Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973) (944136), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Конструкция лампы бегущей волны: à — спираль; У вЂ” электронный пучок; б — вход энергии СВЧ; 4 — выход усилен- ного сигнала; б — катод; б — коллектор электронов; 7 — источник питавни. спиральных антенн, способных работать в широкой полосе частот. Строгая теория электромагнитных воли в спиральном волноводе весьма сложна с математической точки зрения и не входит в рассматриваемый курс. Отметим лишь, что равенство (11.2) справедливо только при условии Х,<б(. В противном случае волны «перескакиваютэ с витка на виток, в результате чего коэффициент замедления становится функцией рабочей частоты. 11.2.
Замедление электромагнитных волн диэлектрической пластиной. Поверхностные волны В настоящем параграфе рассматриваются электромагнитные процессы в системе, состоящей из диэлектрической пластины толщиной а, обладающей относительной диэлектрической проницаемостью е, которая расположена на подложке' из идеального проводника (рис. !1.4). Для простоты будем полагать, «то диэлектрик немагнитный (р,=но) и без потерь (ос=В). Будет показано, что подобная пластина может играть роль волновода замедленных волн.
!69 Цель дальнейшего математического рассмотрения состоит в нахождении структуры электромагнитного поля замедленной волны, а также в определении коэффициента замедления системы. Будем решать задачу, рассматривая отдельно пространство, представляющее вакуум (область 1) и пространство внутри пластины (область 2); соответствующие индексы будут поставлены при составляющих электромагнитного поля. Рис.
!1.4. Диэлектрическая пластина над идеально проводяп1ей пло- скостью: 1 — Вакуум; у — диэлектрик. Сделаем три существенных предположения: 1) рассматриваемая волна является замедленной, поэтому длина волны в волноводе удовлетворяет неравенству Х,(Ь~, которое, будучи записанным относительно продольного волнового числа Й, приобретает вид: 6)ур,' 2) система неограниченно протяженна вдоль координат г и у, указанных на рис. 11.4; 3) изучаемое поле представляет собой волну, распространяющуюся вдоль координаты г, причем магнитный вектор имеет единственную составляющую, направ.
ленную по координате у. С учетом предыдущего условия это означает, что силовые линии магнитного поля имеют вид бесконечных нитей, вытянутых над пластиной. Обратимся к рассмотрению первой области. Для составляющей Н„, имеем здесь уравнение Гельмгольца: ~'Ию+7 Нл,=О. Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей волны с неизвестными пока амплитудой и фазовой постоянной: Н„, = Н„, (х) е (! 1.4) 170 Подставляя (11А) в (11.3) и учитывая, что по условию д!ду=О, а также сокращая полученное выражение на общий экспоненциальный множитель, запишем обыкновенное дифференциальное уравнение (11.5) РНю/дх' — р'Н„, = О, где р= ~ Ь' — 7, являющееся аналогом поперечного волнового числа в теории полых металлических волноводов (см.
$6.2), служит весьма важной характеристикой рассматриваемой системы. Отметим, что для замедленных волн число р всегда вещественно, поскольку й)уо. Общее решение уравнения (11.5) имеет вид Н„, (х) = Ае г»+ Вег», (11.6) где А,  — произвольные постоянные. Из физических соображений ясно, что В=О, так как поле не может неограниченно возрастать при удалении от направляющей системы. Итак, А е г» е ! (1 1.7) Формула (11.7) позволяет сделать важнейший вывод о том, что замедленная волна является одновременно волной поверхностной в том смысле, что прн более интенсивном замедлении (К„„падает) величина р возрастает и поле становится более прижатым к направляющей поверхности диэлектрика.
Данный вывод обладаег большой общностью и справедлив для замедляющих структур любой физической природы. Составляющие электрического вектора в воздушной области легко находятся путем подстановки (11.7) в первое уравнение Максвелла го!Н,=)ои,Е„ (!1.8) откуда Е» = — — д = — Ае в" е ' * (11.9) ! дг!м а а» !я»» д» » (11.10) Е„,=О, Поскольку Е„~ьО, в то время как магнитное поле поперечио, рассматриваемая 'волна дол;кна быть причислена к волнам типа Е. Обратимся к исследованию второй среды, заполненной диэлектриком. Здесь для составляющей Н„в имеем уравнение вана, + в'( нв — О, (11.12) решение которого следует искать в виде (П из) Н„,= Н„,(х) е Отметим, что продольное волновое число й одинаково в обеих средах, поскольку рассматриваемое поле представляет единый волновой процесс. Способом, аналогичным предыдущему, находим дифференциальное уравнение для амплитуды Н,в(х): <)вНвв1йхв+ г(вНвг = О, (11.14) где г7=~/ в'( Й Ранее указывалось, что фазовая скорость волн в рассматриваемой системе ограничена снизу величиной фазовой скорости в неограниченном однородном диэлектрике (2 4.6).
Отсюда непосредственно следует, что ) вув)Ь, так что величина ф всегда положительна. В силу сказанного общее решение уравнения (11 14) принимает вид Нвв(х) = С соз дх+0 з1п дх. (! 1.15) Вопрос о выборе произвольных постоянных С и 0 должен быть решен исходя из граничных условий, которые выполняются на поверхности проводника при х=О. Здесь касательной к границе раздела оказывается продольная составляющая электрического вектора Е вв ' дв (11.16) 10мвв Вторая из возможных касательных составляющих Ев, обращается в нуль тождественно в силу выбранного направления поляризации магнитного поля.
172 Подстановка (11.13) в формулу (!!.16) убеждает в том, что синусондальное слагаемое не обеспечивает обращения в нуль составляющей Е„при х=О, так что Н„,=С совках е !~', откуда м~~е Е„,=О, О (11.17) Подытожим проведенное исследование. На основе абщих соображений найден вид функциональных зависимостей составляющих электромагнитного поля в обеих средах. Тем ие менее, вопрос о связи постоянных распространения у, и й, определяющих коэффициент замедления системы, остался открытым. Для решения данной задачи воспользуемся условиями непрерывности таигенциальных составляющих электромагнитного поля на границе раздела при х=а. Эти условия имеют вид: Е„=Е„, Н„,=Н„, при х=а. Подставив конкретные выражения составляющих полеи из (11.7), (1!.1!), (11.16) и (1!.17) в последнее условие, а также сократив полученный результат на общие мно- жители, можно записать — рАе-г'+ —" Сз(яда=О, Ае г' — Ссозда=О.
(11.18) р соз да — — з!п !!а = О, е нли в безразмерной форме ! ра= — да Ф да. (11.19) (11.20) !73 Равенства (11.18) образуют систему однородных алгебраических уравнений относительно,коэффициентов Л и С. Данная система имеет нетривиальное решение только в том случае, когда ее определитель обращается в нуль. Вычисляя определитель и приравнивая его нулю, получаем соотношение, характеризующее связь между числами р и д: Формула (11.20) носит название дисперсионног о у р а в н е н и я рассматриваемой системы, поскольку она позволяет определять дисперсионные характеристики — зависимости длины волны в волноводе от длины волны в свободном пространстве.
Для решения этой задачи уравнение (1!.20) должно быть дополнено еще одним соотношением, автоматически вытекающим нз определения величин р и и: (ра)'+ (да)а= (е — 1)(таа)а. (11.21) Равенства (11.20) и (11.21) следует рассматривать как систему двух уравнений относительно безразмерных неизвестных ра и да. Поскольку первое из этих уравнений трансцендентное, а второе — алгебраическое второй степени, решение целесообразнее всего проводить графическим методом.
Реализуемая прн этом точность вполне достаточна для инженерных расчетов. ,осг 41у эг г,п др ~ ра Т Рис. 11.5. Графический способ решения дисперсиониосо уравнения. Проиллюстрируем метод решения на конкретном примере. Предположим, что исходные данные таковы: в=2,56 (диэлектрик — полистирол), а=!О мм, Хо=4,8см (~а=6,25 ГГц). Требуется определить длину волны над замедляющей структурой.
На рис. 11.5 две из бесконечного множества кривых, отображающих уравнение (11.20), построены с учетом выбранного значения диэлектрической проницаемости. 174 Заметим, что для посгавленной цели следует строить кривые только при ра>0, поскольку для замедленных волн всегда р>0.
Искомые корни уравнений определяются точкой пересечения построенных кривых с геометрическим местом точек, соответствующих уравнению (11.21). Нетрудно видеть, что указанная формула описывает семейство концентрических окружностей, радиусы которых в выбранной системе координат даются выражением )с =')/ з — 17,а. Вычисляя величину уо, находим, что для рассматриваемого случая )г=1,64. Данная окружность построена на рисунке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
