Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Второе 414 Критические частоты вращения валов лг лг Рвс. Гг. Оащеа случеа расчета крвтвче сквс чвггог врещеввв двувопорвого вале приближение, определенное по функции прогибов первого приближения у!!1, будет ы1а! = 187,1 рагос (пг, = = !788 ыии г). Общий случай определении критической угловой скорости. Рассмотрим вал (ротор) переменного сечения (рис. !1) на двух шарнирных опорах, загруженный произвольно распределеннымн массами и моментамн инерции. Массу, приходящуюся на единицу длины вала, обозначим т (х), момент инерции на единицу длины вала ут (х). В соответствии с формулами (10) н (11) на участок г(к вала будет действовачо внешняя сила а'С = евт (х) у (х) с(х и момент бМ =- ыв.lт (к) у' (х) Ых, Перерезывающая сила в сечевик х к О (х) .= го' ~ т (х,) у (х,) г(хг + о + 5 (х, аг) )7, + 5 (х, аэ) )7в (381 где 5 (х, а,) = 0 прн х( а,; 5 (х, а,) = 1 прн к) а,; 5 (х, а ) = 0 при х ( ав! 5 (х, а,) = 1 при «) ав.
Введение сднничнык разрывных функций 5 (х, а,) и 5 (к, ав) значительно упрощает схему расчета, так как позволяет записать в единой для всего вала аиалитичесной форме вы. ряжения для перерезывающей силы н изгибающего момента. М (х) = ывА р (х), (43) Изгибающий момент в сечении [кх М(к) = ыв ~ ~ т(ха) у(ха) Ыхаакг+ о о к ,[ ...,.,+ о +5(х, аг))7 (х — а)+ + 5 (х, аа)')7в (к — ав).
(37) Равенства (36) и (37) запишем а более краткой форме: 1) (х) = ывАгр (х) + 5 (к, а,) )(г + + 5 (х, а,) Яа! (38) М (к) = ывА,р (х) + 5 (к, аг) Х Х )7г (к — аг)+ 5 (к, а) )7а(к — а,), (39) где Агр (х) = [ т (к,] у (кг) бхг! (40) о хк, л.(ч=)' [ пенне г* -; + ~ У„(хД у' (к,) г(хг. (41) о Из краевых условий О(1) —.=Он М(1)=0 получаем с помощью равенств (38) и (39) 1 Я - — ые — — [(1 — а ) А,р (1)— ав — а, — Авр (011 )Са = гое ~ Авр (1)— ав — аг 1 — (1 — аг) А,р (1)!. (42) Теперь, учитывая равенства (42), запишем соотношение (39) в виде Вал с ненрерыено распределенными массами 415 прячем Аз(х) = Аее(х) -(-Я (х, аь) ' )< Х И! — Ое) А<З (!) — Аье (1)) + + 5 (х, ае) — ' [А,о (!]— а,— а, — (! — а<] А<о (!)). (44) Уравнения (25) и (25) сохраняют силу.
Используя завяснмостн (2б) и (431, получаем у <х! = <Ое ) ) дха дх< + Е! (хе) о о + у' (0) х+ у (О). (45) Из условий У (а,) = 0; У (а,) = О (4б) получаем систему двух уравненнй для яахождеаня у' (0) и у (0): ' А, (ха) д) Ее о о + у' (О) а, + у (0) = 0; <47) ые 1 1 — дхе Дх<+ ~,) Е! <,хе) о о + у' (0) аз -1- У (О) = О. (48) Определяя нз зтях уравнений у' (0) н у(0) н внося ях з формулу (45), получаем основное расчетное уравнение у = ызКУ, (49) где '" А„(хз) "-Л - „,""'"- 0 0 г" о о а,к, 0 0 а,к, 1 Г Г Аз<хе) .4- а, ~ ~ деках<в ае — а, ~ О О Ее(хь) о о — 1н1 о о Для расчета требуется зна чы1не у' (х).
Его вычисляем по фор муле У' = <ОеК'У, (51) где д г Ар(х) — (КУ) = К'У= де<+ д 1 Еу (х1) + ~ ( 1. дхе де<в ак — а< ~.~ д Е/ (хк) о о г г' 4е(ха) — — дхедх< ~. <52) д.) ЕУ(,) о о Уравненяе (49) решаем методом последовательных пряблнженяй. В качестве исходного прнблнженяя можно выбрать у<о, (х) =- С (х — а,) (х — а,). (53) Постоянная С несущественна для расчета.
!<ля однообразна вычислений ее можно определить нз условия У(0) Если, например, нанбольшее значение у<о< „,„прн х = 112, то 1 ( — — а,) ~ — — а,) В ояончательной форме (х — а,)(х — аь) У(01 (х) ~ — — )( — ") ' (54) 2к — а, — аз У<0< (х) =- ( — — а,) ( —,— — ае) 416 Критические частоты вращения еалое (59) где козффициент у = ы'Ку (ОН у= ы'Ку, (56) где ! у,Куш>(х кау =- ку — у, о (57) ] лчуз> Ых о Величяиы у, (х) н уо (х) должны быть подставлены в соотношения (40), (4!) и далее в (44) и (50). В результате находим Ку о>, после чего величину ы«> определяем из равенства 2 где хы — абсцисса сечения, в котором величина Ку,о> имеет наибольшее зна. чение; часто зто сечение является одним из концевых сечений вала к = 0; хт = 1 или серединой пролета 1 х~ = — (а>+ аа) 2 Гели требуется определить второе приближение, то вычисляют величину 2 3 у>„— — ы«,Ки,о,.
И далее с помощью раненства (52) у» = ы>»К у о (55) Никаких новых вычислений для определения у >и в сущности, не требуется, так как все входящие в равенство (52) величины были рассчитаны ранее. Определение второй и более высоких критических у~лозых скоростей. Рассмотрим сна шла случай, когда гироскопическим момен ом можно пренебречь. Лля определения второй критической скорости вместо уравнения следует решить уравнение В атом равенстве Ку определяют прежним способом, а у, (х> представляет собой форму прогибов прн первой критической скоросгн. В качестве у, принимают последнее приближение прн определении ы, (обычно принимают у, = уы>). Нсходное приближение прн определении второй критической снорости можно выбирать произвольным, ио целесообраз2ю задать такую форму, которая, кроме опорных точек, соде жала бы один узел.
апример, предполагая, что узел 1 расположен в сечении х .= — , можно 2 ' принять ! д усо> —— С(х — а>) (т ат) (х — 2 ! (58) и выбрать С таким, чтобы у,„= 1 Последнее условие не является обя. зательным, ио оио обеспечивает некоторую однотипность вычислений Величину у<о получаем диффереипарованием равенства (58): у,> — — С ~Зх — 2 (а, + а -1- 2 + — -! к+ а,аз+ 2 ! ! ! +а,— +аа — ]. 2 Равенство (57) можно представить з виде К,у = Ку — 6>у>, (60) ] ту,куе(х о 5>= ) ту> >(» о Такая структура формулы (60) объясвяется тем, что форма прогибов, соответствующая второй критической скорости, должна удгвлетворать условию ортогопзльиости у, (х) у, (х) т (х) Лх = О.
(62> Вал с непрерыано распределенном массами 4!7 Слагаемое В,д, в формуле (60) зочнщаетз опера~ар Ку от составляющей по первой форме. При определении третьей критической угловой скорости приходится обеспечить условие ортогональностн не только по отношению к первой фо ме, но и ко второй. ассчитывают прогибы по уравнению у = ызКзр, (63) где Кзу =- Ку — Вгу — Взуз, (64) причем значение Вз находят из ра ненства (6!), а ) ркр6 рз =- щу, г(х г о (65) 1 (ш (х) у~ (х) р,э, (х)— о — ум (х) у! (х) уэ (х)] з(х.= О, (66) где уг (х) и уз (х) — формы прогибон прн первой и второй критических скоростяз. 14 заказ 402 Исходное приближение пелесообраз. но выбрать так, чтобы оно, кроме то.
чек закрепления, содержало два узла, Подобным способом можно опреде. лить более высокие критические ско. рости Однако для определения третьей критической скорости необходима по. вышеииая точность расчета, а расчет четвертой н пятой скоростей практн. чески затруднителен. В большинстве конструкций определение этих крити. ческих скоростей ие требуется, так как они лежат за пр делами рабочих частот вращения.
Г!ерейдем к определению высоких критических угловых скоростей с уче. том влияния гироскопических моментов дисков. При определении второй кр нтнче. ской скорости следует принять во вннмачие условие ортогональности в таком виде: Расчет ведем по уравнению (56) с учетом равенства (60) для Кеу н принимаем (67) ~ [жуя! — з' (у,) ! з(х В этом равенстве К'у = — (Ку), дх которое находят по формуле (52). Третью критическую скорость рассчитывают по уравнению (63), певчем значение Вз берут по формуле (67), а ! ( раку — 7 р,К у)ах о рз— (66) Г)'(щр,— ум(р,) )дх о Г1ри очень сильном влиянии гироскопического момента дисков (яапример, при расположении дисков вблизи опор! может случиться, что при решенин уравнения (49) расчег сводится к первой форме у, (х), но соответстауккцая ей угловая скорость оказывается мнимой (ы~! ( 0).
В этом случае нужно перейти к расчету второй критической скорости, используя, как обычно, условие ортогоагльности по отношению к полученной форме прогибов у,(х). Вторая расчетная критическая скорость будет для такой системы первой действительной критической скоростью, с которой только н нужно считаться в дальнейшем. Пример. Определить вторую критическую частоту вращения ротора цен. тробежного компрессора (по данным примера но с.
413). Определив по формуле (53) искодное приближение уз (х), найдем коэффн. циент ()з по формуле (61): = — 6,73 10 т. Первое приближение лля второй критической скорости Ы!!1 = 758 РалУс, второе приближение ыГе) — 766 рад/с (л„(я) —— 7120 мнн з), 418 Критические часгполгог вращения валов Расчет критических частот вращения с учетом упругости опор.
Во многих практических задачах прн расчете крупнческих частот вращения роторов приходится учитывать упругость опор, Для роторов быстроходных машин с успехом применяют специальные упругие опоры, которые дают возмож. ность перевести критические скорости в зону малых частот вращеняя, не используемых при рабочих режимах. Упругие опоры позволяют изолировать корпус от вибраций ротора н снизить нагрузки на подшипник 1.
Полное устрвненне рвднвльноя нв. грузкн нз опору нежелетелько, тек кок прн ттом в подшнпннкея квяемн» режим кеэення может смена~ноя режимом сколь. меняя, прнводящнм к ннтенснввому язве. шнввнню. Рмс. 13. Упругое кольцо Рнс. 1З, Конструктивные схемы упругнк опор~ о — упругое кольца с еередующнмнся вы. ступами, б — пакет тонкнх колец; е— упругое кольцо с прорезями Применение упругих опор целесообразно сочетать с введением дополнительного демпфирования в систему за счет вытеснения масляного слоя при колебаниях и других видов трения (упругодемпфнрующие опоры). Конструктивные схемы упругодемпфнрующих опор показаны на рнс. 12. Конструкция упругого кольца приведена на рис.
13, а основные размеры даны в табл. 2. Сялы демпфирования оказывают зиа. чительное влияние на частотные ха. рактернстики системы, и при определении крнтпческнх частот вращенив ими можно пренебречь, Схема ротора на двух упругих опо. рах показана на рис. 14. Рнс. !а. Ротор на двув упругнк опорая Вал с непрермено распределенными массами 4!9 2, РазмеРы (мм! упрутото кольца (см. Рнс. 131 О,!65 0,152 0.305 0,194 10 12 125 128 0,120 0.170 О,ззо о.г!о 10 12 6! 58 16 (зг 9,130 0,160 5 !О 60 0.376 0,230 (О !г !34 137 о.!оо 0 120 !44 !49 154 ! 10 !2 0,400 О. 273 147 б 0.270 12 0,299 14 1 0,204 7! 152 О. 313 О. 156 75 78 0,325 О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
