Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973) (944136), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Коаксиальный объемный резонатор. снизу. Данное свойство благоприятствует использованию коаксиального объемного резонатора на волнах дециметрового диапазона. Типы колебаний в коаксиальном резонаторе можно обозначать как ТЕМсеа !первые два индекса характеризуют отсутствие стоячих волн по цилиндрическим координатам г и ~р, последний индекс ухазывает на число стоячих полуволн ндоль координаты г). Так, на рис, 12Л7 изображена структура поля, относяпгаяся к колебанию типа ТЕМон, 11аличие внутреннего проводника увеличивает поверхность стенок резонатора. По этой причине добротность коаксиального резо14 †14 197 натора несколько ниже, чем добротность резонаторов, рассмотрей* ных в й 12.6. Наилучшее соотношение между объемом и поверхностью можно получить в сферическом объемном резонаторе, представляющем полую сферу с металлическими стенками, радиус которой порядка резонансной длины волны.
Однако ввиду трудностей перестройки сферические объемные резонаторы находят на практике лишь ограниченное применение. Интересным типом резонатора, сравнительно недавно использующимся в технике СВЧ, является так называемый диэлектрический резонатор, схематически изображенный на рис. 12.18. Он представляет собой некоторое тело, обычно цилиндрической формы, изготовленное из веще. ства с высокой диэлектрической ~проннпаемостью (специальная керамика), которое помещается внутри прямоугольного воляовода. При этом отпадает надобность в каких-либо устройствах возбуждения. Подобный резонатор работает за счет использования полного внутреннего отражения и может суапеРис, !2.18. Диэлектрический ком применяться для создания объемный резонатор различных волноводных фильтров.
Остановимся, наконец, на одном весьма важном классе колебательных систем, интенсивно разрабатываемом в последние годы и носящем название открытых резонаторов. Появление открытых резонаторов было продиктовано необходимостью создания высоко- добротных колебательных систем для лазеров светового и инфракрасного диапазонов. При этом рабочие частоты оказываются на много порядков выше, чем частоты диапазона СВЧ. Использование обычных принципов создания объемных резонаторов, подобных описанным, наталкивается на непреодолимые трудности. Например, прямоугольный объемный резонатор для воли светового диапазона, работающий на типе колебаний с индексами порядка нескольких единиц, должен обладать размерами граней в несколько световых длин волн, что составляет всего лишь несколько тысячных долей миллиметра.
Очевидно, что практическое выполнение такой конструкции не представляется возмогкным. На первый взгляд может показаться, что разумно использовать объемные резонаторы с очень высокими, порядка тысячи и более, значениями индексов гп, п и р. Эта мера должна позволить значительно увеличить габариты конструкции и сделать их приемлемыми для изготовления. Однако нетрудно убедиться в том, что работа такого резонатора не может быть удовлетворительной по следующей причине.
Согласно (12.18) при больших величинах индексов абсолютная величина разности резонансных длин волн между соседними типами колебаний (например, Н,»„ и Н, „е,) непрерывно уменьшается с ростом индексов Как следствие, рано илн поздно частотный интервал между соседними типами колебаний становится мень. 198 ше, чем ширина резонансной кривой. При этом резонатор перестаег выполнять роль фильтрующей счстемы От указашюго недостатка полностью свободна система, изображенная на рис. 12.19 и носящая название открытого объемного резонатора конфокального типа. Данный резонатор представляет собой систему из двух металлических зеркал сферического профиля; фокусные расстояния зеркал равны половине длины системы, Принципиально важно, что все геометрические размеры системы (диаметр зеркал, фокчспое расстояние) значительно превышают рабочую длину волны.
Теоретически и экспериментально было показано, что Рис. 12.19. Открытый объемный резонатор. в конфокальном резонаторе существует, вообще говоря, бесконечная последовательность отдельных типов колебаний, различающихся между собой как структурой электромагнитного 1поля, так и резонансными частотами. Общим для всех типов колебаний в конфокальном резонаторе является то, что поля этих типов колебаний локализованы в относительно узкой околоосевой области. Открытым колебательным системам присущ опецифический механизм потерь, заключающийся в утечке части мощности за края зеркал Данные потери носят название днфракционных потерь н связаны с конечностью поперечника зеркал. Для оценки величины дифракциоиных потерь принято вводить так называемый дифракционный параметр П 2.31) с=та'Д., где а — радиус зеркала; Б — расстояние между зеркалами. Было показано, что дифракционные потери чрезвычайно быстро падают с ростом параметра с.
На ~практике принято выбирать с>2л. 12.8. Общая постановка задачи о колебаниях в объемном резонаторе Подробно рассмотренные прямоугольные и круглые объемные резонаторы обладают весьма простой геометрией и по этой причине могут быть изучены как захороненные отрезки соответствующих волноводов. Однако' может быть поставлена теорегическаи задача о свободных колебаниях электромагнитного поля в замкнутом объеме )г произвольной формы, ограниченном идеально проводя- 199 щей поверхностью 5. подобная задача описывается однородным уравнением Гельмгольца р Е+узЕ=О, (12.32) или (12.33) р н + узн = о при очевидном граничном условии (12.34) Е = О(л.
В математической физике показано, что данная краевая задача имеет бесчисленное множество нетривиальных решений (собственных функций), каждому из которых отвечает вполне определенное значение волнового числа у. Эти волновые числа образуют совокупность собственных значений краевой задачи н определяют собой множество резонансных длин волн в рассматриваемой системе. С физической точки зрения ~процесс в резонаторе произвольной формы также может быть рассмотрен как интерференция всевозможных бегущих волн, однако здесь форма волновых фронтов отвечает конкретной геометрии.
стенок и не может быть приведена к плоским, цилиндрическим или сферическим волнам. Совершенно очевидно, что классификация типов колебаний в произвольном резонаторе, основанная на выделении волн типа Е нли Н, также теряет всякий смысл. Здесь естественно располагать отдельные типы колебаний в порядке укорочения резонансных длин волн, ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИИ" МАКСВЕЛЛА. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ 13.1. Постановка задачи Во всех случаях, рассмотренных ранее, изучались так называемые однородные задачи электродинамики. При этом источники электромагнитного поля предполагались достаточно удаленными от области, в которой находилось электромагнитное поле. Во многих практических задачах часто требуется непосредственно связать величину сторонних электрических токов, являющихся источниками электромагнитного поля, с векторами Е и Н в любых точках пространства.
Сюда относится, прежде всего, большинство задач из теории излучающих антенн. Другим примером может служить задача о возбуждении объемного резонатора с помощью штыря, щели, электронного пучка и т. д. С математической точки зрения решение всех указанных задач сводится к решению неоднородной системы уравнений Максвелла, которая может быть записана следующим образом: тот й — 1ав,Е =1„ го1 Е+/в~ь,Н =О, б)ч В=О, с11ч В = О. (13.1) Здесь для простоты предполагается, что плотность объемного заряда р=О. Подчеркнем, что в 'правой части системы (13.1) записана плотность стороннего электрического тока, являющаяся известной векторной функцией пространственных координат.
В этом смысле имеется прямая аналогия между неоднородной задачей электродинамики и задачей о нахождении токов и напряжений в электрической цепи, на которую воздействуют заданные сторонние э. д. а. 201 13.2. Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля Непосредственное решение системы (13.1), как правило, весьма сложно, поскольку здесь определению подлежат шесть неизвестных составляющих векторов Е и Н. Поэтому бывает целесообразным найти некоторую вспомогательную функцию, знание которой позволило бы одновременно найти векторы напряженности электрического и магнитного полей. Подобные вспомогательные функции в электродинамике носят название потенц и а л о в электромагнитного поля.
Отметим, прежде всего, что третьему уравнению системы (!3.1) удовлетворяет векторное поле В, опреде. ляемое по формуле (! 3.2) В = го! Аь. Здесь А' — некоторая векторная функция, носящая название электрического векторного потенци ал а. Подобное название обусловлено тем, что эта величина естественно используется в тех задачах, которые связаны с возбуждением электромагнитного поля электрическими сторонними токами. Аналогично Н = — го!А'. 1 (!3.3) иа Соотношения (13.2) и (13.3) весьма неопределенны, поскольку единственное условие, налагаемое на А',— это дифференцируемость, обеспечивающая существование ротора данного векторного поля.
Попытаемся при помощи электрического векторного потенциала определить вектор напряженности электрического поля. Для этого подставим (13.3) во второе уравнение системы (13.1): го! Е + уо го! Аэ = О, (13.4) т. е. (!3.5) го!(Е+!мА ) =О. В силу известного тождества векторного анализа го! ятад <р=О соотношение (13.5) будет выполняться автоматически, если ЯВ Е + )мА' = — ~тай уэ (13.б) Здесь у' — некоторая скалярная функция, называемая скалярным, электрическим потенциалом. Выбор знака в правой части последней формулы обусловлен тем, что в соответствии с известным соотношением электростатики для полей, не зависящих от времени, справедливо равенство Е== — игай ~р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
