Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Формальную аналогию между несжимаемым (или сжимаемым дозвуковым) и сжимаемым сверхзвуковым потоками от источников или стоков необходимо дополнить особенностями, характерными для сверх- Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке рис. 11.3,1 Распределение источников вдоль оси тела вращения и характер нх влияния прн сверхзвуковых скоростях обтекания: ( — образующая тела вращсння; 2 — кривая )(х), характарнзующаи раслрадслснна «сточников; 5 — л»- нии тока от источников; 5 — конус возиущсииа (конус Маха) М т 0 сзю1))в ) г = агс() 1(х — е)!(агг)) . (1 1.3.4) Учитывая, что согласно (11.3.4) с)) г = (х — з)/(а'г), з = = х — а'гс))г, ((е = — а'гз))Ыг, выражение (11.3.1) можно преобразовать к виду агсв (х)а'г) ) (х — а'г с)) г) дг Ь (11.3 б) звукового течения. Если источник в дозвуковом потоке оказывает влияние на все точки пространства, расположенные вверх и вниз по потоку, то при сверхзвуковом течении возмущения от источников распространяются только в н у т р и к о н у с о в М а х а с вершинами у источников.
Таким образом, если представить себе систему непрерывно распределенных по оси тела источников (рис. 11.3.1), то скорость и давление в любой точке А (х, г) будут определяться теми возмущениями, которые исходят из источников, расположенных вверх по течению, начиная от точки з = х — а'г и кончая точкой з =х =О, совпадающей состриемтела. В точке е = х = 0 интенсивность источника равна нулю, так как полагаем, что при з(0 возмущения отсутствуют. Этим определяются пределы интеграла в формуле (11.3.1). Вид кривой г(з) [или 1(х)), представляющей собой закон распределения источников (стоков) для тонкого тела с произвольной образующей, показан на рис. 11,3.1.
Эта кривая определяет непрерывный характер малых возмущений, индуцируемых источниками (стоками) и соответствующих линеаризованному обтеканию. В том случае, когда возникают большие возмущения, например при обтекании тел с притупленной головной частью или заостренных тел с большими углами наклона образующих к направлению скорости набегающего потока, линейная теория неприменима. Чтобы найти общие зависимости для скорости и давления, преобРазуем (10.3.1), вводя новую переменную интегрирования: Глава одиннадцатая 80 В формуле (11.3.6) верхний предел г = агс))(х/а'Г) интеграла соответствует нижнему пределу е = О интеграла (11.3.1), а нижний предел г = Π— верхнему пределу з = х — а'Г в (11.3.1). Дифференцируя (р', по х, найдем осевую добавочную составляющую скорости: агсЬ (к,'а'г) 1/", = о'„= — ~ /(х — а'г с)(г) (/г = о агсЬ (х(а'г) /(Х вЂ” аГ С)) г) ((г + /(Х вЂ” а/Г С]) г))а=вась(кг.
г) — ] аГС]) —,1, дх (, а'г/ о (11.3.6) где / — полная производная функции / по аргументу х — (('Г с])Г. Так как интенсивность источника у острия тела /(з) = /(О) = О, то агсЬ (х/а'г) . )г.( = ср( = ) /(х — о/Гс])г)(/г. (11.3.7) о Аналогично (11.3.6) находим для радиальной составляющей скорости агсЬ (х/ 'г) Ъг,( = <р(, = — и/ ~ 7(х — а'Г с)) г) с)) г((г.
(11.3.8) о Приведем выражение (11.3.8) к переменной а, определяемой в соответствии с (11.3.4) по уравнению е = х — а'Гс])г. Так как с(а ! — с(а х — а ((г— ; с])г=— та*- и" и -~ "' Гй-тг=таг то подынтегральное выражение г(* — ь ьп*).п с*= ((.)( —.)с.г( ' )"(* — г — сап. Нижний предел г = О соответствует значению 1 = (х — е)/(а'Г), откуда новый предел в = х — а г; верхнему пределу г = агс))(х/а'г) соответствует предел е, полученный из условия с))(агс))(х/а'г)] =(х — е)/(а'Г), в соответствии с которым 8 =О, Таким образом, о ! ( /(а) (х е) На (1 1.3.9) ) , Г (х — а)а — а'ага х — а'г или с Р„= — ~ / (а) ~1 — ( — "' ) ~ (/а.
(11.3,9') к — а'г В1 Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке Так как а'г( (х — е), то выражение (1 — (а'г)зУ(х — в)з) чт можно разложить в ряд о в — ю'т При г-+ 0 член в квадратных скобках стремится к единице, а нижний предел — к значению в = х. В соответствии с этим предельное значение для радиальной составляющей скорости при г-н 0 о — 1'(в) т(а, 1 р ' к что после интегрирования позволяет получить (г,1 = 11(0) — Р(х))уг. Но у острия тела 7(0) =О, поэтому )гт1 = — 7'(х)уг .
(11.3.10) Воспользовавшись условием (11.2.!9) безотрывного обтекания, в котором для весьма тонкого тела можно пренебречь вторым членом тр,'„в знаменателе, получим уравнение для определения функции Г(х): )(х) = — г(т(г/с(х) (г„. (11.3.11) Это уравнение можно представить в виде 1(х) = — — — )г = — — 3' (х), (11.3.12) оз' (к) 2к т(к 2к где Я(х) =пгв — текущее значение площади поперечного сечения тонкого тела. Выражение (11.3.12) для функции)(х), определяющей закон распределения источников вдоль оси в предельном случае при г-н О, можно использовать для расчета составляющей скорости (11.3.7), необходимой при вычислении давления по формуле (11.2.27) на поверхности тонких реальных тел вращения.
Для этого в (11.3.12) заменим х на в = х — о'гс)уг и подставим в (11.3.7) производную: 1 (в) т(Г 1 ю сро(е) 1 ю Зю (х — а'г с)1 г). (11.3.13) тй 2к вяз 2к В результате атсь 1я!ю'т] )гю = т1 = — ~ Ял(х — а'гс)1г)с(г. (11.3.14) 2к о вг Глава одиииадцагая Отсюда определим вторую производную: Газ(х) Г Зх З. Ви (х) — — — 2 — — +— а хмид "мнд мии "мид Произведя замену х на е =х — а'гсвг, находим Зи(х — а'гсвг) = — 12 — — (х — а'гсвг) + + — (х — а'г сп г)' мнд После подстановки (11.3.16') в (11.3.14) получаем агсь и 'г/,г = — ~ 2 — — (и — сп г) + — (и — с)г г) г(г, Зха и аЛх,) цн (11.3.16) (11.3.16') (11.3.17) хде х = х/х (11.3.18) (1! .3.19) и = х/(а'г).
Введем обозначения: о .2 1 =/о; 1„= и/,— 16 (и=ив/и — 2и1, +1м дде величины /„ определяем в виде интегралов: агсь и 1„= ~ (сйг)иг(г(п = О, 1, 2). о (1 1.3.20) В соответствии с обозначениями (11.3.19) — / о би„' Зхаг„' аг и" мид " и и' В случае более общего задания функции Зм(х) в виде многочлена Зи (Х) = ~~)' а,хи (11.3.22) л=о Таким образом, для расчета скорости по формуле (11.3.14) необходимо знать форму тела вращения и распределение площади вдоль оси, т. е. вид функции 3(х). Допустим, что имеется тело вращения с параболической образующей (см. рис. 11.1.3), уравнение которой задано в виде (11.1.48).
В соответствии с этим уравнением площадь поперечного сечения 3(х) = '= — (2 — — 1 . (11.3.16) Заостренное тело вращения е саерхаеукоеом потоке выражение, аналогичное (11.3.21), можно представить в виде ~ Ь„". (11.3. 23) Коэффициенты ал зависят от вида образующей тела вращения, а Ь вЂ” также и от скорости 1' .
Значения функции 1," для и =0,1, 2, представленные в виде (11.3.19), соответствуют заданию образующей тела по уравнению параболы второй степени. Для тела вращения с уравнением образующей более высокой степени необходимо вычислять значения 1"„для п = 3, 4 и т. д. В частности, если уравнение образующей таково, что производная 3"(х) из (11.3.22) определяется по уравнению з 'ое(х) = ~~)' алХ", л о (1!.3.22') (11.3.23') Функции 1,", вычисленные для значений параметра и от 1 до 8,8и приведены в табл.
11.3.1. Как частный случай, из соотношения (11.3.21) можно получить выражение для составляющей скорости на тонком конусе. Для этого. надо заменить 1й„„д на йо = р„ (угол заострения параболического тела вращения у острия) й принять х = 0: Р' . = — к ( 1!).8~. (11.3.25) Имея в виду, что в соответствии с (11.3.19) и (11.3,20) для конуса Е„= 1,„= агспил, .о где и = (х1а'г)„= 11(а'бк), получим для составляющей скорости Р 1к = — 'и' й„агспик = — 1~ Ц1п (ик+ ф' и"„1)) . (11.3.25') По найденным значениям р„гн можно определить по (11.2.27) коэффициент давления на поверхности тела вращения в соответствующей точке.
На конической поверхности, где добавочная составляющая ~корсети определяется из (11.3.25'), коэффициент давления то в соответствии с (11.3.23) составляющая скорости з и„,= — ~Ь„„", — о где 1" вычисляется для значений и = О, 1, 2 по формулам (11.3.19)„ а для п = 3 — из выражения 1, = й1о — Зие1, + Зи1о — 1,. (11.3.24) Глава одиннадцатая 84 Т а бл и ц а 11.3.1 с с .1 ск .о 'к а с со р,„= р'„[21п[и„+ )с' и~ — 1 ) — 1~. (11 3.26) В соответствии с (10.2.30) зависимость (11.3.26) определяет коэффициент волнового сопротивления тонкого конуса, т. е. „,, - р„= с 12! (, с- 'с' и — Г) — с). (с!.с 26) Для тонкого тела вращения произвольной формы коэффициент волнового сопротивления следует рассчитывать по формуле (11.1.51), в которой коэффициент давления в соответствии с (1!.3.14) и (11.2.27) ассь а 1 г с с ! с!с р, = — ) Як (х — а'г сЬ г) г(г — ( — ), (11.3.27) я (с с!к о На рис.
11.3.2 показано распределение коэффициента давления, найденное по линеаризованной теории при М =1,5 для всех трех участков тонкого тела вращения — головного, цилиндрического и хвостового. Как видно, вниз по потоку давление вдоль цилиндра, начиная с конца головки, возрастает, постепенно восстанавливаясь до 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,6 1,8 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6 6,0 6,4 6,8 7,2 7,6 8,0 8,4 8,8 0 0,4435 0,6223 0,7567 0,8673 1,047 1,177 1,3!7 1,522 1,690 1,831 1,954 2,064 2,162 2,251 2,333 ' 2,408 2,478 2,544 2,605 2,663 2,7!7 2,769 2,8!8 2,865 0 О, 0298 0,0838 0,1527 0,2342 0,4265 0,6690 0,9024 1,472 2,116 2,820 3,578 4,382 5,227 6,!11 7,028 7,976 8,953 9,958 10,99 12,04 13,12 14,22 15,33 16,47 0 0,0019 0,0149 0,0392 0,0753 0,2068 0,4875 0,73!4 1,675 3,!07 5,076 7,634 10,81 14,65 19,!9 24,44 30,44 37,21 44,77 53,17 62,37 72,43 83,37 95,18 107,9 0 0,0001 0,0071 0,0095 0,0254 0,24!2 0,463! 0,6332 2,030 4,854 9,701 17,28 28,28 43,46 63,76 89,85 122,7 163,2 2!2,3 271,1 340,2 421,0 514,5 621,4 743,3 0 0,4582 0,6633 0,8312 0,9804 1,249 1,450 1,732 2,182 2,615 3,040 3,458 3,873 4,286 4,694 5,!03 5,5!О 5,916 6,322 6,726 7,!30 7,534 7,937 8,341 8,743 0 0,0303 0,0856 О,!256 0,2526 0,4756 0,7166 1,073 1,857 2,8!6 3,948 5,247 6,714 8,348 10,14 12,10 14,22 16,51 18,96 21,56 24,34 27,27 30,36 33,62 37,04 0 0,00 26 О, 0109 0,0383 0,0794 0,2230 0,4137 0,8296 1,990 3,846 6,543 !0,21 14,98 21,00 28,37 37,26 47,78 60,07 74,25 90,44 !08,8 129,4 !52,5 178,1 206,3 0 0,0004 0,00!5 0,0096 0,0281 0,1124 0,2949 0,695 2,326 5,946 11,90 21,84 36,84 58,34 87,74 127,0 177,9 242,4 322,8 421,4 540,7 683,4 852,2 1050,4 1280,6 Заостреииое тело вращения в сверхзвуковом потоке з5 Р, О,З О,г ОД О -О! -О',Г -О,З О ~ З З Е О хуа рис.
11.3,2 Распределение козффипиеита давления по поверхности корпуса, имеющего параболическую головную и хвостовую части соответствующей величины в набегающем потоке (р;+- 0). Обтекание сужающейся части (кормы) сопровождается увеличением разрежения, Полагая йЛ(х = Щ ж 8, находим формулу для коэффициента волнового сопротивления: в с„, = 2 ) о атсь и о гйс(х, (11.3.28) где х =хlгм Для параболической образующей с уравнением г .= (г„„лух„„д) Х х х(2 — х/х ид) производная = яг""х (1 — л) = 1 (1 — х) =- йо(1 — х), (11 3.29) «мих тиха где х = х/хм„д. Коэффициейт (11.3.28) можно рассматривать как сумму двух составляющих: с„, = с", + с„"а где с„', и с,"Π— коэффициенты волнового сопротивления соответственно головной части и кормы. Учитывая, что практически давление на цилиндре восстанавливается до атмосферного и, следовательно, поток перед хвостовым участком считается невозмущеппым, распределение давления по этому участку и соответствующую величину с„"~ можно рассматривать независимо от головной части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
