Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 79
Текст из файла (страница 79)
гнбные деформации (выпучнваиие) появляплся с самого начала действия сжимающей сялы При приближении силы Р к ее критическому значению Ри прогибы резко возрастают РАСЧЕТ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ В реальных конструкциях неизбежны некоторые отклонения осн стержня от прямолинейного направления н эксцентричное приложение сжимающих сил.
Поэтому уже прн нагрузках меньше критических начинается боковое выпучнваиие стержня и напряжения в его поперечных сечениях распределяются неравномерно. А(акснмальиое напряжение а сжато-изогнутом стержне при качальном прогибе а (см. Рис. 5) Р атак = о (! + — Умен~ г (24) Р где о = —; (Р— момент сопротивле- Р ' иня сечения прн иагнбе; а Утек = ° (25) 1 —— опр С учетом формул (7) — (9) получим отек = а 1+ ), (26) охк пкЕ а )/Ру М= — —. 1 В' Когда максимальные напряжения ат н достигяут предела текучести при бе ММа бг тру !7 Учу Ур 7217 УД)7 А Рис.
у Эеепсимосче »редев»мого иепр»демин пц е оу сна»ости Х дли стал«оча: о — нригнчесное напр»жение длн упругого состонни», П вЂ” с учетом плестчесник деФормаций сжатии о„среднее сжимающее на. пряжеиие о = опрец. Обозначив опред ф = — < 1 (28) оч н подставив в (26) соответствующие значения о,„= о„и о = оар,д, получим уравнение ! МХ вЂ” =1+ 9 део (29) у пеЕ связывающее коэффициент гр с гибкостью )с. свойствами материала а,г'Е н геометрическим параметром М. На основании статистических данных можно считать, что влияние начального прогиба и эксцеитриситета достаточно надежно учитываются, если принять — т (1 †:- 2,5) 10 ". Величина )/Г7797 = 1 для двутавроаого, 1'3 = 1,73 — для прямоугольного и 2 — для круглого сечений.
Считая в среднем М т )/3.10 е —— = сонэ!, можно нз уравнения (29) найти для данного материала зависимость гр(Х), определяющую величину перед, как показано иа рис. 7. При Устойчивмть стерзслей а,г; а го а,оз 0.06 ОЛ1 6.19 О.ге 0,14 О,га О,!9 а.!! о,!ь о.!з 6,12 О. !1 0,16 0.14 О.гг О,!! о !о 0.09 О. 26 0,23 0.2! О,!9 о,!т О,!6 ПО 160 196 2ОО 210 О.ьт а.н О.
34 О. 26 0 20 0,16 О.ао о т1 0.6! 0.46 о. зз о.аг 0.72 О. Оа 69 О.ЬО 0.43 О. 36 Оыг 0.32 О 2З О. !6 О. ! 4 0.1: 60 60 то 60 Оа 1оо 11а 0,66 О.за 0 49 0.60 О.эч 0,69 О,зо Оа! О. 16 а. 60 0.60 0,62 6,64 О.тз 0.21 0.63 0,64 О.46 О. 39 О,З! ! 220 4 Л -ч 0 величина !р-е 1, т. е. Оаред = = а; при Л вЂ” е ео величина !р пеЕ'гйеа», г. е перед -- 06„. Значения ф (Л) для некоторых матер!* !лав приведены в табл. 2.
1". учетом необходимого коэюфнцнента запаса про!ности п (для сгалн обычно я = 1,5) допускаемые максимальные напряжения при сжатии [и] =-— от п (30) а допускаемое среднее по сечению напрнженне [а]ер ---- !р [о]. (31) Г!Озтому условие прочности сжатых стержневых элементов конструкций с учетом вазможности их бокового зыпучнвання принимает вид Р и= — ..!у[а] (32) или, в часто употребляемой записи. Р о,„= — ( [а). (33) фР В формулы (32) и (33) подставляют площадь брутто (всю площадь сечения без учета местных о лабленнй). При налкчнн значит.льных местных ослаб. лений производят дополнителькую 2. Эиечеене ееэаанцненее а проверку на прочность по площади нетто Р„, учитывающей зги ослабленнч.
по формул~ — „— ( [0]. Р 134) н В обц!ем случае натруженна гибкость Л определяют по формуле (5) с учетам значений ьазффнцяентз !1 по данным табл. 1. В ряде случае.в работоспособность конструкции мо,кег ограничиваться допустнмымн значениями прогнбоа прк боковом аыпучнвчннн сжатых стерж. невых элементов. Если нет спецяальных ограничений, то вводят допустимые предельные гибкости [Л].
Длч основных странтельчых конструкций принимают [х) = 120, для остальных допускают [Л] = 150 †; 200 [3]. Пример. Подобрать размеры двугаврового се!ения для шарнирно опертого стержня длиной 2 м, сжатого силой 200 кН. Материал — Сгб с [и] = = 150 МПО. Задаемся произвольным значением коэффициента О < ф < 1, например ф = 0,5; переводим силу в Н, напра. женки в Н!ме и определяем Р 2 104 Р= — = ф [и] 0,5,! б 104 = 2,5 !О з ме == 25 сме. По сортаменту подбираем двугавр № 15 (Р = 2б,! смт; ! = 1,50 см). Потеря устойчивости при упруголлостичгских деформациях 385 Определяем гибкость — — 8 Π— — 105 8.
2 ! 1,89.10 е По табл. 2 с помощью линейной интерполяции находим Ф = 0,554, что достаточно близко к принятому выше значению. Величина Р 2 10е фЕ 0,554.2,61 10 з = 1,383 10" Н/ме = 138,3 ГИПа. Так как 138,3 ( !60, то условие прочности с учетом бокового выпучвваиия удовлетворено ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРй)АЦИЯХ Формула (7) справедлива, пока на.
грызение п„р не превышает гредела пропорциональности материала о „, т. е. для стержней диет~точно большой гибкости Л > Л„род, где гг Е . '."="1 пщ В качестве значений Лорел обычно принимают." для стали 90 — 105, дюралюминия 50-60, чугуна 55 — 80, дерева 110. На практике многие элементы кон.
струкцнй имеют гибкость меньше предельной Л < Лвред. Потеря устойчивости таких стержней зависит от вида кроной деформироваиня материала Стержни нз матеряалов с выраженной площадкой текучести (ннзкоуглероьастая сталь) теряют устойчивость, как только сжимающие напряжения достигнут предела текучести, так каи при оар = от дальнейшее повыщенне на. пряжеинй невозможно, и возникающий прн случайном малом отклонении стержня изгкбающкй момент ост ется неуравновешенным.
При определении критической силы стержней нз упрочняющихся матерна. лов, диаграмма деф~рлгирования которых приведена па рис. 8, учитывают, что еш и при постоянном значении сжнмающеи силы Р произойдет искрив. ление осн стер жн я, то волокна у 13 ааааа ат Рае. З. диаграмма Л Вармнроеаааа аааеа- аа упрочаающегоеа иагернааа вогнутой (сжатой) стороны догрузятся по закону бок.= Еабад, где Е„= = 18 а, — касательный модуль, з висящий от положения точки на кривой доформирования, а волокна у вмпук. лой стороны упруго разгрузятся по закону бор — Ебе .
В этих условиях жесткость сечения стержня на изгиб определяют с помощью приведенного модуля Е„р (модуля Кармана) нз соотношения Еорй = ~ Е,у;йр = Р = Е ~ У(йР+ Ек ~ У(йг Р Р„ где Ер н Рд — площади частей сечения, испытывающих соответстненно разгрузку и догрузку. Граница между этими частями (положекие нейтральной ливни, от которой отсчитывают коор. динату у,) определяется условием = Е ~ у йр-1- Е„~ уайР = О. Р д Для прямоугольного сечения 4ЕЕн (35) ()'Е+ ')г'Е„)~ для двутавроього сечения с тонкой стенкой 2ЕЕ„ Еир — — —" .
(36) Е+ Е„' Устойчиаоств стержней Напряжение, соответствующее крити- ческой силе, Рир и Епр а„= —:= .. (37) Р лв Так как Епр = ) (ои,), то для расчетов по формуле (37) вначале строят обратную зависимость ГРпр (онр) "(оир) = и ~/ оип Приведенный модуль Е„р всегда меньше модуля упругости Е, поэтому критическая сила с учетом угругопластических деформаций всегда меньше кри тической сйлы по формуле Эйлера. ВЫПУЧИВАНИЕ СТЕРЖНЯ ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ Критическая нагрузка Рар опреде. ляет момент, когда малое случайное отклонение оси стержня при постоянном значеник сжимающей силы приводит к внезапному иишнсивному росту прогибов (теоретически, в линейной постановке — до бесконечности). Пока нагрузка меньше критической н напра.
женка ниже предела текучести, стер. жень сохраняет устойчивую прямоли. нейную форму и при постепенном воз. растаннн сжимающей силы. Однако в упругопластической стадии нагру. жения, начиная с некоторого значении нагрузки Р»в ( Р„р, прямолинейная форма равновесия при возрастающей нагрузке становится неустойчивой, что ведет к выпучиваиию стержня, резко увеличивающемуся прн приближении силы Р к ее критическому значению Р„р, т. е. стержень ведет себя так же, как прн внецентреииом приложении силы, Рассмотрим это явление на примере сжимаемой жесткой стойни, опираю.
щейся иг два упругоплагтнческих стержня из линейно упрочияющегося материала, кажаый пло|цндью Р Р ( нс. 9). Пусть при некоторой нагрузке н отклонении оси стойки иа малмй угол ф оиа 'находилась в положении Рне. 9. Слн ~вена» ивет»а» стойка на упатгопластичеевих стернина равновесия. Если прн увеличении нагрузки на йР равновесие сохраняется, то должны удовлетворяться соотношения: а) совместности деформацнй йев — йа, = — йф (33) Ь а б) равновесия ' йР йо, + йо, =- —; Р ' йов — йп, = — (Р йф + ф йр); (39) 2! ЬР в) физические соотношения йе, =- —; йе, = —, (аб) йох йов Ех' Ев' где Е,, Ев зависят от положения точки иа диаграмме деформироваиия о = =- ) (с) и знаков йа„йов.
Полом»вель»не прнрещенн» ао вдень соответствуют емвтию Валучизанис стержня при упрусоноастичссних деформациях 387 нв из выражений (38) — (40) я деформаций, получим Р 21 1 — — — — ф Ру Ь Исключ приращени Р ( — Р„) Р 21 1 — Р.+Ьф (41) гр (1 — Р„) где Ь (Е, — Еэ) Р— Ро + 21(Е +Е) р*о р. (44) Риз Ь Е вЂ” Еи ур (р р' )т 21 Е -1- Еи кР 2!и (45) Ьор, Ьор Р;= — Е;, Р:= — Е,; 21а ' '"' 21а гр;Р: Ьор 2Е|Еэ Р; + Р; 21а Е, + Еэ' (42) и дифференциальное уравнение для функции ор(Р) Уф 1 1 Ь Е,— Ео~ с!Р Р"о Р ~ Р 21 Ет+ Еэ) (43) Решение уравнения (43) для участков, на которых Е, = сопз1, Е, = = сопз1, с начальным условием ф = фо при Р = Ро дает нанон изменения углов ф (Р) для равновесных состояний ф = фо, ° Ф Р*' — Р Г!редположнм вначале, что в исход. иом состоянии стойха была строго прямолинейна, т.
е. 4о = 0 при Ро = О. Пока напряжения в стержнях а, = = по = Р,гр остаются меньше пре. дела текучести от, модули Е,, Е, при малых случайных отклонениях стойки сохраняют исходное значение Е, = = Еэ = Е, тогда где Р',„ — критическая эйлерова иа. грузка при упругой деформации даи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
