Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Одной из основных задач расчета является олределеине собствечных частот счс «мы для выявлеияя рглоиаисимл обаротса. Одномассочая система. Пусть имеетсч вал пос оннчого сечехчч с закреп. ленным ча нем энском (рис 8). Рассмотрим трав»ечяе лэнження (впащечия) аискч при отклонения его от положения равиоиег1 я иа угол 9; ут — „— -. — М, (17) бх9 М = с9, (19) Кпршиллнме коссбаноя 3РУ к=у д=гг ))(ветхость яала на кручение. Лля прямолинейного вала иМеем Ос' р с=— ! Е 'тде 6 = — — модуль упруго- 2 (1 -1- ч) дти материала на сдвиг, для с!алей ',0 = (0,78с-0.83) 10' ХПа; у р — по!лярный момент нлерции сечения; для сплошного вала пбс Р— 32 Нля вала с отверстием и (оч — ес!) 32 здесь б — нзружный диаметр, д!— диаметр очверстич. Если сечение вале ослаблено шпоноч.
ными канавками или шпицами (рис. 9), го в ф рмуле (21) следует принимать и (о — ьй)с 32 где й — глубина канавки. Значения коэффициегта й приведены на рис. 9. Лля голого вала со шлицачи г ((б — 1,88)с — Дс) ур-—- 32 Рас. хо. Переселена участок села и=а Рнс. Е. Сечсаас аасоа Если ечл имеет стхченчатый переход (рис. 1О), то участок с болюпнм дгамером че сразу вкл!очаетгя в расчхту. В равенстве (21) длину с меньшим диаметром увеличнеакт нс б! =- Рс), причем прн радиусе закругления г = = 0,1с( можно прини"ать Ф = 0,055, если — < 1,85, и й =- О,!25. если )3 й — )4 Если имеются часто повторающгеся кольцевые выступы тига лабиринтных уплотнений.
то сли определении жесткостч их пе учитывают Прч совместное работе на кручение двух деталей, например рч шлнцевом спею*ненни (ргс. 11! или прч грессовой ЧОСалхс, ГРНННМаше, ЧтО РГУтРЕ Чуй вал закручччается с каждой счо сны на ллигс 1! = 0,254, Пра го!учет жЕСтнсгтЧ СРЕДНЕЙ Ч.гтв УЧНтчеахот жаеткость а улан Момент и. ернии !4оче"том ичелцчн массы относгтельно осч чазыегют суч- Рас, !!. Соансстнее аоччевве часа ч асуане Крлебониа упругих систем 398 гот =- ~ гарт()г = — Мосе, 1 2 (22) (24) Рис.
4!. К определению моменте инерции диска му Хгтбт, распространенную на нсе частицы тела (здесь г — расстояние до оси вращения); где р — плотность материала: объем тела. Для диска (рис, 12) будем иметь и Ут = 2пр 1 гел !(г = — рпсс™ =- 2 О где М вЂ” масса диска, кг; момент инерции массы в кг ме, Для деталей сложной формы момент инерции определиютэисперимептальио. Один из методов состоит в том, что на тонком валу (проволоке) подвешивают деталь, момент инерции которой требуется определить.
Отклоняя деталь от положения равновесия, вызывают ум! ~луг ~аз умр К Рнс. 44. Миогамлссоеле «ру. тильиеи системе Рнс. !3. Деухмлссоеле ирутильили системе крутильные катебания с периодом Т. Затем к той же проволоке подвешивают диск, момент инерции которого у„,! известен. Если период колебания этого диска равен Тг, то Тз гпь = Ут! — ! ° (23) ! Частота крутнльиых иолебаний Для определении частот будем использовать метод динамических жесткостей. Для двухмассоиой системы (рис. 13! частоту можно определить иэ условия равенства нулю динамической жесткости в крайнем сечении.
Последовательно находим Кд=91 К,= — Усеср! — л' пгрзг, Кв=- с — люто ' Кг=Кн — У эра= у„„рэс з стер =9 с — л грэ Иэгибнаи колебания далее сэ э тэр (28) Из равенства (24) получаем Р= с ( ~та+ утэ) =ь~ утята Эта система обладает еще н нулевой частотой, которая не представляет интереса при анализе нолебаний. Рассмотрим систему со многими мас- сами (рис. 14) и в соответстяии с мето- дом динамических хаесткостей разде. лны эту систему в сечении Г. Так кзк амплитудный угол поворота в сечения Г для левых н правых частей одинаков, а направление крутящих моментов различно, то сумма динами.
ческих жесткостей левых (Кг ) и пра. вых (Кг ) часгей Кгл + А го = О. (26) Переходя от участка к участку, находим Кя=б Кь== — У иэР*: Кв =— .'т,рэс, сэ — Э т эра Кгл = Кв — э пэр э э, Р~ Сэ(этэ+ этэ) Р с1 — ]т1Р Подобным способом получаем К .=О; Кж=Кэ — у Кд = — Утэр*сэ сэ — э~ эр Кд=- э тэр'сэ с„— у,рэ Этэутэр сэ(Эта Ф Утэ) Р . К,с, Кг =— КЛ+ сэ сэ (Утэ т4Р сз (Утэ+ тэ) Р ] этэУтэр~ ]сэ (~та+ 1т4) + + сз/т4] Рэ+ сэсэ Затем строят графики Кгл и Кто и находят точки их пересечения (резо.
иансные частоты) Предварительно определяют значения рью при которых знаменатели обрасцаются в нуль (зертикальные асимптоты), и значения рэ, при которых числятелн обращжотся в нуль, Если представить динамические жесткости в яиде отношения Кгл = —; Кг,=— ]г(р] . ]1(р) Фэ (Р) Фэ(Р) то отыскиваются, следовательно, нули функций <р,(р) и <рэ(р) и функций ], р) и ]з (р).
практических задачах прн большом числе масс нули функций находят построением графиков функций. В рассматриваемом случае указанные зваче. ния можно получить из аналитических формул На рис. 14 показано решение уран. пения, дающее собственные частоты колебаний. Рассматриваемая система имеет че. тырс частоты, если считать также нулевую частоту. В более слокных случаях частоту определяют с помощью специальных методов, нз которых наиболее эффектньным является метод Толле (метод остатка) . ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Колебания этого вида связаны с изгнбной деформацией стержней (например, колебания греза на несущих балках, колебания лопаток турбин и осевых компрессоров н т. д,).
Одномассовая система. Рассмотрим колебания груза на невесомом стержне (рис. 15). Уравнение движения массы яэ †, = — Р, (27) где сила упругости 1 Р= — и, а "' В этом равенстве а — прогиб балки (в месте приложения груза) под действием единичной силы (коэффициент податливости). Иэ уравнения (2т) получаем т — + — у=О, (29] Дэу ЫР а 400 Колебания упругих сиднеем Рнс. гб. Нтснбныс аолеааннн одномассо- ноа системы Круговую частоту изгнбиых колебаний определяют по формуле 1 р= Это равенство справедливо вля любой одно иагсолой системы! груз может быть расположен между опорами нлн консольно, различие только в величине а.
Решение уравнения (29) прн произ. вольных начальных условиях будет таким. у = у, сод (р! -1- ~р) где у„ — алсплитуда колебаний; !р— сдвиг фазы, завися ций от начальных условий. Если подставить зто соотношение в уравнение (29), то получим 1 Р Ргуо '= УЕ.
Последнее равенство можно ястолковать следующим образом: сила упру. 1 гости — уа равна инерционному усилию а ргту, инымн словамн — амплитудный е. г грогнб у, вызывается силой р туа. Статическая аналогия состоит в том, что вместо колебаний рассматривают амплитудные колебания системы, вызванные амплнтуднымн величинами инерционных сил (ратуе представляет собой инерционную силу в крайнем положении системы).
Двухмассовая система. Пусть балка несет две массы лтг и Ргг (рис. 16). Амплитудный прогиб создав ся усилиями ранг!у! н рантауа поэтому ам","'у'+ '"', ' ~ (ЗО) у =а режу+а,ра,пу где коэффициенты податлнвости означа!от: о.„ — прогиб в сечении ! †! от единичной силы, прнлоэсеяной в том же сечении; а,а — прогиб в сечении ! †! от единичной силы, приложенной в сечении 2 — 2; аа, — ~ рогиб в со!енин 2 — 2 от единичной силы, приложенной в сеченни ! †(;а„ вЂ” прогиб в сеченнч 2 — 2 от единичной силы, приложенной в том же сечении. Коэффициенты пода линос н могут быть определены с помощью интеграла Мора. Из условия взаимности для упругих систем следует." аы = ам. Уравнения (ЗО) можно записать в виде (Раагглт — 1) У! + Ргхганг Уа —— 0; ~ РгаахтгУг + (Рга„та — 1) Уа = О. (зП Отсюда находим у! р а!гога у Раас!на! — 1 У, Рааыта — 1 у„р'аюю, Приравнивая эти отношения, полу- гаем уссгоние для определения собственной частоты ' (характеристическое уравнение): рая нтг (а„агс — а-'т)— — Ра (амит! — асгнгг) + ! = — О.
В более общем слухал характеристическое ураансннс получаетса после прнрааннааннн нулю детерминанта системы однооодных ураансння. г( 21 Рнс, !е, иаснбные аолсбанн» днуамассонод снстсмы Иэглблыл колебания 401 Нз последнего УРавнениЯ полУчены два значениа частоты Рд и Ра: а„т, + азата — (/(а„т, + а,ста)' — 4т,тз (а„яю — а,'з) . 2т,та (а„са,э — а,'а) (32) Рз яыт, + а эта+ )/(а„гл, + азата)з — 4т,тэ (а„язз — са,'з) (33) 2ла) тз (яыазз — а!зэ) л(ла — 1) 1 з / Е/э Рп =- —,— — э ')/ э (33) )г ла+ 1 1 ° / ЕУ и (л' — 1) 1 у /гЕ')в Ег г йг )л 1/ л'+— СТ (36) 1 = — „° Рп п — 2п а) Низшей частоте (р,) соответствует форма колебания, котла обе массы двигаются в одну сторону; частоте р, соотэетствуег движение масс в разные стороны.
Если система имеет ч сосредоточенных масс, то опа обладает таким же числом частот и форм колебаний з, причем каждой частоте соответ. ствует своя форма колебаний (распределячие амплитудных отклонений по массам). Изгчбные колебания стержней постоянного сечения. Задача имеет точное решение Частоты колебаний определяют по формуле где ).„— безргэмерный коэффициент, зависит от формы колебаний (наименьшая частота соответствует первой форме колебаний л = 1) н от условий закрепления. Значения дп приведены в табл. 1; л — номер формы колебаний (и = 1, 2, 3, ...): 1 — длина стержня; Š— модуль упругости материала; /— момент инерции сечения стержня; т— масса единицы длины стержня Если стержень не имеет равномерно распределенных присоединенных масс, то тпм РЕ, где р — плотность материала стержня; Š— плошадь ) оперенного сечения.
Частота колебаняй, Гц, Иагнбиые колебания колец. Рассмотрим изгнбные колебания кольца постоянного сечения с равномерно распределенными массами. тавретямескя «оэмоыая случая, когда двум раэяым формам колабаяяэ совтзат. атвуат вдвмаковва зяачаява частоты, яв тэква слумаа крэтвыа час~ яа имеет яракгвмагкп в зяамаяяя. Гы)осине колебания кольца с двумя узловыми диаметрами показаны на рис. 17, и. Круговую частоту колебаний определяют по формуле где л — число узловых диаметров (номер формы колебаний э), л = 1, 2, 3, ...; г — радиус кольца, Е Гав жесткость сечения на изгиб в плоскости кольца, т — масса единицы длины. Для колебаний, перпендикулярных к плоскости кольца (рис 17, б), будем иметь где СТ вЂ” жесткость сечения кольца нэ чрученне; Е.) — жесткость се сино на изгьб относительно главной оси, лежашей в плоскости кольца.
Остальные обозначения те же, что н в фор. муле (36). Квзебавяю с адяям узловым впаяв. тром !л = )) соответствует нулевая яа. стога Рмс. э э. Калабаям» калан с равмвмэряв распрвдалвяяымм пряаввдвяввмымм масс амн 402 ! 1 1 .Е х х х о х х б3 р х Ф х х 1 1 с 4 1 1 .е с .с и ь в х „- о'2 о х х б) х х х х х в й х х х х х х Колебания упругих систем Чистоты собственных колебаний динамических систем 403 пп у Н рн = — ~/ —, (37) $. Формулы длл определении собственной (зрутовой) час~зги лезоторыв систем Эскиз Частота =~+ з/ с ут ЯтччччччыыЯ ра = О: с (та + лсз) Р. = тата и' и) с Ра = О; с(у о+ утз) Ра = -ь' ~ ы ,)м, т рс = о: (а (у, 4- у,) р, + лы лзз ( т у с, са Эубча ал передача при невесомых зубчатыа колесва н валек с,(ы, + та)+с,лт, ).з 2ыстч Ф"и 2Н у"(с, (т, + лс,) + с,ет,) ° — зыст,сала 2лзаыа Поперечные колебания струны.
Кру. зовут частоту поперечных колебаний струны определяют по формуле где л — номер формы колебаний (л = *= 1. 2, 3, ...); ( — длине струны; Н вЂ” снлв нвтяження струны; т— мвсср единнпы длины струны. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Значения круговых частот колебвни й некоторых диивмических систем привелены в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
