Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В данном случае такой границей является поверхность слабой ударной волны, возникающей перед тонким заостренным телом и представляющей собой фактически линию слабого возмущения (простую волну сжатия) или линию Маха с углом наклона образующей к направлению вектора скорости )г, равным р ° = агсз(п(1/М ). На поверхности обтекаемого тела потенциал <р' должен удовлетворять условию безотрывного обтекания (3.3.19), в котором функцию, описывающую обтекаемую поверхность вращения, можно представить в виде р = дх) — г. Тогда <р„/у„= йг/ах, (11.2.
12) где а(т„ + т ) ат„ д (т„+ т') дт ат + тех+ тх' дх дх дх дт тг дг (11.2.13) дт ах Учитывая, что вторые производные от !р' являются величинами первого порядка малости, в уравнении (11.2.9) можно пренебречь членами, содержащими произведения этих производных и возмущенных составляющих скорости )7„', )г,' или У„. В результате находим линеаризованное дифференциальное уравнение для добавочной величины потенциальной функции тр'.
2 з (1l„— а„) — — а„ з дзт' з дзт' о~ дзт' о дт' — — ° — — О. (11.2.10) дх' дгз гз дтз г дг Разделим все члены этого уравнения на — аз: (1 — М ) — 1- — Ф вЂ” . — + — ° — = О. (11.2.10') дзт' дзт' ! дзт' ! дт' дхз агз гз дтз г дг Уравнение (!1.2.10') используется для исследования потока около тонких тел вращения под малым углом атаки, т. е.
неосесимметричного малоеозмущенного течен ия. При осесимметричном обтекании (угол атаки равен нулю) уравнение упрощается, так как составляющая скорости )гт = (1/г)дгр'/ау = = О, и, следовательно, 74 Глава одиннадцатая Рнс. 11.2.1 Составляющие скорости набегающего потока в цилиндрических ко- ординатах Составляющие скорости набегающего потока в цилиндрических координатах можно определить по схеме, изображенной на рис. 11.2.1: У, = др /дх= р„= У сова; У,„= др /дг= р,„= У в(пасову.
(11.2.14) По этой же схеме можно найти третью составляющую: 1 дт 1 У, = — — = — о = — У в(паз!ну. г дт г (11.2.15) Для маловозмущенного потока примем сова ж1 — ае(2 и в!па ж та, поэтому р = хУ (1 — аа/2)+ ГУ асову. (11.2.16') Следовательно, суммарный потенциал р = р + <~'(х,г, у) = ху (1 — аа/2)+Гу асозу-1- + р'(х, Г, у). (11.2.! 7) Вычисляя производные трг и тр„, внося их в (11.2.12) и пренебрегая величиной 0,5аа, получаем (У асов у+ р,')/(У + р,') = с(гт'Фх. (11.2.18) Если обтекание осесимметричное, то условие безотрывного обтекания (11.2.18) упрощается: н,'/(У + р„') = Нг/с(х.
В соответствии с соотношениями (11.2.14) и (11.2.15) потенциал скоростей невозмущенного потока р =хУ сова+ ГУ в(пасозу. (11.2.16) Заостренное тело вращения в сверхзвуковом потоке б) ра' <х,г, у) и) н=н ау'+р' и о) е '.
р'(х,г/ х г сс = р рис, 11.2,2 Тонкое тело вращения в лииеаризованном потоке пол малым углом атаки: о — нсосасииаитричнос обтекание; б — осссииистрнчное обтекание; а — добавочное поперечное обтекание Потенциал скоростей линеаризованного потока ср, обтекающего тело вращения под малым. углом атаки (рис.
11.2.2), можно представить в виде суммы трех составляющих: потенциала невозмущенного потока ар, добавочного потенциала продольного возмущенного (осесимметричного) течения тра' (х, г) и второго добавочного потенциала рв' (х, г, у), возникающего от поперечного обтекания: р = о„+ о, '(х, г) + р,' (х, г, у). (! 1.2.20) В теории линеаризованных теченийср,' и срв' рассматриваются как функции, которые, являясь решениями уравнений движения, опре- деляют независимые друг от друга потоки. Поэтому на каждую такую функцию можно отдельно наложить граничные условия.
В частности, решение для ~ра', получаемое из уравнения (11.2.11) (1 — М' ) о,„„+ ст „, + ст1,/г = О, (где сра'„„= дзсра'/дхв, ~ра'„, = дзсра'/дгв, ~р1, = д'~р,/дг), должноудов- летворять условию (11.2.19) осесимметричного обтекания ср,,/((г + ср„) = с/г/с(х. (11.2.19') Граничное условие для функции срв',удовлетворяющей (11.2.10') ( М ) ссовхк + стсзтт + аааттт/г стоят/ = О, (11.2.10т) получим из выражения (11.2.18), представив его в виде н)г соз Т + ср'и+ о', = — '()г + су,'„+ о'„) ° (11.2. 21) В этих выРажениЯх тР,'„= дсРа'/дх, аРв'„= дРз'/дх и т. д. Имея в виду равенство (11.2.19') и отбрасывая в (11.2.21) член с меньшим порядком (с(г/с(х)ср'з„, из (11.2.21) получаем граничное Условие поперечного обтекания (1 1.2.22) ср' = — н)г созу.
76 Главе одиннадцатая В соответствии с условием (11.2.22) добавочный потенциал от поперечного обтекания должен быть таким, чтобы на поверхности тела исчезла радиальная составляющая скорости набегающего потока 1т, = а(т созу. Эта составляющая скорости может быть как сверхзвуковой, так и дозвуковой. То обстоятельство, что 1/„~ а (т.
е. радиальная составляющая дозвуковая), не имеет значения для решения задачи, так как рассматриваемое дополнительное поперечное течение представляет собой составную часть суммарного потока и является лишь следствием математического представления модели такого потока. Определив с учетом граничных условий суммарный потенциал скоростей (11.2.20), можно вычислить скорость, а затем давление, используя уравнение Бернулли р » вЂ” 1 р 2» — ! Р„2 Внося сюда значение р = р (рlр )11», поскольку течение можно считать изэнтропическим, находим (» — 1)/» , Р Ра Учитывая, что игр lр = а~ и М~ = У~ /а~, получаем — 1+ — М 1 —— Так как квадрат полной скорости 1~ = ()т сова + У ')з + + )т, + )тт, то В Я Р вЂ” 1 — (й — !) М вЂ” сова+ — + — + 1я "т ~, !' 2 2ра т' ' 2 + —" — — "" ') (11.2.23) 21тт 2 Здесь второй член в квадратных скобках меньше единицы, и, следовательно, все выражение можно разложить в ряд по биному.
Сохраняя в разложении только первые два члена, учитывая малость величины )т,~/(2Р~ ) по сравнению с первым членом в круглой скобке и полагая при малых углах атаки сова ж1, з!паа жал, получаем Р ! т',л 2$~~ 2РФ 2 / откуда коэффициент давления 77 Заостренное тело вращения в сверхзвуковом патоке р = = — 2 — '+ — '+ — ' — — . (11.2.25) В соответствии с условием (11.2.12), в котором можно принять тр„ж~р„= У, составляющую У', заменим величиной У,' = р,'= У стг/с(х, (!1.2.19в) а 1'„' и У'т — их выражениями через добавочные потенциалы: т ~ т ~ + тхт~ ' где согласно (! 1.2.15) величина р,„/г = аУ„з(п у.
В результате (11.2.26) Эту величину коэффициента давления можно представить в виде суммы двух составляющих, т. е. р = р, + р~. Одна из составляющих р, определяется условиями осесимметричного обтекания: г (11.2.27) а другая рв — поперечным обтеканием, зависящим от угла атаки: з'1 р = — У„<7' + — — ' — аУ з(пт ! — —" . (11.2.28) О я 11.3. Расчет осесимметричного обтекания Задача о линеаризованном осесимметричном обтекании тонкого тела вращения будет решена, если найти добавочный потенциал скоРостей тут', удовлетворяющий линеаризованному уравнению (11.2.11).
Путем подстановки можно убедиться в том, что потенциал к — «'т и ~х и Й 7:ЗК~. о Глава одиннадцатая 73 где а = ) М вЂ” 1, действительно удовлетворяет уравнению (11.2.11). Смысл решения (11.3.1) можно установить, если ввести переменную, определяемую равенством а'Г)~ — 1 = р. Тогда уравнение (11.2.11) формально приведем к виду, совпадающему с уравнением для потенциала скоростей несжимаемого потока, а именно где индексы х и р означают соответствующие частные производные ~р,' по х и р. Представим, что в некоторой точке х = е на оси тела находится источник жидкости с расходом (интенсивностью) о.
Потенциал скоростей, индуцируемых этим источником в точке с координатами х, р, расположенной на шаровой поверхности радиусом р= )' (х — е)я+ря определяется в соответствии с формулой (2.9.14) в виде <р1' = = — д/~4п)" (х — е)а + р']. Если представить, что вдоль оси тела на участке от е = О до е = х — а'Г расположена система источников с переменной интенсивностью о = — 4п/(е), отнесенной к единице длины, то суммарный потенциал в рассматриваемой точке х, Г от действия всех источников выразится формулой я-а'Г /(а) де/]с(х — а) +ра.
а (11.3.3) Путем подстановки можно убедиться в том, что интеграл (11.3.3) удовлетворяет дифференциальному уравнению (11.3.2). Следовательно, решение (11.3.3) представляет собой потенциальную функцию от источников, непрерывно распределенных вдоль оси тела. Сравнивая (11.3.3) и (11.3.1), видим, что при р = а'Г)~ — Г оба эти выражения тождественны. Таким образом, с помощью формальной аналогии показано,что, как и для несжимаемой жидкости, смысл решения (11.3.1) заключается в том, что функция Гр', является потенциалом источников, непрерывно распределенных вдоль оси тела.
Найденное решение (11.3.1) отражает содержание метода источников, согласно которому обтекаемое тело эименяется системой непрерывно распределенных вдоль его оси как источников, так и стоков. Закон распределения источников (стоков), т. е. вид функции /(е), должен быть таким, чтобы в результате наложения невозмущенного потока на течение от этих источников одна из линий тока суммарного потока совпадала с образующей тела вращения. Иначе, потенциальная функция ~р', должна удовлетворять условию (11.2.19') безотрывного обтекания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
