Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973) (944136), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При этом сохраняется традиционное направление стрелок на силовых линиях электрического поля, при котором истоком поля считается положительный заряд. Итак, в данном параграфе найден способ выражения векторов электромагнитного поля через векторный и скалярный электрические потенциалы: Е = — нтай рэ — )вА', Н = го1А'. (13.7) 1 иа 13.3. Калибровка потенциалов. Неоднородное уравнение Гельмгольца Подставим соотношения (13.7) в первое уравнение Максвелла (13.1): — го1 го1 А'+)ич, атай р+ )аз,)мАэ = 1„, (13 8) 1 «"а Раскрывая операцию го1го1, получаем огай(й)чАэ+)щ, и уэ) 17'Аэ 7'Аэ в ) (13 9) До сих пор не накладыьалось никаких ограничиваю:цих условий на вид функций А' и у'.
Потребуем теперь, чтобы оба потенциала удовлетворяли следующему соотношению: йпг Аэ,+ров р, уэ 0 (13П0) Формула (13.10) носит название соотношения к а л и бровки потенциалов. Из.за произвольного выбора функций А' и (~а калибровочное соотношение может быть удовлетворено в любом случае. Заметим, что наложение условий (13.10) значительно упрощает уравнение (13,9), которое принимает вид ввз т.
е. получается неоднородное уравнение Гельмгольца относительно векторного электрического потенциала; в правой части его стоит известная функция распределения плотности стороннего электрического тока. Отметим, что операция калибровки потенциалов позволяет выразить оба вектора электромагнитного поля через единственную функцию — электрический векторный потенциал. Действительно, воспользовавшись (13.10), можно представить формулы перехода (!3.7) следующим образом:. Е = (~габ б(ч А'+ 7'А'), Н = — го1 А'.
(!3.12) )ьмапа Рв 13.4. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца В данном параграфе на основе простых физических соображений будет показан способ нахождения решения неоднородного уравнения Гельмгольца. р' Предположим, что сторон,ние электрические токи локализованы в некотором объеме (рис. 13.1); интенсивность 1/ Фет возбуждаемого поля должна быть определена в точке Р, не принадлежащей 1/. / Рассмотрим элементарный объем А(/, окружающий точку Я, лежащую внутри )/. Очевидно, что интенсивность поля в точке наблюдения Р, возрис.
!д!. К решению не- никающего под действием тоодноподиого УРавьениЯ ков, протекающих внутри А!/, пропорциональна произведению З,тЯ) Л)/. Здесь Зьт(Я) — некоторое среднее значение плотности стороннего тока, которое можно считать постоянным .внутри Л(/ из-за малости последнего. Дальнейший путь решения уравнения (13.!1) заключается в следующем. Ввиду линейности уравнений Максвелла рассматриваемая система удовлетворяет 204' Здесь, в соответствии с обозначениями, принятыми на рис. 13.1, )г — текущее значение модуля. радиус-вектора, соединяющего точки Р н Я. Таким образом, с точностью до множителя пропорциональности величина элементарного воздействия откуда полная величина электрического векторного по- тенциала в точке наблюдения может быть найдена при помощи суммирования: Аэ (Р) ° ~~1~ ~Л„(Яг) е ,'ЬЧг.
(13.14) а Для того чтобы определить неизвестный коэффициент пропорциональности, необходимо совершить операцию предельного перехода, устремив к бесконечности число отдельных элементарных объемов. Как показано в курсе математической физики, строгий предельный переход дает А'(Р) =ф,~.)„л™ оЧ. (13.15) Таким образом, получено интегральное представление общего решения неоднородного уравнения Гельмгольца. 206 принципу суперпозиции. В соответствии с этим принципом полное решение неоднородного уравнения Гельмгольца может быть получено как сумма всех воздействий, вызываемых в точке Р отдельными элементарными объемами.
С физической точки, зрения ясно, что по своей природе данные воздействия представляют собой сферические волны, распространяющиеся из отдельных точек объема Ч и уносящие электромагнитную энергию на бесконечность. Ранее, в гл. 2, было указано, что комплексная амплитуда сферической волны записывается в виде ГЛАВА ЧЕТЪ|РНАДЦАТАЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИЗЛУЧАТЕЛИ 14.1. Элементарный электрический излучатель й зм 1 1 1 / / 1 1 ° / Рис, 14,2. К нахождению разно. сти хода лучей от двух крайних точек излучателя. Рис. 14.1. Элементарный элек- трический излучатель. зом. В разрыв излучающего проводника включается ге.
нератор |рис. 14.1); ток проводимости от генератора проходит по одному из плеч излучателя, замыкается в виде токов смещения и через другое плечо возвраща. ется в генератор. Малость длины излучателя по сравнению с длиной волны позволяет рассматривать его,как точечный источник электромагнитных волн. Действительно, в произвольно расположенную точку наблюдения Р приходят сферические волны, возбуждаемые всеми элементарными участками излучающего проводника. Наибольшая геометрическая разность хода для двух волн с радиусайи-векторами )гт и 11а составит |рис.
14.2); Ь 1з)п а, (14.1) Элементарным электрическим излучателем (вибратором) называется отрезок проводника, по которому протекает переменный электрический ток, причем длина проводника 1 значительно меньше длины волны в вакууме Х. С физической точки зрения по элементарному электрическому излучателю ток протекает следующим обра- откуда разность фаз, выраженная в радианах, будет равна 6'р = 1Л = — ейп а (( 1.
2п1 л (14.2) Согласно (14.2) при 1/Л«1 система излучает как бы единую сферическую волну и в этом смысле может считаться точечным источником. 14.2 Векторный электрический потенциал для элементарного электрического излучателя Пользуясь результатами гл. 13, вычислим поле векторного электрического потенциала, возбуждаемого элементарным электрическим излучателем в неограниченном свободном пространстве (на=во, на=по).
В соответствии с физической постановкой данной задачи воспользуемся сферической системой координат (», й, Чт), в начальной точке которой расположим излучатель. Ввиду малости геометрических размеров излу- 4 чателя радиус-вектор Я,вхо- 'В е дящий в формулу (13.15), дае„ может считаться постоян- Р ным и равным сферической координате к Отсюда будем та иметь В А'(Р)=ф ) д„дК (14.3) Рис. !4.3. Определение сфери. ческих проекций векторного потенциала. Интегрирование 'вектора плотности стороннего тока по объему, занятому излучателем, представляет, на первый взгляд, логические трудности, поскольку, по определению, объем излучателя должен быть устремлен к нулю.
Наиболее простой путь состоит в анализе физической размерности интеграла, входящего в (14.3). Нетрудно проверить, что данный интеграл имеет размерность А м. Здесь известны амплитуда стороннего электрического тока в излучателе ! и его длина 1, 201 Требуемая размерность будет получена, если поло- жить ~ '~стг((г — 11 ' 1г (14.4) откуда (14.5) Единичный вектор 1, в двух последних формулах указывает иа то, что ось элементарного излучателя направлена параллельно оси а.
Для дальнейшего анализа необходимо знать разложение вектора А' в каждой точке пространства по ортам сферической системы .координат. Способ подобного разложения показан на рис. 14.3, из которого следует, что е — 1и 4'„=~А'~созй= ч' Л, созй, (14.6) Л'= — !Аэ~з(пб= — — "„'!1 ', з(пй. в 4п 14.3 Составляющие электромагнитного поля Элементарный электрический излучатель представляет собой простейшую антенну, предназначенную для передачи электромагнитных колебаний в пространство.
Поэтому большой интерес представляет нахождение структуры электромагнитного поля, возбуждаемого излучателем. Поскольку в предыдущем параграфе был найден электрический векторный потенциал, напряженности электрического и магнитного полей могут быть непосредственно выражены через формулы перехода (13.12). Например, Н = — го1 А~. ! Рв Вычисление операции го1 должно быть проведено в сфе- рической системе координат (см. приложение).
При этом 208 Поскольку вектор электрического потенциала всюду на- правлен параллельно оси г, его проекция на направле- ние азимутального угла у тождественно равна нулю, т.е. Л,' =О. Н,=О, Н,=О, И = 4 *(1+!!г)з!пйе ~". (14.7) Итак, в электромагнитном поле, возбуждаемом элементарным электрическим излучателем, присутствует вектор Н, обладающий единственной азимутальной составляющей. В этом смысле можно усмотреть некоторое сходство с магнитным полем постоянного электрического тока, протекающего по бесконечному линейному проводнику. Как известно, силовые линии магнитного поля при этом также имеют вид концентрических окружностей, охватывающих проводник. Составляющие вектора Е могут быть определены иэ формул перехода (13.12) или, что более просто, из первого уравнения Максвелла Е= го! Н.
1 !»»»» Проведя соответствующие вычисления, будем иметь: Е„= 2, (1+1'!Г) соз Е, =, (1+ 1!г — 7'г') з!и 6 е и', (14.8) Е„= О. 14.4. Ближняя и дальняя зоны элементарного электрического излучателя Найденные в $ !4.3 составляющие электромагнитного поля позволяют построить картину, силовых линий во всем пространстве. Соответствующий эскиз, отображающий распределение силовых линий в плоскости боль- 209 вычисление значительно упрощается, поскольку, с одной стороны, А'=О, а с другой, — отличные от нуля составляющие А' и А; не зависят от угла у, так что д!ду=О (см. 14.6). Проводя конкретные вычисления, получаем: шбго круга, представлен на рис.
! 4.4. эаметим, чтб в силу независимости составляющих поля от угла данная картина останется неизменной в любой плоскости, проходящей через ось излучателя. Крайне важно отметить, что при удалении точки наблюдения от начала координат, т. е. при уг — ~се, в выражениях для составляющих как поля Е, так и поля Н Рис. 14.4. Структура силовых линий электрического поля вблизи элементарного излучатели.
существенный вклад дают лишь члены, пропорциональные 1/г, в то время как другие г,пагаемые, пропорциональные 1/гз и 1/г', могут считаться исчезающе малыми. Однако эти же самые слагаемые целиком определяюг структуру электромагнитного поля в непосредственной близости от излучателя при уг — эО. В соответствии со сказанным, область пространства, характеризующаяся неравенством уг«1, называется ближней зоной, а область, в которой уг>)1— д а л ь н е й з о н о й элементарного излучателя. Точной границы между. двумя указанными зонами не существует.
С физической точки зрения ближняя зона представляет собой область пространства, в которой преимущественное значение имеют так называемые квазистатические поля. Эти поля, резко убывающие при удаленви от источника, продолжают существовать при стремл,.— 210 Е = ! айпи. у!т' . е В чае г 1Нт е — зз Н = — з!пΠ—. 4к г (1 4.9) Из соотношений (14.9) могут быть сделаны следующие выводы: 1) электрический и магнитный векторы в дальней зоне колеблются в фазе, что свидетельствует о переносе только активной мощности; 2) вектор Пойнтинга в дальней зоне направлен параллельно единичному вектору 1„ т. е. мощность пере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
