Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 78
Текст из файла (страница 78)
К о н и ч е с к о е к о л ь ц о. Тон- костенное кольцо (б ~ г) находится под действием осевых распределенных снл о, и дс (рис. 13). Введем вспомогательные координаты $ н ио тогда ут = в з!п а + е) соз а; г = гт + $ соз а — е) з!и а. С достаточной точностью можно по. ложить г = г, + $ соз а. Для определения с по равенству (27) вычисляем ь С 2 б = — !п — ,' соза г, ' Рве. 12. Комическое кольчо под дсаствмем Рксоределскмык осевых смл е С 2 в з'ш а + е) соз а ге+ всоза 2 б!йа с' р — г, — гт!п — Ср соз а гт г' и находим с= !йа Далее определяем Г с(Р !й'а — с* ! — =б Х 3 . соз а Р Г! Х ~ — (г! — г!) — 2г, (г, — г, ) + 2 гз ) б' + г1! п — ~ + — соз а 1п —— г,3 12 гх б гз — с' — 1п — .
сов а Формула Эйлера 373 нля ацу — +йэу=О, йхз где Р йв = —. Е! (2) Напряжения в кольце У рва! — 4«аэ, г у» Осадка кольца (сблнженне точек приложения снл дэ н дв) б =- чэ (ав — аО = (бтат э— у,аВ (аэ — а ) Ел' и Пределы прнменнмостн прнблнженного решения. Приведенное решение основано на допущеннн, что сечение кольца не деформируется. Следовательно, для случая, показанного на рнс.
14, а, изложенное решение не пригодно, тогда кая для случая, изображенного на рнс. 14, 6, наложенное решение можно использовать. Если г,/и, с 1,4, то целесообразно применять решение, основанное на формулах (2!) н (22), прн гв/гэ ) 1,4— более сложное решение [формулы (23) — (30) [. Глава 20 УСТОЙ Ч И ВОСТЬ СТЕРЖН ЕЙ ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА Если тонкий прямой стержень сжнмзть вдоль осн, постепенно увелнчнвая силу Р, то вначале он будет оставатьсн прямым, но затем прн некоторой нагрузке Рир, называемой критической, стержень начнет резко нзгнбаться. Это явление называют лотерей уопойчиаосгли (рнс.
1). Прн потере устойчивости напряженна быстро возрастают, что может прнвестя к разрушению детали. Для нормальной работы большннства конструкций потеря устойчнвостн недопустима. Обычно до. пускаемая нагрузка не превышает (О,б — 0,7) Р» Чтобы на/ттк критическую силу Рнр, рассмотрим условия, прн которых сжа. тый стержень может находиться в изогнутом состонннн в условиях равновесна (рнс.
2). Прн малых прогибах справедливо обычное уравнение изгиба Ей — = М = — Ру «Ру йхэ Рис. 44. Области прнмемеии» приблименного решении дли осесимметриеноа деформвции колец: и — кольцо эеделвио в мвссивиое тело— решение ие пригодно: б — кольцо оперто и имеет в вмомн сть и и рота р шеиие монет быть испольэоввно Для тонких пластин (6/(и — и ) ( <0,2) прн гв!и,) 2 приближенное решение часто дает большне погрешности и приходится испольэовать теорню пластин (см. гл.
23). Обшее решение уравнении (!) у = А э!и йх+ В соз йх лля опертого по концам стержня должно удовлетворять граничным условням у (0) = О, у (!) = О, что возможно, если В = О, А шп й!= О. Стержень может прогнуться (А чь 0) только прн условны з!пй! = О. Пока сжнмшощая сила Р мала, так что велнчнна й = [/Р)/Е! ( и/!, значение з«п й! чь чь О н стержень остается прнмолннейным. Прн й = пЛ нлн стержень может прннять помимо прямолннейной формы, которан становится Рби(ий случай расчетна криспической нагрузхи рис, 3.
Ферми прогибов прн ио- Рис. 4. К общему случаю расчета аритнчссиоа патере устоачивастн стермнеа груаии Крнтнческой нагрузке соответствует напряжение сжатня откуда Р„р птЕ о„р — — — — — —, Р ат' (7) где козффнцнент )с характеризует прн. веденную гибкоеспь стержня с учетом условий его опнрання н нагруження: !по ! п ! а = —. =- т —. = — †.
(8) (ге~ 1 " Здесь 1 — радиус ннерцнн поперечного сечения, С учетом выражения (7) формулу (5) можно записать в виде где псЕР Рпр = —, (9) ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАСЧЕТА КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ В частном случае, при зашемленнн стержня в сеченнн х = О, когда у (О) = О, В (О) = О. ()О) Дифференциальное уравненне изгиба (1) можно записать в углах поворота йу В = — как йх йВ М ! йх Е! л В()=В,+~ ~~; В,=В(О).
Г М(х,)йх, ,) Е! (хс) о (11) Прн действии на стержень в сечениях хс неснолькнх продольных сжнмаюшнх снл Р, н распределенной продольной нагрузки д (х) (рнс. 4) М (х) =- ~~ Раб с (ус — у (хЦ -1- с=с с + ~ с) (х,) (у (х,) — у(к)) йх,, (12) прн х ( хсс Ес =-5(х„х) = — ~ О прн х охс.
(1З) к у(х)=б)(В(х)йхН В =О, (Н) Устойчив)стэ стерзслеб 376 Е > [ 42 17 = — кя 2,471, г=! Ц (17) В безразл>ерном виде х — 1 — Р> — 1 == — Р) =-— 1о Р«р — 1 нр> ф= —; Ф= —; О=-— = оэ ' Ркр' Р1о ' (15) где 1о — значение 1 при х = О; Р„ив критическое значение одной иэ нагрузок ил и их суммы; до — значение в некоторой выбранной точке, > 1 = ] 4 (х) с(х = ро!!с; с > = [ й (Э) е>Я; о о Р>, Π— заданные отношения нагрузок при потере устойчивости.
Тогда из (1 П вЂ” (!5) 9 (В) = ЧК [9 а)], (ПВ где К [9 (я)] — интегральный опера. тор; $ К[9(В)] =- х 1 1Ю е Л $> Р>В> 9 (й,) ДВ, + ! > + (2с 9 йе) 4 (Ы»Ь аьэ дЪ. ч (з Уравнение (1б) решают методом последовательных приближений по функции 91 )) (я) находят К) =- К [9)т >) ($1] и из условия мини. мума среднего квадратического отклонения (1] — значение 9!т — )) (> ) К(т) (е) >т! ! [К> >(Р~зб~ (!9) и 9! "> (й) =- О) ) К ! > (й).
В качестве исходнога приближения 9'а' (й) выбирают функцию, удовлетворяющую кинематическим граничным условиям (для защемленного стержня 0 (0) = О). Пример. Найти коэффициент т> для консольного стержня настоянного сечения, сжимаемого силой на конце (1 = =.1, О = О, Р! =1, я> =!). Принимая 9>о' = й, находим К"' (э) =- ~ ~ 'яэе>эз)(я>= о В(, Г).
что мало отличается ат точного решения >) = и',>4 ем 2,467. В общем случае интегралы находят численно. При других граничных условиях меняется только вид оператора (17). ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ Значения коэффициента т> для раз. личных расчетных случаев, получен. ные методам последовательных приближений, прииедены в табл. 1'. Чем болыпе иеличина >1, тем лучше сопро.
тивляется стержень потере устойчивости. При нагружеиии несколькими Расчеты эыполнечы Н. А Мелел. кивав. УСтййсСиССОаЛЬ СтЕР»ЕССЕИ 378 О о 1 ! О о С 1 фф ф О!ООО! фффй о л ) О»О»С" 1 о й фо а ф 1» О Оф фффф ООО С»ОО ОООО ОС С О ООООООООООО ОС ОО ООООООООО ОО С О О »ОООО с Ф х сс с О О С с Ы Сс О ф Ой 1 11ООф»ОООС О ОС ! ! 1 ! ! О О Офйй й ~ О О «\ О 1 й ОЛООΠΠ— йфйфо й ! \ О 1.!фа»ай й О О ф со О О ! О 1 С С Оф О Офо о-о л й ф О О ф О О ОС»\1!1 О 1 О О".~О". =~-' „ О х с ОО" Е Н с»~ с С С О с с О С х Оф с, ! х с СО о О О О 'О О О О О О 1 ! ссс О ф О \О О ОО с й ф О фф О»СС 1 О» О' О О О О О О о ой с с с ! О ООООООО ОООС ООООО Таблицы для расчета критической нагрузки О О Ю В О с ' м м м' м' с ' м С О Ю м м м о о О О о о-в о с с м а О о о о о О с с О а О О с о О а О а а в о О о а о — с о о с с с с » » О ы С О С В о а О--с»са м м Ы и м о в с о в о о в а м о м о Ф и О а сс с с О с м м  — О.
с О а — — о в о а а о — а в а с Ь О О О О О О О о Π— а а а О о О О О О О О О \ с а а в а а а о с с О Ю Ю С С Ф а - м а а а м'м'м'.'сс'«'Ы О Ю О С Ф «О С О в аОФО Ф О О м о — — — — м о а в о в о — Ю О о О О О О О О О О с а Ф О О О О О О О О О О О О Я. зво о о О о о о о о о 6 о о Ъ Ъ Ъ О о о о о о о о о о 3 3 О к съ с 4 к к о О 3 О а Е Уппойчшикть стероьней с «с с с «с с О С О О О О О О Ъ О 4с'«4ссс'й О С Ъ «с с с ««с « «««о о О ««««с с4 с4 с4 сс «с4 ' сс «с с ъ Ъ Ъ Ъ Ъ О Ъ О О «с4 с4 с4 с4 с4 ««сс с4 с4 с" о « — « сс сс «««\ ъ сс с4 с с4 с4 с4 сс сс с4 с4 ъ о«о о« С С «Ъ Ъ О О с4 " «с4 с' с4 с' с4 с с4 « о о а «а о а а ъ- О ъ оооо--«о съ «с «« О О ъ а ъ с о с о с о о с' «ъ а оооооо оооо О О \ О О О О О О о о о о о о о о о «а Ъ Ъ Ъ 381 Тибкицм доя расчета критической ниеруэки в О а ъоа Ф ОСЪО О РО "ооичк ' 'о и' а.
О. а ч О Ъ' ы О О ы О ч Оы ыч о и оо о а 3 ы СФ«ЪЪ О ОС ОООФ ОФР б'с' ъюа О Оюююю Р Л ОО О ФО О О О ОО О О ваыс ъ ас а О ъ ъ О ОО Ъ Ъ\ ЮО В Ъ ов аъ ай О Оаа ФФФ ас иъ ъ «ъ ОФ ъо ъ с с ъыо а в ъъ с ао о в а ъююь ъ ааиФ ой 'Ровс ао Ф«РФФ б С О ЪС ЪО оо во О Фас в ° ЪЪЪООСФ О Фс Ф ъ с Фаъ ъъй ооосвббйюаФ ъ ъо ъ О ъа б Ф ос ъФ Ос а ЮОФФ оооо с й ъа ъа Оо 'СОВОЮОСЮЪСОЪ о- ъъ — вач «ъ- ОООО С В Ъ ОФС Ъ Ъ ОО О Ъ С Ы о 'ъав л ъао б' аоооооооооооо оо аа аа оаооо оооййоооо — ао | ~ ~ | | и +Ф $1~ ъ ъ ъ л ъ аоа О Р Ъ ЪООР РВЮЮО ооввввиввво ~"О"в бъ о а ъс ой Овъ ФЪ Ч С Вй ЪВО Ф ЪФО ' 'оооФФ Ро-'сча'а Ъ ЪОООСООЪЪР СЮ О й ЪС» ЪОС Ъ РС ОООФО Л Ф Ъ ао а- ао Ф ла,в аа Фаоч с'о Ф ъ ъ ъ ъв ооФФ ЮОФ о ъ ъ ба«ъ оас С С ОЪ бб ФЮ -оовоо-.ъ,и - ° - ° -- ° - ° -- ° -- ° ° ! РФ а О ъ ФЮФФО ааа Ров ъ ъа ъа оо в аъ а ъ ФОО оо ъ С Ъ Ъ О О О ай ъа ъа ъа ао бб влача оовоо ааа Фас ааб Оавь Фс Ой СВС\ЪОЪЮЪОООЪ Ф О Ъ«С ООФОО ' РО С ОЮФЮ б ОФъ ъ оаав Ос ъ б ъйо вао б '-ВО и о оо-- ъ ъ оа О бъ Ф оа ъ О ос Оа в О Ъ Са Ъс РО ОООО Ъ Ъ ЪС оосъооа ъв о-с Раааа ч ооа ''ойоооооооо- Р 1~ 1 ~ ! 1 ~ о Ъ о ъ~ л и Ччъ~ О, + Успиймнаоапо стержней 382 сжимающими силамн коэффициентом т) определяется сумма этих снл: (У Уг)пю 025 Оуу Е(о !'кр = !'крх = г) ! О,У5 ОгО ОО5 О О,г ОР ОО;/;лл Рис.
6. Зависимость упругого прогибе окснентркчио сжатого стержни от сжимающее силы н окснентриситета откуда с учетом указаяных граничных условий Е! " У вЂ” Уе) Ру г(хх соз ) 0,5Ы (1 — 2 — ) ~ у е сов 0,5Ы получим нз (19) Максимальный упругий прогиб прн к!! =- 0,5 г(гу — + й'у= Охт (У Уо)твх = Рнс. 6. Сжатие стержни с начальным прогибом и екскентриснтетом приложении силы л %1 Еуо Р.,=' Р1+О=Ч вЂ” ', !а 1-1 прн нагруженнн сжимакнцей Рг и растягнвающимн (Р ( О) снламн ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРОГИБА И ВНЕЦЕНТРЕННОГО ПРИЛОЖЕНИЯ СИЛЫ НА ВЫПУЧИВАНИЕ СТЕРЖНЯ Если в ненагруженном состоянии стержень имеет не вполне прямую ось и сжнмаюгцая сила приложена с экс. центриситетом, так что с самого начала нагружения возникает изгибающий мо. мент М, = — Ру, (рис.
5), то уравнение изгиба для деформированного со. стояния принимает вид при граничных условиях для двух- опорного стержня у (О) = е, у (!) = е. Положив, например, лх Уе=е г аюп —, (20) = — а ( — ) 61п — (де = — ), (21) + „з 61п ! ° (22) а лх '-( — ".')' Расчет сжапсых стерлсмгй ма прочность и жтстеюпе 383 Р -1- Р , (23) 1 —— Рир где Р„р определяют по формуле (5), Зависимость (У вЂ” Уе) мек ех — при а = 0 показана иа ряс 6, 1) В отличие от идеально прямого центрально нагружаемого стержня из.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
