Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Продифференцировав затем по г и вновь переходя к переменнойз = х — а'гс]1г, найдем следующее выражение для потенциала непрерывно распределенных неустановившихся диполей: к-а'г и Г»РМ„ рз= ехр((р])созт, ~ )(в)ехр — —,, (х — з) х га а'з,) о а'з о к — «'г '„к* — г — 'т'"~« ~- [ а а'з о пз 1 ) (») (х — ») ехр — —, (х — ») соз ~ —, [(х — »)з — «'гз) ~ »Г» а а з а а з г [(х — »)з — а'згз] Пз »РМ »рМ '1(») (х — ») ехр — (х — ») соз, [(х — »)з — а'»гз]' »(» о [(х — »)» — а»тгз]нз (11.6.12) Если в этом выражении положить р = 0 и обозначить )(з) = т(з), то получим соотношение (11.4.4') для потенциала установившегося диполя (перейдя в этом соотношении от переменной г к переменной = х — а'гс]1г).
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ Граничные условия, необходимые для определения функции 1(е), входящей в (11.6.12), представляют собой в каждом конкретном случае неустановившегося движения условия безотрывного обтекания, в соответствии с которыми нормальные к поверхности составляющие 112 Глава одиннадцатая рнс. 11,6.2 Частные случаи движения тела: а — гармоничесние иалебания атммительно поперечной осн, проходящей через центр масс талас б — установившееся вращение относительно поперечной оси, проходящей через центр масс скорости должны равняться нулю.
Это означает, что возмущенный потенциал от неустановившегося диполя должен быть таким, чтобы на поверхности тела (или при очень малой толщине тела — на оси х) исчезала нормальная составляющая скорости невозмущенного потока, т. е. выполнялось условие, аналогичное условию (11.2.22): да /дг = — ш (х, Г) соз у. (11.6.13) Это условие принимает различные формыдля каждого случая движения, определяющего соответствующее решение уравнения (11.6.13). Рассмотрим два возможных случая движения: 1. Гармонические колебания тела относительно поперечной оси, проходящей через е г о ц е н т р м а с с (рис. 11.6.2, а).
В этом случае движение определяется уравнением (11.6.14) а= а ехр(йрг), где ае — начальный угол атаки, соответствующий моменту времени т = 0 (амплитуда колебания). Из уравнения (11.6.14) определим нормальную составляющую скорости невозмущенного течения: Ги(х, 1) =)г„аеехр((рт) + — "" (х — х„) = Пl + 1р(х— Ш вЂ” Хм)) ао ЕХР (1Р1) . (1 1.6.15) В соответствии с этим граничное условие (11.6.!3) принимает вид — ~' = — [)Г +1Р(х — х„))ааехР(1РГ)созт. (11.6.16) дтз дг 2.
Установившееся вращение тела относительно поперечной оси, проходящей через е го ц е н т р масс (рис. 11.6.2, б). Составляющая скорости в не- Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке — = — — ехр(1р/) соз у, дтт / (к) дг 5 (к) (11.6. 19) где 5(х) =лги — площадь поперечного сечения, отстоящего от острия на расстоянии х. Вычисление функции /(з) при помощи приведенных выше граничных условий позволяет определить по (11.6.12) величину потенциала скоростей тр„а затем, используя (9.6.20), найти добавочный коэффициент давления рз = — 2Ь / + т /У'). (11.6.20) Для коэффициента нормальной силы, учитывая формулу (11.4.21), в соответствии которой коэффициент давления рз = — (2/У )фу„пропорционален сову, получаем выражение Кк (11.6.21) амид,) 005 т о Рассмотрим зависимость, определяющую коэффициент момента относительно оси, проходящей через центр масс тела вращения.
Для этого представим формулу (11.5.9) следующим образом: К п 1цт р, (»„— х) соз тг/т/г/г, ~мни»к 0 0 которой точке поверхности тела, имеющего в рассматриваемом случае постоянный угол атаки о„ в(х) = авУ, + й,(х — хм), (11.6.17) где Я, — угловая скорость. Тогда граничное условие (11.6.13) представим в виде доз/дг = — [авУ + й, (х — х„)[ соз у. (11.6.18) Приведенные граничные условия служат для определения функции /(з) в каждом случае движения тела вращения.
Если рассматривать очень тонкое тело, то вид этой функции найдем следующим образом. Сначала преобразуем выражение (11.6.12) к переменной интегрирования г = агс[1[(х — е)/(а'г)[ и вычислим частную производную туз„. Затем, вновь преобразовав полученное выражение для производной трв, к переменной з = х — а'ге[1», перейдем к пределу при г — и О. К найденной предельной зависимости присоединим приведенные граничные условия (11.6.16) и (11.6.18). Тогда предельное значение частной производной ~ра прн г-~-О, которое рассматривается в аэродинамике тонкого тела для случая неустановившегося обтекания„ приобретет вид 114 Глава одиннадцатая откуда, учитывая, что коэффициент рг пропорционален созу, хк ои)га хк / соа ( О (1 1.6.22) АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ В УСЛОВИЯХ КОЛЕБАНИЙ НИЗКОЙ ЧАСТОТЫ Решение задачи об определении нестационарных аэродинамических характеристик упрощается, если тело вращения совершает колебательные движения с низкой частотой, которыесвойственны реальным условиям полета.
Если представить формулу (11.6.10) в виде разложения в ряд по степеням параметра, равного числу Струхаля р* = =М рг/(а')г ), то можно убедиться в том, что для частот порядка р = а а'/хк потенциал неустановившегося обтекания с достаточной точностью выражается в виде линейной зависимости от рв. Переходя в полученном разложении к переменной г = агой(х — е)/(а'г)), для этой зависимости имеем агсЬ и — )ир* 1 (* — ' п)с]. л (1 1.6.25) 1 агсЬ и оо = соз Т ехр ((р/) ~ ] /(х — а'г с)) г) с)т г((г— о агсЬ и — (и 'р* 1 г(* — ' а )и ].
о Если в этом выражении положить р* = 0 и обозначить /(х — а'гс(тг) через т(х — а'гс(тг), то получим формулу (11.4.4') для потенциала скоростей неустановившегося обтекания. Вычислим теперь производные по х и Т, необходимые для определения коэффициента давления. Полагая, как и прежде, / = т, получаем: 1 агсЬ и стаи =а'созуехр(/р/) ~ ] т(х — а'гс))г)с)(г(/г— О агсЬ и — (и р 1 Й( — «а*)с*]; (1 1.6.24) о 1 аньи рог=а'/рсозтехр(/р/) ~ ] т(х — а'гс)(г)с(тг(/г— о 115 Заостренное тело вращения в сверхэвуковом потоке (11.6.26) Вычисляя первую и вторую производные, соответственно находим: л1(в) = ' [)г + 1р(а — х,„)) + — (рао; (11.6.27) 5'(с)св .
8(с) т(а) = 1' " [)г + Ер(в — хн)[+ (раэ, (11.6.28) где 5'(е) =с[5/г/е, 5и(е) =с(в5/с(ев — первая и вторая производные площади поперечного сечения 5 по координате е. Внесем выражения (11.6.27) и (11.6.28) в уравнения (11.6.24) и (11.6.26), предварительно перейдя в этих уравнениях к переменной г = агс[1[(х — е)/(а'г)[. Вычисляя полученные интегралы и используя формулу (11.6.20), находим й»' соэ т [ / ихк 1 ихк к„) (11.6.29) где а = с(а/сЫ, вгсЬ и ,(эг = — Ь) 5' (Х вЂ” а'Г С[1 г) С[1 гйг; хи (11.6. 30) вгсЬ и Йэ — — ~ 5" (х — а'г с[1 г) с(г; (1 1.6.31) о вгсЬ и Йэ = ) 5" (х — а'г с[1 г) с[1 гс/г; (11.6.32) о агсЬ и Йа = — [ [5и (х — а'ге[1 г)) (х — а'гс[1г) с[угс(г.
(11.6.33) к Вид функций лс и т определяем при помощи граничных условий, а также из формулы (11.6.20). Рассмотрим эти функции, а также соответствующие им значения аэродинамических характеристик для частных случаев движения. 1. Гармоническое колебательное движение тела вокруг поперечной оси, проходящей ч е р е з е г о ц е н т р м а с с. В этом случае вид функции /(е) определяем из (11.6.16) и (11.6.19) следующим образом: / (в) = ' [1/ + (р (а — х„)). 116 Глава одиннадцатая Чтобы получить зависимость для коэффициента нормальной силы, внесем в выражение (11.6.21) соотношение (11.6.29): вМ '»» и' (11.6.34) Аналогично из выражения (11.6.22), заменив в нем коэффициент р~ по соотношению(11.6.29), найдем коэффициент момента тангажа: 2 аМ с + — '" (61 + 316,) —, йв Гхс[х.
(11.6.35) сн — — 2авЯдв„+ 23д,н а [1 — х„/х„+ [[У,/(х,Ядо )[; (11.6.36) т, = 2о Зд „[х„/х„+ [[1»,/(х,Яд,н) — 1)— 2 дон о (1 хн/хв) (11.6.37) где 3доя = Здвн/3над а = (с(а/Ж)хн/1»; Я7,— объем тела вращения. Введем следующйе обозначения для производных устойчивости: осу , у дсу а л»л я "' дл»» су = —, с„= — —, т" = — ', т = — —,' (11.6.38) дв " Кн д и » д» * кн д» Тогда из формул (11.6.36) и (11.6.37) получим: ки авив 6 (11.6.39) Коэффициенты сн и т, весьма тонких тел можно получить из приведенных выражений, если функции Й„заменить соответствующими значениями из аэродинамики тонкого тела.
Чтобы получить эти значения, необходимо в выражениях для Я„(11.6.30) — (11.6.33) перейти к переменной е =х — и/Гс[1г и после этого осуществить предельный переход при Г-н О. Подставив найденные таким образом значения функций Я„в выражения (11.6.34) и (11.6.35), получим: Звостренное тело вращения в сверхзвуковом лотоке !! 7 «к о 2»' омкд — !1зх„+ йд + Ют — — !аз гт(х.„(11.6.40) »'«к о а с Р «х 2»' т, = с'„х — — ! азу«с[«; ~ вд«к / о (11.6.41) « к а а — 2»' т, =с„х омкд«к а' о т — д),х„+ й + Здд, — — йз " «к гхс[х. (11.6.42) В этих зависимостях х„ = х /хк — безразмерная координата центра масс. Соответствующие выражения, полученные в аэродинамической теории тонкого тела, имеют следующий вид: а ск — 2 блок, (11.6.43) су — 2одон! ! хм + [т'т/(ххЗдон)) ! та = адан (х + )[Ут/(Х„Ядов) 1]; (11.6.44) (11.6.46) Дважды продифференцировав эту функцию, найдем 1(в) = и(в) = — [по[У + Йа (в — х„)) + — йт.
(11.6.47) л л Теперь определим коэффициент рз из формулы (11.6.20). Для этого сначала из выражения (11.6.17) получим, перейдя к переменной г = агс[о!(х — е)/(а'г)), соотношение, определяющее производную т(х — а'гс[!г). Затем подставим эту производную в формулу (1! .6.24), которая в случае установившегося вращения приобретает вид дтсо а оз„= а' соз у ) т (х — а'г с[! г) с[! гт/г. а т, = — 23«о„(1 — х„) . (11.6.46) 2. Установившееся вращение тела вокруг поперечной о с и, проходящей через е г о центр м а с с. В этом частном случае движения закон распределения функции /(е), определяемый из выражений (11.6.18) и (11.6.19), имеет вид /(в) =- — ) [ [У-+ ()з(в — н)) ыз Глава одиннадцатая Для определения коэффициентарз внесем эту величину в формулу (11.6.20), в которой в случае й, = сопз! следует принять функцию ~уз, равной нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
