Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 84
Текст из файла (страница 84)
с(Сэ — — мЧт (р + р, соз ф), (9) так как отрезок ААт = р+ р, сов ф представляет собой проекцию отрезка ОА ва плоскость ху. Приведем все нагрузки, действующие нэ диск, к силе С и паре сил М, приложенным в центре тнжестн диска. Сила = юв ~ (у+ у1 сов ф) бщ, интеграл распространяется на весь объем диска. Величины у (смещение центра тяжести) н ф (угол поворота плоскости диска) одинаковы длн всех точек диска и могут быть выкесены из.под знака интеграла. Тогда с- г)а -и т)г,а. квк гтатический момент относительно прямой, проходящей через центр тяжести, получим С = щв,пу, (10) где щ — масса всего диска. Но центробежные силы создают еще н момент, который дли рассматривае- М = ~ пСэрт эйгфбщ р + юв соз ф з1п 1р ~ у~~ йл.
р 409 Впл с одним диском рнс. В. Вкняиие гнросиооического ейвекте ие кригическтю чистоту вращения веке У = ыэатр — ыкрэ'щф; ф = ывутр — ывбу„,а Так как ращматриваются малые 'втклонения вала от прюяолинейиой рормы, то соз ф т 1, э'и ф яи ф, Момент, создаваемый диском, М =- ывУ„ф. (11) й)ри малых углах поворота ф М=ыещ— др, , ду с(х ' г)х ' Существенно, что этот момент преует прогибу. Следовательно, с етом гироскопического момента днов критические числа оборотов пса ются. Перейдем к определению критиче. кнх частот врищепня вала с одним оком с учетом гироскопического мо.
или щ' (ар — уя) тэщ+ +юэ(ат — 5.~щ) — 1= О. Иэ последнего уравнения получаем величину критической угловон ско- рости (ат — Оу,„) + вт — (ат — Рущ)я -1- тэ'щ (ай — уэ) 4 Если э',„= О, то получим известный результат Мента (рис. 6). Под действием силы С и момента М ! ал в месте крепления диска прогиается на величину у и поворачивается а угол йи у=. аС вЂ” ЬМ; ф=уС вЂ” ОМ, (12) де а н у — прогиб н угол поворота действия единичной силы, 6 и ()— 'прогиб и угол поворота от действия единичного момента. Направление единичных силовых факторов покаэино на рис. 6 По условию взаимности )пругнх снесем величины у и 6 чнсленьо раз ~ь.
Подставляя равенства (!О! и (!1) в уравнение (!21, получим или У (азат — !) — !Рывуэ'щ =. 0; (13) уывут — ф (щэОущ+ !) = О. (14) Приравнивая отношение у к ф из равенств (!3) и 114), находим ы'уэ щ ы'))э щ -1- 1 ю'ат — ! мяу т Влияние гироскопического момента особенно существенно для дисков, расположенных вблизи опор. Если вал имеет концевые опоры и несет несколько дисков, то повышение критических частот вращения вследствие влияния гироскопы ~ского эффекта дисков невелико. Учет массы вала. В приближенных расчетах массу вала учитывают уве- Критические частота врпценил валов б19 т, тг 12 тг а>>т> + гхгггпг— а>>т> + агггпг личением массы диска.
Обычно к массе диска добавляют половину массы вала. Приближенный расчет допустим, если масса вала составляет не более 30агй массы днсна. ВАЛ С НЕСКОЛЬКИМИ ДИСКАМИ Определим критические частоты вра- щения вала с двумя дисками (рис. 7). Гироскопическими моментами дисков пренебрегаем. Прогибы вала создаются двумя силами: С> = ювтту>1 Св — о>вт у, (18) Введем обозначения а„ вЂ” прогиб в сечении 1 †! от единичной силы в том же сечении; а,„ = аю — прогиб в сечении 1 †! от едиии >ной силы в сечении 2 — 2; а„ вЂ” прогиб в сече- нии 2 — 2 от единичной силы в там же сечении, Запишем у, = а„С, + а„С,; у, =.
амС, + а„с,, Подставляя равенства (1б), находим (шва»тг — 1) у, + ы'а„т,у, = О; в'амт>У>+ (агаэвта — 1) Уа = О. Приравнивая отношения у,!у, иэ последних уравнений, получаем е>ататв (а„а — а,'а) — ых (сс, гп + + а„л,) + ! = О. Отсюда находим две критические угло- вые скорости ыг и юв: (а>>гпг -1- агзгпг) г бт>всг (аиагг а>г) ! 2т>гпг (а > >аш — а~>г) (1 ) (а,>т>+ а гт )— + г — бт>гпг (а> >агг — а>г) г г 2тттг (а»агг — а,г) (18) Рнс, т. Ваа с двумя таскам» Рнс. в. грорна орогнбов вала с двумя дн.
снами Кри крнтячесаих угловых скоростял Сравнивая втн равенства с равен. ствами (32) и (ЗЗ) гл. 21, можно вн деть, что критические угловые ско. рости совпадают с круговыми частотами поперечных колебаний т. Этот вывод справедлив при произвольном числе масс. Вал, несущий п дисков, имеет такое же число критических скоростей. Ко>квай критической скорости соответствует своя форма прогибов. Для вала с двумя дисками формы прогибов при первой и второй критических скоростях покаэзны на рис. 8. ВАЛ С НЕПРЕРЫВХО РАСПРЕДЕЛЕХНЫМИ МАССАМИ пасгмо рим вал с непрерывно распределенными массами с концевыми ша нирнлми опорами (рнс.
9). усть т (х) — масса единицы длины нала в сечении х. Величина гп (х) должна учитывать как масгу диска, так и массу вала. Крнтнческне скорости рассматривают. ся беа гнета алкания гнросконнческнх меме в тон. Ваз с непрерыано распределенными массами 411 отк)сда С к кк, о о С к О О где кк, О О С к1 кк, о о к Рис, О. Вез с Оассрсдекснеынн нассамв Если, например, на участке аьла данной ЛС = 1О см расположен диск массой 20 кг, а масса самого вала в пределах участка 2 кг, то гп (х) = = 2,2 кг)см. Величину т (х) прннимьем постоянной на всем участке. В изогнутом положении вала на него действует распределенная на- грузка д (х) = ыкщ (к) р (х). (19) Перерезывающая сила в сечении сс (х) ос + 1 О(хс) дхс, о где величина х, представляет собой переменную интегрирования (О ( ~ к, ( к).
Так кьк изгибающий момент з сечении к и усилие С) (к) связаны равенством дМ (х) СС (х) = М (х) = ~ сС (хк) дхс = О =С(сх+~ ~О(х,)д адам (20) О О Из чслоанн равенства нулю изгибающего момента в сечении х = 1 получаем М (1) = р,,1 + ~ ~ д (х,) дхк ак, = О, о 1 1 11 = — — 1 ) д (хэ) дхзд 1. 1~ з Внося значение Рск в формулу (20), находим М (х) = ~ ( а (ха) Нхрдхс— — — ( 1 О(хь) дхз с(хг.
(21) 1,1 11олученное равенство выражает изгибающий момент в шарнирно опертой по концем балке прн произвольной зпюре О(х). Лля рассматрнвьемого случая д (х) выражьетсн равенством (19) и потому М (х) = ы' ) ~ сп(хк) р(хк) дхадхс— (о о х Г --(( оземь.ь). ье о о Последнее соотношение запишем в более краткой форме: М (х) =- юзАО (х), (23) Аи(х) = ~ ~ т(х,) р(хз) дхсс(хс— — — ~ ~ т(кз)у(ха)дхзах,. (24) Льлее следует учесть основное уран.
нение нзгнбь вала — (25) ахк Е1 (х) ' где Ез' (х) — жесткость сечения вала на изгиб. 412 Критические чистили арап(злил зализ Проинтегрировав оое части равен. ства в пределах от 0 до х, найдем — = ~~ — -л,+у (о); с(у (х) Р М (х!) Д 3 Ез' (х() о повторна операцию, получим х У (х) =.
) ~ с(ха с(х(+ ' М(х,) Ез' (х,) о о -(- у' (О) х -(- у (0). (26) В рассматриваемом случае у (0) = О. а из условия у (!) = 0 следует: Сх, Ц„( с(ха с(х( -(- у' (О) ! = 0 М (х,) или С .т, ( г (' (" м(х) ! .1,) И(хэ( о о Подставив это равеншва в уравнение (28) будем иметь хх, У (х) ~ с(хэс(х( (( М(хэ) .) Е/ (хэ) а 6 ( х Р" М(э) с(хэ с(х(. (27) Еу (хэ) о о Э(о уравнение выражает прогибы вала прн произвольном распределении изгибающего момента. Если )честь соотиашеиие (23), то уравнение (27) можно представить в следующен форме; у = ыэКУ, (28) где Ку — сокращенная запись ии. тегральных операций (интегральный оператор): г'Л Ао(хэ) Ку= 1 ( — "Ьэйх,— Еу (хэ) о о (х, х г ' Аи(хэ) — — и э((х( (2й) ! 3 1 Ез'(х) пх у, (х) = з(п —, (301 или 4х (! — х) у,(1 (х) = .
(31) Окончательный результат ие завн сит ат выбора нсходнога приближения Следующее приближение для прогибов у(,1 определяем в соответствии с равенством 2 у (1 — — ч((((КУ(о(, (32) Ку(о означает, что величина у (о долю.иа быть внесена в соотношение (24), н затем после вычисления Ах (х) следует определить ннтегра.(ы, входьщие в равенство (29), Интегралы определяем приближенна по правилу трапеций. Первое приближение для определе. ния критической угловой скорости находим нз условия равенства исходного н последующего приближений У(И = У(о(. (33) Зго равенство (в нриближенном расчете) не может быть спр зедливым длэ всех сечений, поэтому ограннчн.
ваются удовлетворением его лишь в сечении, где прогибы чзибольшие. В рассматрюваемщ случае можно принять в качестве такого сечения х =- (72 (середину пролета). Тогда па соотношениям (32) н (За) 2 Уэ ((1 Ку (341 к 2 2Т((я контроля можно привести ещ. одно прнближеьне. Уравнение (28) представляет собой интегральное уравнение для определения критических угловых скоростей. Его решают методом последовательных приближений, причем в пргк. тнческих расче(ах больше двух прнбли кеиий не требуется (аторое приближение — для контроля). Исходное приближение у,о( можно выбрать в виде плавной кривой, удо. влстворяющей условиям у (О) = 0 и у (!) = О, например 413 Вол с нелрермана распределеннымм массами ) ! 4>99 6>р0 Я ад Лу <с> >О™ Н см" ж <н>, нт> н о, см "<о>< 1( 9 1 <х> о зс во 1>О 150 >ао 215 256 265 З>О ЗЗ5 зба ззо 394 406 430 <,О 27,9 26.0 24,1 2<,З 23 9 23,9 25.2 22.4 8.8 7.4 б,б 4.О 45 251 263 »13 таь 293 Заб З>» Зьб 297 276 264 264 147 116 45 о о 0.260 0,22> О,ьзб О 723 О,бй> 0 963 1,>СО 0.992 О.» 5 0,775 0.650 О.502 6,37О О 272 О.>ВЗ о О,бон О,И> О 908 О,Ь>З 1 ООО О,Оьб 6,694 0,805 о.бзз 0,545 0,411 О,ЗО7 0.211 0 рнс.
19, Схеме ноно н мере орь Велнчнну у„вычнслкем нз соотношения (32), так как ы'1 н Ку нзвестны. Велнчн»у Ку 1> опредслнем так хе. как Ку >, но функпню 9<0> заменяем у,,>. 1. К р»счету нрмтнчесннн частот ерьщсннн ротор» й> йу Ж Д( Хсъуаень ю аааи аанае чснду асан~ Сода>а»а>ад Знзчекяе ы, находим нз равенства 2 У<1> <м<2 —— — ~ . (Зб) 2 Так определяют первую (нанменьп>ую) критическую угловую скорость. Расчетные сеченая нужно выбнр»жь тзк, чтобы были о<ражены ре»ннс язмснення в распределение масс н жесткемтей сню<емы (см. рис, 9).
Прнмер. (>пределять первую крятнческую частоту вра<пення ротор» центробежного номпрессор», зсклз которого прмнгдсн на рнс. 10. Частота вра<пелин вала н = 30об мнн '. В таба. > приведены расстоннин расчетных сечений х до левой ~поры. значения >и (х), Ед (х), исходное прнблюкенне зля прогибов у,о, (х), полученное по равенству ,'31) н прогибы первого приближенна у<,> (х>. Первое прнблнженне для хрнтнческой угловой скорости и<1> — 134,б рад/с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
