распределение яасательпых па. пряжеппа прп пагпбе стержпя ярямоуголь. ного сечения Из формулы (28) получаем Распределение напряжений показано на рис. 15. Наибольшее напряже. ние имеет л)есто при у = 01 3 О 3 сепах = — — = тор. 2 б)т' 2 где тор = — — среднее касательное р напряжение, УПРУГАЯ ЛИНИЯ СТЕРЖНЯ Уравнение упругой линии. Ось стержня в изогнутом состоянии называют упругой линией.
В пределах малых деформаций угол поворота се. чения 1р (рис. 16), если пренебречь деформацией сдвига, йу г йг В соответствии с равенством (6) Нф М (г) Ейх (г) где М (г] — изгибающий момент в сечении (рис. 17, а]. Далее имеем — (29) аму М (г) йг' Ел х (г) Выражение (29) представляет собой дифференциальное уравнение упругой линии стержня. Оио справедливо и для стержней переменного сечения.
Иногда уравнение упругой линии используют в другой форме — из уравнения (29): ЕУх (г) †,, = М (г), ачу Рис. 1В. Связь между углом поворота сечения п у (л) 343 Упругая линия стержня Рнс. 17. К выводу уэеоненнн упэугоз аннин с учетон дейорненнн сдонга днффереиплруя по г, Из энергетических расчетов йр () (г) и ~ ар(г) р = —,+ у, (31) с(р — (32) О (г) бг (г) — [ЕУ.(г) —,, ) = НМ (г) Йг =()(), где () (г) — перерезывающая сила в се. ченни. Повторив дифференцирование, получаем вторую форму дифференци- ального уравнения упругой линии: де бор — (Е(.
(г) — ) = = о (г), (30) бО (г) где д (г) — нагрузка на единицу длины стержня. Уравнение упругой линии с учетам влияния перерезывающей силы. Если учесть деформацию сдвига (рис. 17, б), то угол поворота сечения где у — деформация сдвига, пропор- циональная величине перерезывающей силы в сечении: здесь д — безразмерный коэффициент, завьсящий от формы поперечного сечения; 6 — модуль сдвига; г" (г)— площадь поперечного сечения. [см. обозначения к формуле (27) ). Дли стержня прямоугольного сечения А =- б(5, для сплошного круглого сечения Д = 10(9, для тонкостенной трубы й = 2. Из равенств (31) н (32) находим Дифференцируя с учетом зависимости (б) и влияния перерезывающей силы, получаем дифференциальное уравнение упругой линни пер М (г) с( ( О (г) — = ..
-' — "~-() ) (34) Влияние перерезывающей силы на прогибы стержня учитывают в том случае, когда высота сечения соизмерима с его длиной (см. примеры). Уравнение упругой линии в интегральной форме. Интегрируя обе части равенства (34) от 0 до г, найдем — (г) ео ~ .
бгг— Нд Г М (гг) Е~п (ге) а н +.д ). — (О). [35) д (О) с(р (г) Сг (О! Ыг Упругая линия стерэгня Таким образом. Рнс. 1О. Изгиб стзриия иа Лзуз мзриир вми Оеорзз так как 0 = Е/2 (1 + ч), где ч — ко зффициент Пуассвиа. При 5=1, ч = 0,3 Уса(!) (1+ 0 3) 078 у (!) 5 2 Пример.
Определить прогибы балки постоянного сечения пад действием распределенной нагрузки (рис, 19). В опорах балки действуют реактивные усилия )(л = )(в = 0,591. Перереэывающая сила 1) (г) = 0 5О! — Ог = О (0,51 — г). Изгибающий момент М (г) = 0,591г — 0,5уг' = = 0,54 (/г — г'). Прогиб от действия изгибающего момента по формуле (37) 3 гз У(г) = 2Е! ) ~(1г,— г[)4/гзбг, + О О О 4(у О Г 1 !гз г~~ + (О) г/ + 4(г 2Е1,)[,2 3) О Ку О 1/г' гз Х + — (О) г= — ( )+ 2Е1 'х 6 !2 ) + — (О) г.
4(У 4(г Из условия у (1) = 0 находим з !з — (О) = — — —. 4(г 24Е1 ' г4 з О!з 2Е,/ ~ 6 !2) ЫЕ1 Наибольший прогиб будет при г = = 1/2: у(1/2) = — — —. 5 ф4 384 Е1 Прогиб от действия перерезывающей силы [формула (39)) Уся (г) = — — 1 1 — — Огз) Ыг ΠΠ— — — (/г — гз). Ог" 2 Наибольший прогиб й !1' сл 'х 2 ) 8ог" Отношение максимальных прогибов угл (1/2) 384 Е 1 = — — д — = у (!/2) 40 48 Е,/ = — — й —. РП Если балка представляет собой тонкостенную трубу с диаметром 4( и толщиной стенки б, то й = 2; 1 = = пббз/8, Е = пбг( и при ч = 0,3 Уел (4/2) у(1/2) ' ч 1 / Определение прогибов стержней с помощью непосредственного интегрирования уравнения упругой линии (фор.
мулы (37) и (39)) удобно применять в простейших случзях и для стержней перемеинага сечения. В последнем случае интегралы целесообразно вы. числять приближенна по правилу трапеций. Учет влияния перереэывающих сил на прогиб необходим при учете податливости зубьев зубчатых колес, витков резьбы, шпицев, когда размеры поперечнога сечения соизмеримы с длиной. Для стержней постаянкого сечения прн действии сосредоточенных сил, моментов, равномерно распределенных Изгиб стержней гллг Рис.
ге. К выводу интеграла Мора нагрузок разработаны специальные методы интегрирования уравнения упругой линии, однако во многих случаях более просто использовать интеграл Мора. ОПРЕЛЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА МОРА Вывод основной формулы. Определение прогибов. Пусть к балке в точке г = а (рис. 20) приложена сила р, которая равна единице (единичная сила). Если сообщить балке некоторый дополнительный прогиб у, то работа внешней силы у (а) Х 1 будет равна работе внутренних снл упругости. Обозкачнм изгибающий момент в св. чснии стержня от действия единичной силы М, (г). Пусть йср — относительный поворот двух близких сечений, возникший в результате дополнительного прогиба у балки, Тогда работа внутренних сил (работа деформации, рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
