05 Линейные операторы в евклидовых пространствах (936692), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для любой симметрической матрицы M существует такая ортогональнаятматрица U , что U M U = Λ, где Λ = diag (λ1 , . . . , λn ) — диагональная матрица, диагональными элементами которой являются собственные значения матрицы M , повторяющиеся согласноих кратности.J Доказательство теоремы основано на следствии 5.4, теореме 5.9 и свойстве 5.2. Согласноследствию 5.4, для симметрической матрицы M порядка n существует такая невырожденнаяматрица P , что P −1 М P = Λ = diag (λ1 , . .
. , λn ), где в последовательности λ1 , . . . , λn указанывсе собственные значения матрицы M с учетом их кратностей. Из доказательства того жеследствия вытекает, что P является матрицей перехода между ортонормированными базисами.тПоэтому P — ортогональная матрица (см. теорему 5.9) и P −1 = P (см. свойство 5.2).
Следотвательно, P М P = P −1 М P = Λ, т.е. в качестве матрицы U в формулировке теоремы можновзять P . IÔÍ-12Преобразование (5.12) с ортогональной матрицей U иногда называют ортогональнымпреобразованием матрицы A. Поэтому теорему 5.10 можно сформулировать так: любаясимметрическая матрица ортогональным преобразованием приводится к диагональному виду.Чтобы найти соответствующую матрицу U , о которой говорится в этой теореме, необходимо:1) найти собственные значения матрицы M ;2) для каждого собственного значения найти набор собственных векторов, соответствующих этому собственному значению, при этом эти собственные векторы должны быть линейнонезависимыми и их количество должно равняться кратности собственного значения;3) преобразовать системы собственных векторов, полученные для каждого собственногозначения, в ортонормированные при помощи процесса ортогонализации Грама — Шмидта.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(5.12)ÌÃÒÓÌÃÒÓтA0 = U AU.ÔÍ-12ÔÍ-12Матрица A линейного оператора A при замене базиса преобразуется согласно формулеA0 = U −1 AU , где U — матрица перехода (см.
теорему 3.5). Если речь идет об евклидовомпространстве и переходе из одного ортонормированного базиса в другой, матрица переходаU является ортогональной (см. теорему 5.9). Согласно свойству 5.2, такая матрица удовлеттворяет соотношению U −1 = U . Поэтому для случая ортонормированных базисов формулупреобразования матрицы линейного оператора можно записать следующим образом:ÌÃÒÓÌÃÒÓПоследнее равенство в приведенной выкладке следует из того, что столбцы e1 , .
. . , en —это столбцы координат векторов ортонормированного базиса в ортонормированном базисе, атматричное произведение ei ej представляет собой запись в координатах скалярного произведения (ei , ej ), которое в силу ортонормированности базиса e равно нулю при i 6= j и единице приi = j.тМы показали, что U U = E, а это, согласно определению 5.3 ортогональной матрицы, иозначает, что U — ортогональная матрица.
IÌÃÒÓÌÃÒÓ63ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÌÃÒÓλ3 − 12λ2 + 21λ − 10λ3 − λ2λ −1λ2 − 11λ + 10− 11λ2 + 21λ− 11λ2 + 11λÔÍ-1210λ − 1010λ − 100Получаем разложение(λ − 1)(λ2 − 11λ + 10) = 0,x1 + 2x2 − 2x3 = 0,Ранг матрицы этой системы равен единице (все строки матрицы системы пропорциональны), поэтому можно отбросить второе и третье уравнения, оставив первоеx1 + 2x2 − 2x3 = 0.ÔÍ-122x1 + 4x2 − 4x3 = 0, −2x − 4x + 4x = 0.123ÌÃÒÓоткуда находим оставшиеся два корня λ2 = 1, λ3 = 10.
Таким образом, имеются два собственных значения: 1 кратности 2 и 10 кратности 1.2–3. Найдем для собственного значения λ1,2 = 1 кратности 2 два линейно независимыхсобственных вектора. Для этого нужно найти фундаментальную систему решений однороднойсистемы линейных алгебраических уравнений (A − E)x = 0, т.е. системыÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Это уравнение третьей степени. Так как его коэффициенты являются целыми числами, то целоечисло может быть его корнем лишь в случае, если оно делитель свободного члена. Поэтому мыможем поискать корни среди чисел ±1, ±2, ±5, ±10. Подстановкой в уравнение убеждаемся,что одним из корней является λ1 = 1.Найденный корень позволяет разложить левую часть характеристического уравнения налинейный и квадратичный множители, например, при помощи деления характеристическогомногочлена на λ − 1 «в столбик»:ÌÃÒÓÌÃÒÓк диагональному виду.1. Находим собственные значения матрицы A.
Для этого составляем ее характеристическоеуравнение2−λ2−2det(A − λE) = 2 5 − λ −4 = −λ3 + 12λ2 − 21λ + 10 = 0. −2−4 5 − λ ÌÃÒÓÔÍ-12Пример 5.8. Найдем ортогональное преобразование, приводящее симметрическую матрицу22 −25 −4 A= 2−2 −45ÔÍ-12ÌÃÒÓОбъединить ортонормированные системы для каждого собственного значения в единую системувекторов, которая будет ортонормированным базисом евклидова пространства;4) выписать матрицу U , столбцами которой являются координаты векторов построеннойортонормированной системы.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ64ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÌÃÒÓНайденные векторы e1 , e2 , e3 образуют ортонормированный базис из собственных векторов.Замечание 5.2.
В случае n = 3 при λ1 = λ2 6= λ3 собственные векторы удобнее с точкизрения экономии вычислений находить в следующем порядке. Сначала для собственного значения кратности 1 (λ3 = 10 в рассмотренном примере) найти собственный вектор и нормироватьÔÍ-12которая и является искомой.Убедиться в том, что матрица U определена правильно, можно при помощи подстановкиматрицы U и заданной матрицы A в следующее тождество:1 0 0тU AU = 0 1 0 .0 0 10ÌÃÒÓ4.
Составим из найденных векторов ei матрицу√ −6 2√51 U= √3 42√5 ,3 50 5 −2 5ÔÍ-12В качестве ее фундаментальной системы решений можно взять одно ненулевое решение, напритмер вектор b3 = (1 2 − 2) . Нормируя этот вектор, получаем11e3 = 2 .3−2ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓДля собственного значения λ3 = 10 система линейных алгебраических уравнений имеет вид(A − 10E)x = 0, или −8x1 + 2x2 − 2x3 = 0,2x1 − 5x2 − 4x3 = 0,−2x1 − 4x2 − 5x3 = 0.ÌÃÒÓÔÍ-12Найденные собственные векторы, соответствующие собственному значению λ1,2 = 1, линейно независимы, но ортогональными не являются. Построим по ним другую, ортонормированнуюпару собственных векторов e1 , e2 при помощи процесса ортогонализации Грама — Шмидта:−21b1= √ 1 ,e1 =kb1 k50 21 4 ,g 2 = b2 − (b2 , e1 )e1 =553kg 2 k = √ ,5 21ge2 = 2 = √ 4 .kg 2 k3 5 5ÔÍ-12ÌÃÒÓВ качестве независимых переменных выбираем x2 , x3 .
Фундаментальную систему решенийсоставляют x2 = 1, x3 = 0, x1 = −2 и x2 = 0, x3 = 1, x1 = 2, т.е. векторы −22b1 = 1 ,b2 = 0 .01ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ65ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12его. Обозначим полученный вектор, например, e3 . Затем для собственного значения кратности 2 (λ1,2 = 1 в рассмотренном примере) найти один собственный вектор и нормировать его.Получим вектор e1 .
Векторы e1 и e3 будут ортогональными согласно теореме 5.4. Недостающий третий вектор ортонормированного базиса может быть найден при помощи векторногопроизведения: e2 = e1 ×e3 .Описанный прием позволяет избежать процесса ортогонализации. Точно так же можно неприменять процесс ортогонализации при n = 2, так как, зная один вектор e1 ортонормированного базиса, мы можем получить второй поворотом первого на 90◦ . Для этого достаточнопоменять две координаты вектора e1 местами, а у первой из них к тому же изменить знак.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ66ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ.........................
. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ..................565658596063ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Линейные операторы в евклидовых пространствах . .Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Самосопряженные операторы и их матрицы . . . . . . . . .
.Собственные векторы самосопряженного оператора . . . . . .Ортогональные матрицы и ортогональные операторы . . . . .Приведение симметрической матрицы к диагональному видуÔÍ-1267ÌÃÒÓЛекция 5.5.1.5.2.5.3.5.4.5.5.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
