Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Следует иметь в виду, что в формулу для с (11.5.16) входит член — ав, определяющий подсасывающую силу корпуса, обтекаемого сверхзвуковым потоком с числом М ) 1()т ) а ). Возникновение такой силы связано с тем, что неосесимметричное обтекание корпуса определяется дополнительным поперечным течением со скоростью Р а, которое рассматривается в линеаризованной теории как дозвуковое. Согласно экспериментальным данным, как при дозвуковых скоростях, так и в случае сверхзвукового обтекания коэффициент дополнительной продольной силы можно рассчитывать при помощи зависимости с„, = агав, (11.5.43) в которой 1 — некоторый коэффициент, определяемый для заданной формы носовой части корпуса (см. (!3)). В частности, для носка конической формы с удлинением Х„„д $ж0,08 (: )/ ~М~ — 1~ — 1), (11.5.44) („ где знак плюс выбираем для сверхзвуковой скорости (М ) 1), а минус — для дозвуковой (М (1).
Формула (11.5.43) пригодна для значений числа Маха в интервале 0,8< М < 2,8. Из этой формулы следует, что подсасывающая сила или сопротивление отсутствуют н м )~. ~=в,. т т ° т.=1м' — ~а„„,— = 0,5. Лобовое сопротивление (1 ) О) всегда имеется при М ~ 1 и у ) 0,5. Подсасывающая сила (1( О) возникает при дозвуковых скоростях или в случае сверхзвукового обтекания (М ) 1), если т( 0,5. При этом появление подсасывающей силы в случае М ) 1 обусловлено тем, что перед конической носовой частью возникает отошедшая криволинейная головная волна и обтекание поверхности носит дозвуковой характер.
в тт.6. Неустановившееся Обтекание тела вращения ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ При перемещении по траектории летательные аппараты, имеющие форму тел вращения, совершают различные по своему характеру колебательные движения, что в обращенном движении эквивалентно тот Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке ф р — ~-а м рис. 11.6.1 Схема неустановивщегося обтекания тела вращения при дополнительной обдувке его потоком со скоростью щ(х, 1), перпендикулярной оси тела неустановившемуся обтеканию этих тел воздушным потоком. Исследование такого обтекания позволяет определить аэродинамические производные, используемые при оценке устойчивости полета тел вращения.
Решение задачи об определении производных устойчивости основывается, как и в случае установившегося обтекания, на применении методов источников с той только разницей, что обтекаемое тонкое тело заменяется системой неустановившихся источников (стоков) и диполей. Предположим, что в линеаризованном сверхзвуковом потоке с числом й4 тонкое тело подвергается дополнительной поперечной обдувке со скоростью гп (х, 1), зависящей от времени 1 и координаты х произвольного сечения тела вращения (рис. 11.6.1).
Таким образом, этот дополнительный поток является неустановившимся. Следуя методу источников, можно рассматривать потенциал скоростей такого потока, как потенциал от неустановившихся источников и диполей, у которых соответственно мощность и момент изменяются от времени. При этом потенциал скоростей от неустановившихся источников (или стоков) и диполей, размещенных на оси тонкого тела, определяется из линеаризованного уравнения в цилиндрических координатах: а'атея — ф„„— — тР— — ф, + — Ркт+ —, = О. (11.6.1) 2М Это уравнение можно получить путем преобразования уравнения (3.8.29) с использованием соответствующих зависимостей между цилиндрическими и декартовыми координатами (2.4.9).
При решении уравнения (11.6.1)ф отыскивается в виде суммы двух потенциалов: ф, — потенциала осесимметричного обтекания, который не дает возмущений, приводящих к возникновению нормальной силы, и фа — добавочного потенциала от нарушения симметрии, обусловливающего появление нормальной силы.
Как и в случае установившегося обтекания, решение для добавочного потенциала фя можно тоа Глава одиннадцатая представить в виде (11.4.2), т. е. тв = — — сов 7, отт д« (11.6.2) где трт — потенциал скоростей осесимметричного неустановившегося обтекания, определяемый в результате решения уравнения а"~р„„— р„, — — т, + р„, + — = О. (11.6.3) 2М а гдет)(з, «) — функция преобразования (по Лапласу) или изображение функции т[(х, «); з — комплексная величина, являющаяся оператором преобразования.
Более детально преобразование Лапласа описывается в специальной литературе. Приведем некоторые результаты, связанные с преобразованием уравнения (11.6.5) и его решением, основанным на применении преобразования Лапласа. Применим преобразование (11.6.6) к уравнению (11.6.5), обозначив в общем случае операцию преобразования Ь. Например, функция т[(э, «) в уравнении (11.6.6) обозначится в виде Цт[(х, «)), что означает операцию преобразования, примененную к функции т[(х, «) по отношению к переменной х. Операцию преобразования Т„ примененную к уравнению (11.6.5) при условии, что а'в и рвт(а' а'в) — постоянные для данных условий об- Найдем решение уравнения (11.6.3), т. е.
потенциал неустановившегося источника (стока), в виде гармонической функции р,=т[(х, «)ехр((р[à — йй х/(а ц"))), (11.6.4) где р — угловая частота колебания тела; т[(х, «) — некоторая переменная, зависящая от х и «. Тогда уравнение(11.6,3)для переменной приобретет вид т[„„+ — т[„— а"Ч„„— рвт[/(а' а") = О, (11.6.5) где индексы х, «, хх, и обозначают соответствующие первые и вторые частные производные функции т[. Дифференциальное уравнение (11.6.5) можно решить операционным методом, основанным на функциональном преобразовании Лапласа.
Этот метод в применении к данному случаю состоит в том, что изучается не сама функция т[(х, «), называемая оригиналом, а ее видоизменение, или изображение. Такое преобразование функции т[(х, «) по отношению к переменной х осуществляют следующим образом. Эту функцию умножают на экспоненциальную зависимость ехр( — зх), а затем вычисляют интеграл: са т) (з, «) = )«ехр ( — зх) т[(х, «) т[х, (1 1.6.6) о Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке 109 текания тела вращения, представим в следующем виде: Отсюда видно, что для осуществления преобразования необходимо вычислить изображение производных как по координате х, по отношению к которой применено преобразование (11.6.6), так и по координате При вычислении изображений производных по х надо пользоваться следующей основной теоремой преобразования производной: изображение от первой производной равно произведению оператора з на изображение функции минус значение функции при х = О.
Следовательно, применяя функциональное преобразование Лапласа, операцию дифференцирования оригиналафункциизаменяем алгебраическим действием над изображением. Когда применяется преобразование ко второй производной, то указанная теорема реализуется, если вторую производную представить как производную от первой. Таким образом, преобразование Е, примененное к производной д'Ч!дхз, принимает вид Е [ — ~ — ")~ = зЕЯ = з(Е [т[(х, г)] з — т[(0, г))— дк Так как для рассматриваемой формы тела вращения (с заостренной носовой частью) т!(О, г) =дт!(О, г)/дх = О, что свидетельствует об отсутствии возмущений у острия, то для изображения второй производной при условии, что Е[т!(х, г)] =т[(з, г), получаем Е [дат[/дхв] = звт]. Рассматривая применение преобразования Лапласа к производным по г, надо иметь в виду следующее.
Так как преобразование Е вводится по отношению к переменной х, то преобразование Е к производной по координате г равно производным от изображения. Это следует из того, что в данном случае координату г при преобразовании можно принять постоянным параметром, и согласно свойству линейности преобразования получим: Е !à — ~ = — Е [П (х, г)] =— Г дзт! 1 дз дзт! '[д. ~ дгз Е ~ — — ~ = — — Е [т[(х, г)] = — —, Г ! д11 1 д ! дт! 1 г дг ~ г дг дг где, как и прежде, принято обозначение для изображения Е [т[(х, г)] = Ч(з «) Глава одиннадцатая мо Рассматривая преобразование от последнего члена уравнения (11.6.6), а именно Цч ), видим, что эта функция и есть изображение функции т). Подобное преобразование основано на упомянутом свойстве линейности преобразования Лапласа, согласно которому преобразование Б-функции есть ее изображение.
С учетом приведенных операций преобразования получаем следующее уравнение для изображения функции: — '+ — — ' — атв(за + Р ~ т)= О. (11.6.7) лгв г лг Из уравнения (11.6,7) видно, что после осуществленного преобразования Лапласа уменьшается число переменных на единицу и можно перейти от уравнения в частных производных (11.6.5) к обыкновенному дифференциальному уравнению (11.6.7). Это уравнение — одно из разновидностей уравнений Бесселя, имеющее решение: Ч= Ко а'г У+,» ', (11.6.8) где Ко — функция Макдональда.
Отыскав изображение ть следует найти оригинал т). Для этого необходимо воспользоваться обратным преобразованием Лапласа. Используя специальную литературу, в которой излагаются методы нахождения оригинала функции по ее изображению, получим окончательное выражение для искомой функции т) (х, г) = (х' — а'вгв) соз (х' — а"г') ' . (11.6.9) а л'в ) О На основании выражений (11.6.4) и (11.6.9)получаем зависимость для потенциала неустановившегося точечного источника: ехр тр т — „сов — „(хв — в "г') (11.6.10) (хв — в'вгв) ~ Если источники с переменной интенсивностью 7(е) расположены вдоль оси х в точках з, то уравнение (11.6.10) принимает вид х — 'г ~р, =- ехр((р1) ~ х .
о трМ, р иа 1 7 (т) ехр — —, (х — т) сов — [(х — т)в — «'вгв] ив о а'в о о'в 1(х — т)в — а'вгв) Пт (1 1.6.1 1) Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке где знак минус, стоящий в уравнении (11.6.10), включен в значение функции [(е). Характерным параметром в уравнении (11.6.11), свидетельствующим о неустановившемся течении, является угловая частота р. Если р = О, то имеем течение от установившегося источника. В этом случае потенциальная функция (11.6.11) совпадает с ее значением, определяемым выражением (11.3.1). Применяя соотношение (11.6.3), путем дифференцирования по г уравнения (11.6.11) можно найти добавочный потенциал неустановившегося диполя. Прежде чем осуществить дифференцирование, преобразуем уравнение (11.6.11) к переменной г = агс[1[(х — е)г(а'г)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
