Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Поэтому уравнение диффузии (3.2.4) в рассматриваемом случае равновесной теплопередачи будет лишним. Система уравнений (14.3.1) решается при следующих граничных условиях: на стенке (при у = 0) Ук=)Г,=О, 1о=ьст Р=рст ь=ьст Т=Тст! (1432) на границе слоя (при у-ы оо) !к„=$~ь, )Г =О, 1о — -ьоь, р=р„1=ьь, Т= Т,. (1433) Для коэффициентов р и Л существуют также функциональные зависимости )ь=р(р, Т), Л=Л(р, Т).
(14.3.4) Преобразуем уравнения (14.3.1), введя некоторые новые независимые переменные и искомые функции. Согласно данным работы [301, введем переменные, близкие по форме к переменным Дородницына (см. (13.3.2)): к У к т)(х, у) =, ' '„, ~рь(у, х(х) =~ рь)'ь)ььфь!х. (!4.3.5) ( 2к ) о о Используя эти выражения для переменных, находим производные: дп/дУ = Р)гь Го/(2 х), ь(х/ь(х = Рвусь Г, . (14.3.6) Для перехода от координат х, у к координатам х, т! необходимо воспользоваться операторами дифференцирования: д д .
дя Овско д (14.3.7) ду дз ду ( 2 к )Н~ дэ 335 Теплопередача — (- р Уз )г ггое ( 14 3 8) дх дч . д д д дх до дх ' дх Для дальнейших преобразований введем функцию тока ф, которую определяют соотношениями (2.5.1). Заменим в них г на г и получим: дф/ду = ррхго дф/дх = — РУ го (14.3.9) Если подставить значения (14.3.9) в уравнение неразрывности системы (14.3.1), то это уравнение превращается в тождество: дзф/дхду— — о"ф/дудх == О. Таким образом, введенная функция тока ф удовлетворяет уравнению неразрывности. Рассмотрим, как преобразуются остальныедва уравнения системы (14.3. 1) при помощи функции тока. Используя (14.3.7), имеем (14.3.10) Интегрируя, находим функцию тока: ф = ) (2х) — * дл.
у, В соответствии с (14.3.3) выражение (2х)1/з не зависит от т). Поэтому, исключая постоянную, получаем ф=(2х) /(е), где В соответствии с этим выражением У„/ Уо = д//дл =/'. (14. 3. 13) При помощи соотношений (14 3.7) и (14 3 3), зависимостей (14 3 9) и (14 3, 11) для функции тока, а также выражений (14.3.!2) и (14.3.!3), найдем оператор, используемый для преобразования левой части уравнений движения и энергии системы (14.3. 1): д д — ь/дф д дф д р(г — +рУ вЂ” — г '— х дх т ду — о (, ду дх дх ду / ,( дф д дф д~) дч дх дч д„дх дл ) ду дх дь дф дг дф Р ого г 1!!2 ду до ду до (2х) откуда с учетом первого соотношения (!4.3.9) производная — = (2х) дф - )1з до Уз (Н.3.
11) (14.3.12) Глава четырнадцатая Здесь производные дф/дт) и дф/дх определяем в результате дифференцирования (14.3.11): дф - 1/2 д1 — = (2х) дт) дт) дф — !/2 д/ — = ( 2 х ) /+ ( 2 х ) — ° (14. 3, 14) дх дх После подстановки этих величин в выражение для оператора, а также замены в нем производных дт)/ду и дх/дх их значениями из (!4.3.6) получим д 1 д д1 д ) Рг + Рту =РР "г Р дх дУ з а ~ дп дх 2х дн дх дт) / (14.3.15) В правые части уравнений движения и энергии (14.3,!) входят выражения вида: (14.3. 16) (!4.3.17) Применим операторы (!4.3.15) и (14.3.17) для преобразовании уравнении движения: „ / д/ др 1 ду д/ др РРз аиа го !( ' ' д ' д ) (, дн дх 2х дд дх дт) т) Здесь производную дра /дх можно определить по уравнению дР, Л', дх — = — р У Их а а дх дх или с учетом значения (14.3.6) для дх/дх т/р Л' рз 2т их а а во х (14.3,18) Учитывая это и заменяя согласно (14.3.!3) (14.3.13') У„= )га д//дя, где й(х, у) — некоторая функция координат х, у.
В новых переменных т), х опе- ратор (14.3.16) приобретает вид или с учетом значения (14.3.6) для производной дт)/ду Теппопередача получаем ду д I д( 1 ьу дЧ ду дь( дя дх ~ ь д|! ) 2х доь ь дх дяь ь д г д~/ Так как производная д / д( 'ь '!)ь д) дь( д ь дх ч ь(х Ч дхдо получаем преобразованное уравнение движения: / д( дьР д) дь( 'Ь дь( дхд дх дя' ) (14.3.19) где РР = Р(ьг( Рь Пь ), Теперь при помощи тех же операторов (!4.3. 15) и (14.3. 17), а жения (14.3. 13') представим уравнение энергии: РР-)гь Р. го (14.3.20) также выра- Для дальнейших преобразований введем безразмерную переменную а (Ч) =1оДоь, (14.3,21) определяющуюотношениеэнтальпииторможения в некоторой точке сечения пограничного слоя ьо =(ь + У„/2 к ее значению ьоь = !ь + 12ь(2 на границе 2 слоя.
Тогда, принимая во внимание, что д(о . да д(о д фоь) дя д(оь — +Ю— дч оь до дх дх дх дх имеем — / д!' дя д! дх дх + — '," +~-.( ду дь) ! 2хя 'от д( (14.3.22) дч дчь ~ ьш дх дч Глава четырнадцатая ззв Функции /(т)) и я(т)), являющиеся решениями системы уравнений (14.3.!9) и (14.3.22), должны удовлетворять следующим граничным условиям: на стенке при т) = 0 (у = 0) /(0) =(д//дз)в=о=О, Ы(0) =Уст! на внешней границе слоя при т) -а со (9 -»оо) (14.3.23) 2х»Й'ь / ?ь // + — — — — /ь +(?р/) =О; (14.3.25) гь ьйт т ? ) т я /4» + ~ У ~ + . ~рр ~1 — )/'/" 1 — . /' =О, (14.3.26) (ш~ ~ ") ! Ъ где штрихи означают дифференцирование по переменному т).
Эта система имеет автомодельные решения, если выполняются следующие условия: х брь х ь(/сь )гь' а) — ° — = сопз1, —, ° — = сонь!, — = сопз1; "'ь Б !~м»/х оь б) отношение рь/р, число Рг и величина рр являются функциями т) или постоянны; в) функция 4» на стенке всюду одинакова, т. е. я(0) = я = сопя!, что соответствует постоянной температуре поверхности. За исключением частного случая (равномерный внешний поток около пластинки, клина, конуса, обтекание которых сопровождается образованием присоединенной ударной волны), все эти условия автомодельности никогда одновременно не удовлетворяются, даже если сохраняется постоянной температура поверхности.
Отношение плотностей рь /р, число Прандтля и величина рр = =рр/(рь рь ) являются функциями не только отношения энтальпий !/!ь но также энтальпии !ь и давления рь поскольку они влияют на диссоциацию газа. Можно отметить еще один частный случай обтекания, для которого решение будет автомодельным: обтекание малого участка затупленной поверхности вблизи точки полного торможения, гдеэнтальпия ть и давление р почти не изменяются.
Можно ли получить автомодельное решение, которое распространялось бы на бдльшую часть криволинейной поверхности? Такое решение может быть получено в следующих двух случаях, представляющих практический интерес: !) при слабом изменении параметров внешнего потока; 2) при сильном охлаж. денни обтекаемой поверхности, т. е. когда л = ! //оь(( 1. /(оо) =0» (д//дч) =! ° я(ао) = 1» (дп/дь) =0 (14 3 24) Приведенная система уравнений (14.3.19) и (14.3.22) включает, как видно, сложные нелинейные уравнения в частных производных. Хотя в таком виде они проще, чем исходные уравнения (14.3. 1), тем не менее их решение вызывает большие трудности. Однако в приведенной форме система уравнений весьма удобна, так как она дает возможность отыскать большой класс задач, представляющих значительный практический интерес, для которых при определенных предпосылках эту систему можно свести к системе так называемых »подобных» обыкновенных дифференциальных уравнений.
Решения такой системы, называемые аатолоделаными, обладают тем свойством, что искомые функции / и д будут зависеть лишь от одной переменной т). Это свойство решения позволяет упростить уравнения (14.3. 19) и (14.3.22), так как их левые части равняются нулю вследствие того, что»(д/»(х = »(/Их = О. В результате упрощения уравнения принимают такой вид: 339 Таояооередача В первом случае предполагаются постоянными вдоль всей поверхности градиент скорости 2Х Л/з 2г( )п (гз (14.3.27) ох Ь г! 1п х и значение Уайза. Одновременно принимается б/о /пх = О, что соответствует 2 условию сохранения полной энергии во внешнем потоке ((аа = /а+ г"/2 = = сопз1). Кроме того, считаются постоянными р(г и число Рг, а отношение плотностей ра /р = Т/Тз = //и рассматривается только как функция т1. Второй случай характеризуется тем, что температура стенки очень низка, т.
е. Тс /Ть « ! и, следовательно, р /ра » 1. При этом плотность у стенки повышаегся прн снижении температуры стенки не только за счет отвода теплоты (с использованием для этого специальных средств охлаждения), но и вследствие увеличения степени диссоциации при гиперзвуковом обтекании. Так как продольный градиент давления зависит от плотности рз на внешней границе (бра /Ых = — рз (гз Ы)га /Пх) и является постоянным для данного сечения слоя, то при р » рз профиль скорости у стенки значительно менее чувствителен к градиенту давления, чем в случае малой температурной разности поперек пограничного слоя.
Это объясняется меньшей податливостью сильно уплотненного газа к изменению характера течения при воздействии перепада давления. Поэтому в уравнении (14.3.25) можно пренебречь членом, в который входит градиент давления () (14.3,27), и это уравнение. представить в виде //и + Я/")' = 0. (14.3.28) Из сопоставления уравнений (14.3.25) и (14.3.26) следует, что градиент скорости еще в меньшей степени влияет на распределение энтальпий торможения.
Действительно, рассматривая (14.3.25), можно установить, что функция / определяемая из этого уравнения, зависит (хотя и в слабой форме) от градиента Р, который присутствует в уравнении в явной форме. Вто жевремя функция я= = !айза находится из уравнения (!4.3.26), где величина () в явном виде отсутствует. При этом зависимость 3 от градиента проявляется через слабую зависимость функции / от (). Таким образом, система уравнений (!4,3.25) и (14.3.26), упрощенная в соответствии с условием р /ра » 1, более предпочтительна для расчета параметров теплопередачи, определяемых производной 3', чем для вычисления параметров трения (функции /'), Уравнение (14.3.26) можно упростить, имея в виду, что полная энтальпия свободного потока постоянна (йог/бх = О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
