Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 80
Текст из файла (страница 80)
вой снстемм. 13» Из (44) следует, что если Р'„~ ~, ( Р„= 2рпт, то вплоть до значения Р =Р'„р упругая система остаетсн прямолинейной (ф = 0). Если стержня достигнут предела текучести при нагрузке Р " Р' , то т кр' прн дальнейшем увеличении нагрузки возможны два случая деформированнь. 1. Оба стержня продолжают догру. жаться (с(от ) О, 3по л 0), модули Е„Е, принимают значение касатель. ного модуля Е„, тогда Ьор Р1 — — Рэ — — Р" =- Р = — Е„. ив = гп! (46) При этом прямолинейная форма равно- весия остается устойчивой, но только до нагрузки Р = Р„, определяемой кр' касательным модулем Еи. 2. Стержень 2 догружзется (с(по ) 0), стержень 1 упруго раэгружается (с(п, < 0).
Величииы Е, и Ео становятся различными (Е, = Е, Е, = Еи), так что Р! — — Р„р, Рт — Рнр, Ьор Р '= Р„р — — — Епр, нв 21 ПР' где приведенный модуль Епс, определяется формулой (36) Из первой формулы (41) следует, что разгрузка первого стержня начинается именно в точке Р = Р„р, где угол наклона (производная) кривой ф (Р) скачком меняется от 0 до конечной величины После того стойка начнет постепенно отклона ъси от прямолинейного направления в соответствии с вытекаю.
шим яз (44) уравнением Ь (Š— Еи) Р 21(Е+ Ен) Рир !' ' каа показано иа рис. 1О (крииая 1). Если искусственно задержать стойку в «рямолннейиом положении до неко- ,усщодчиаосще сямрзснай Рй Рог Рер Р сер р Рпс. 1Е. Х«р «сер етаеьпепее стенке ьрн упругппкествчесапк Лефарппцнек ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИк)ОСТИ. ДЕЙСТВИЕ СЛЕДЯЩИХ НАГРУЗОК Ркр кр торого значения Р - Р,р, дальней. шпс отррлсееиис пойдет по ливии 2, Когда в исходном состоянии при Ре = 0 стойка нгклонепа нс угол ф„ отилонение в упругой области будет рзмсньтьсч, как зто следует нз (44), по закону После дость кения стер клем 2 предела текучести темп отклонен п стойки возрастает, орьчеч стержень у будет догрчжасьсь цо величины Р = =-: „„() — 2)ф)р), после чего оь начнат Реа РУ~ Птпеа, а Н Рпетеаяе О,к, ОНЕ- ньс паьдст ускоренно .о крвзой 2.
Вть кривая на ратных участках имеет разные асимптоты как покачачо иа рнс. )О штонховыми лининми. Линяя Ь 1 Р ф' =- — ! — —,) ссответстьует на= 2( (, ч пу упругой Ра~груекн стер.кпп 1(прн Р< Р„, ). Линия Рт характеризует начало плпстическнх децюрмеций ~срн слеоом упрочненни величина Р„е может оказаться меньше Р, и тогда боковое выпучнзанье прн ьозрастающей нагрузке ьачгнается срезу, как только сжнмающая силе достигает величины Р, Если же и Р„станет меныпе Р„, то пря Р = Р, наступит потеря устойчижкги. В некоторых случаях натруженна стержней оценка потери устойчивости по у ловию а аможностн появлеющ формы статического раьночесня в нзог.
нутом состоянян (подход Эйлера) ока. зызается недостаточной. Более общим является динанич ской анализ устой. чнжютн, показывающий, как будет двигаться система после некоторого начального малого отклонения. В дина. мическн устойчнаолс состоянии отклоненный стержень начнет колебаться (без учета сил трении) с пос ояьной амплитудой, в динамически неустойчивом состояннь прогибы оудут неограниченно возрастать со временем. В динамическом анализе имеет значение не только распределение жесткостей, но и распре„сление масс стержня н ик величина. Для рассмотренных выше задач при постоянном на ~равления сжнмающи. сил динамический аньеснз приводят и тем же резуль~атам, что н статиче. ский.
Длв следящих нагрузок, направление которых меняется в зависимости от деформацнь стержня (нппрьмср, реаксивнпн сила стоун, злектромагнят. ьые силы в деформнруемых проводив ках и т. и.', критичесиую йагрузк)' можно иан;и только дьнамическнм анализом. Найдем критическо. значение следящей касательной силы Р„р в случае хонсольного стержня с сосредоточенной Динщиический аниэиэ успаоймшисти. Сэебяичие нааряэ«и 389 Рис.
11. Дейст««с с«ел«щей иагруаяя е — общий саучай, б — при Р и уравнения вращательного движения стержней прьиьмают ьид аеа) аоу рога — + га —, а+ серо = 1 й(а ОР сга ~ (2ая+ р') — + йоара ига , 'р ) — „,„- ) (-с~'„, =-0; р (а' иеу ж — а и- с (Фа — а) о) -)- Ра фс =- аг' а(сара ааа).а Ч -~- сфа т (.
а — с) а) „= О, (47) Если фао фоо — иачальиые отклоие. аюа аф„ ьиь и — ГО) =-О, — (О) = О, то а(Г ' сот устойчивому состояяяю стержчя будут соотаетствова ь гармояическяе колеба. иия жа = Фас сия щй фа = агм со шс, массой и иа конце, момент инерции которой равен ра~п, где р — радиус ииериьи Лль простоты земеиим стержень сисоемой из двух жестких сгержией 1 я 2, сьазаиьы.
Диумя упругими щаркирами с уозффчциеитьми жестко. сти с (рис )), а). При малом отклоисияи стсржвей перемещеиие у и угол поворота мессы соотистствеиио У = а ~ аРа+ фа): Ф = а(а+ фа при которых иэ (47) получим идьород. иую систему ураьисиий (2ао и- р" 1 щоф„ с ) ,-[~,егр . )Ес,-а;! Г „Ра — с + [и щ — — ~ фоо = 0 (48) Си тена (48) им ет ие..)левис рсще. иия, сел с ее определитель раиса пулю, т. е. ао' — 2рсоа+ 4 = О, (49) где р = — ((бас )- 2ро) с— 2а'рож — с2аа -г р') Ра): (50) Корни урьвиеиия (50) определяются формулой що =- Р щ 'у~р — 4 (5() В отсутствие сжимающей погрузки ро — 4) О и сиспсма имеет две Раэлич. яые соостаеияые частоты колебаний: 2иож ) — 0,(ро ж 1') О О,бтра -„б, 1) бро х (52) где р,=. р'а По мере увеличения сжимающей аагр)зки Р козффьииеи.
р учечьшаетсь я прь 5с ! — 0,4р -т 0.4ро 2и ! -(- 0,5р' выражеяие Р" — О обращаетса в пуль, обе чистоты холеб иий системы пряяимают одииа«овсе оиечеиие с И «г иоспр При уьеличояия сигы Р сверх критического еи чапая система сгаиовится 390 Устойчивость стгрясивй ПОТЕРЯ УСТОЙ"!ИВОСТИ ПРИ НАГРЕВЕ Стержень, зажатый между неподзижнымн плоско«тяни, при и«грезе до критической температуры Т„п выпучивается. Свободный стержень при нагреве до Т„в удлинился бы иа величину а!Т„р, где ц — коэффициент линейного расширении. Сила, возвращающая его в прежнее положение, Р ЕРатнп, (пб) Приравнивая силу Р ее критическому пзЕР значению Р„р — — —, получим лли лз стержня с шарнирно опертым концом пз Т нр адз (зо) При дальнейшем нагреве стерксеиь получит прогиб ума« т 2! ~/ — — 1.
(57) Г Т Т нр динамически неустойчивой н ее движе. иие после малого начального отилоие. ния будет представлять собой колеб«- ния с неограниченно воэрзстаюншми змплнтудами. Потеря устойчивости происходит в общем случае при эньче. иии ы„р чь О, поэтому отклоненной статической формы равновесия система не имеет. Нс пря очень большом момен. те инерции концевой массы, когда р -« «о, значение ы„п ~ О, н в этом случае динамическая величина Р„ив = 2с/а совиидзет со статическим значением Р для соответствующ«и системы с неповопачнвающимся стержнем 2 (рнс. 11, 6). Лля упругого консольного стержня с сосредоточенной массой на конце коэффициент т) критической величины следящей силы в формуле (5) равен т) = 20 19 при р ь 0 и т! = пз = 9,87 при р - со. Лля свободного стержня, к панаму концу которого приложена сл«дящвя толкающая сила, з) сь 110.
Пример. Бална двутаврового сечения )Чв 24з длиной ! = б м, жестко заделанная по концам, разномерно нагрев«ется по всей длине. Определить Т„. По сортаменту дкя двутавровых профилей находим ! = 2,42 см. Лля двустороьнеа заделки « = 0,5, поэтому ч! 0,5 600 Л= — = — '=124; 2,42 гтз Тир = пз 11,5 10 з 124з ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОЙ ФОРййо) ИЗГИБА При и~гное прямолинейных стержней (балок) двусимме«рнчиого попереч. ного сечения (прямоугольного.
двутаврового) нагрузки, действуюпцие в плоскостях глазных осей, вызывают про. гнбы только в тех же елосаостях. Однзно, если моменты инерции сечений значительно рззли ыются, то при действия нагрузок з плоскости большей жесткости плоская форма изгиба яв. ляется устойчивой лишь до определев. ного предела.
При достижении изгибающим моментом некоторого критического значения М„т„ помимо изгиба в плоскости большей жесткости, стержень нзчинзет резко прогибаться в плоскости меньшей жесткости и закру«нзаться относительно продольной оги Это явление иззыь ют попмргй рстайчивисти плоской экзрмы изгиба. Оно сопровожазетсн значительным павы. ш«наем напряжении и макет привести к азруш«иию конструкции. рнс, 12 сх«м тически показ«ны и«холмик ! ) и д«форннров неые формы стержни вытниутого прямоугольного сеченая при изгибе в алоскости большей жесткости моментами М на концах: б) прн М < Мнр! в) при М ) М„р.
Есин торпеиые сечении закреплены так, что онн ие могут поворачиваться относительно продоль- 391 Потеря устойчиаосяш лри скручивании а) ной оси, то критический изгибающий момент определяется формулой И и ЬЕИ епт 'Икр = 1 ДЕ т/ Ункпт ( 8) 2(!+ч) ' где е'т! — минимальный момент инерции; Т вЂ” геометрическая жесткость на кручение сечения. Для стержня вытянутого прямоугольного сечения со сторонами К Ь при(ЫЬ)е С1ит=0,3 Мкр = 0.325Š— ° Ьлй Критическое значение нагрузок, вызывающее потерю устойчивости плоской формы изгиба, зависит от их распределения по длине стержня, условий его закрепления, а также от поведения нагрузок в процессе деформации (являются они следящкмн или нет).
Так, нзгибающий момент постоянного направления, приложенный иа конце консольного стержня, не вызывеет потери его устойчивости, а изгибающий момент, следящий за положением плоскости большей жесткости — вызывает; при этом Мнр равен 0,5 величины Мнр, определяемой формулой (581. Сила постоянного направления, при- Рнс.
ст деформенне стержня прн потере усгойчнеосен плоской формы не«обе ложенная к концу консольного стержня, имеет критическое значение 4Е 'е I УтспТ Рнр пк — 1; ( ) . (59) ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ СКРУЧИВАНИИ Тонкие длинные стержни под действием крутящих моментов могут терять устой сивость прямолинейной формы оси, завиваясь в некоторую простран. ственншо кривую.
Для стержня длиной 1 круглого поперечного сечения диаметра а, скручнваемого действующими по концам моментами, направление которых «следит» за направлением касательной к оси, критическое значение мол»енса Л(н - '('- )и'", (50) кр == па« где l 32 ' Прн совместном действии ся«имающей продольной силы Р и крутящего момента М потеря устойчивости происходит при удовлетворении условию — + ( — ) =1, (51) 1 кр Мкр где Ркр и Мнр определяются гоответ- ственйо формулами (3) и (50), 392 Колебания упругих сиапем Глава 2л КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ (секунду). Частоту колебаний измеряют в Гц (герц — одно колебание в секунду). Колебание системы без воздействия внешних сил называют свободными.
Так как в системе нсегда имеются силы трения, то свободные колебания со временам затухают. Если к системе приложена внешняя периодическая сила Простейшая динамическая система, состоящая из массы, закрепленной на пр жине, показана на рис. 1, сли в начальный момент отклонить массу на величину а и предоставить систему самой себе, то возникнут колебания, причем смещение центра массы в момент Г будет у = а соз ре, (1) Π—.' Ое соз мй где р — круговая частота колебания, с а, то возникают вынужденные колебания с частотой этой внешней силы Отклонение ~лгг с . (2) здесь с — коэффициент жесткости пружины, Н(см (усилие при осадке пружины на 1 см); т — масса груза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
