Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Для определенна пологкения свободно летящей микрочастнцы поставим па се пути щель шириной Ьх, расположенную перпендику,чярно к направлени!о движения частицы (рнс. 193). До 3!1 прохождения частицы через щель ее составляющая импульса р имеет точное значение, равное нулю (щель по условию перпендикулярна к импульсу), так что !Ур„= О, зато координата х частицы является совершенно неопределенной.
В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределешюсть Лх, но это достнгается ценой утраты определенности значения р . Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться !р.
в пределах угла 2ф, где ф — угол, соответствуюий Р угчФс «. — 8 циониому минимуму (максимумами высших !'ис. !94. порядков можно пре- небречь, поскольку их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума). Таким образом, появляется неопределенность: Лр„= рз!пф. В 5 24 мы нашли, что краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающегося от щели шириной Ьх, соответствует угол ф, для которого х з!пф= —. Ьх ' Следовательно стр откуда с учетом (64.1) получается соотношение Ахар„= рХ.= 2па, согласующееся с (66.2).
Оценим неопределенность кординаты и импульса для электрона в электроннолучевой трубке. Пусть след электронного пучка на экране имеет радиус и порядка 10-а см, длина трубки 1 порядка 10 см (рис. 194). Тогда Лр„/р„10-4. Импульс электрона связан с ускоряющим напряжением У соотношением: рс — = е(l 2си откуда р= )lг2гпе~l. При напряжении с! — !О' в энергия электрона равна 1О! зв = 1,6 ° 10-а эрг. Оценим величину импульса: р= Ф 2 0,91 ° 10 ° 1,6 ° 10 = 5 10 ".
Следовательно, Лр = 5.10-!з !О-' = 5 1О-тз. И, наконец, согласно соотношени!о (66.2): ь !Оз ° !О м Дх= — = ' . =2 10 всю. ярк З ° !О ж Полученный результат свидетельствует о том, что движение электрона в рассматриваемом случае будет практически неотличимо от движения по траектории. Соотношение неопределенностей отражает двойственную корпускулярно-волновую природу микрочастнц. Од.
ного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов. В частности, оно позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома и минимальную возможную энергию электрона в таком атоме. Если бы электрон упал на точечное ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые)' значения, что несовместимо с принципом неопределенности. Этот принцип требует, чтобы неопределенность координаты электрона Ы и неопределенность импульса Ьр были связаны условием (66.2). Формально энергия была бы минимальна при г = 0 и р = О. Поэтому, производя оценку наименьшей возможной энергии, нужно положить Ьг = г и Лр = р, Подставив эти значения в (66.2), получим соотношение (65.3) (для определенности вместо знака ~ мы взяли знак =), Энергия электрона в атоме водорода равна ,з з Е= — — —.
зт Заменив согласно (66.3) р через Ь/г, получим, что гя е' (66.4) 3!9 'г!айдем значение г, при котором Е минимальна. Продифферевцировав функцию (66.4) по г н приравняв производную нулю, придем к уравпеншо: а", в'- ОО-~ У2 откуда следует, что 02 г =- —, ляГ-' (66.5) Полученное нами значение совпадает с радиусом первой боровской орбиты водородного атома [см. формулу (63.4)). Энергию основного состояния можно найти, подставив значение (66.5) в формулу (66.4): Ч !' мгд Р, гвв' лии Е 2п~[ Р ! ' гн па~ Найденное значение также совпадает с энергией первого боровского уровня для Л = ! [см. формулу (63.5)). То обстоятельство, что мы получили точные значения г и Е, является, конечно, просто удачей.
Приведенный вамп расчет может претендовать лишь на то, чтобы дать оценку порядка величины г и Е й 67. Свойства волновой функции. Квантование Значение уравнения Шредингера далеко нс исчерпывается тем, что с с~о поэшщыо можно найти вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Из этого уравнения и пз условий, налагаемых па волповтю фупкцикь непосредственно вытекают правила квантования эпсрпш.
Упомги1утые условия состоят в том, что волновая функция ф в соо1ветс1впн с ее физическим смыслом должна быть однозначной, конечной и непрерывной во всей области изменения переменных х, р и г. В уравнение Шредингера входит в качествс параметра полная энергия частицы Е В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения ~акого вида, как уравнение Шредингера, пме1от решения, удовлетворяющие сформулированным выше условиям (т. с. однозначные, конечные и непрерывные), не при любых значениях параметра Е, а лишь при некоторых избранных значениях. з20 ~ фф* (Р=1.
(67.1) Интегрирование производится по всей области изменения переменных х, у н г. Интеграл (67.1) представляет собой сумму вероятностей нахождения частицы во всех возможных элементах объема, т. е. вероятность обнаружить частицу в каком-либо месте пространства. Эта вероятность есть вероятность достоверного события и, следовательно, должна быть равна единице.
9 68. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Прохождение частиц через потенциальный барьер' Частица в потенциальной вме. Чтобы пояснить сказашюе в предыду!цем параграфе, рассмотрим конкретный пример, достаточно простой для того, чтобы можно было решить уравнение Шредингера без большого труда. Исследуем поведение частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х. Пусть движение ограничено непроницаемь>ми для частицы стенками: х = О и х = 1. Потенциальная энергия (/ имеет в этом случае следу!оп1нй вид (рис.
195, а): она равна нулю при О (х ~1 и обращается в бесконечность при х < О н л ) 1. Поскольку функция !р зависит только от одной координаты х, уравнение (65.3) будет иметь внд: ко~ + 2!!! (Е (68.1) 32! ! ! н, В. савельев т. н! Эти избранные значения называются собственными з н а че н ия м и параметра, а соответствующие им решения уравнения — собственными функциями задачи. Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет весьма трудную математическую задачу. Поэтому в дальнейшем мы будем ограничиваться обсуждением результатов, получающихся при решении уравнения Шредингера для различных случаев движения, почти не касаясь чисто математической стороны соответствующей задачи.
Отметим, что волновые функции должны быть всегда «нормирова!!ы» таким образом, чтобы За пределы потенциальной ямы частица попасть не иожет. Поэтому вероятность обнаружить частицу, а следовательно и функция ср, за пределами ямы равна нулю. Калев, из условия непрерывности следует, что ф должна 5ыть равна нулю и на границах ямы, т. е. что ф(О)=О, ф(,Е) = О. (68.2) Выражения (68.2) и определяют те условия, которым должны удовлетворять решения уравнения (68.1), имею- 1ЦИЕ фИЗИЧЕСКИй СМЫСЛ. Еу Еа Е, Рис. 195. В области, где ф не равна тождественно нулю, уравнение (68.1) принимает следующий вид ((» в этой области равна нулю): — 2+ ла Еф=О.
о2ф 2т (68.3) Введя. обозначение 2тЕ/йв = оР, получим уравнение, хорошо известное нз теории колебаний: фм+ оР$= О. ') См. т. 1, формулу (62.7). Здесь удобнее взить синус амссго косинуса. З22 Решения такого уравнения, как известно'), имеют вид: ф(х) =аз(п(ах+а). Условиям (68.2) можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных е и а. Прежде всего, из условия ф(0) = 0 получаем: т' (0) = а з)п а = О, откуда следует, что а должна быть равна нулю.
Далее, должно выполняться условие: ф Я= аяша( = О, что возможно лишь в случае, если о4= ~пи (и=1, 2, 3„...) (68.4) (и = 0 отпадает, поскольку при этом получается ф — = 0— частица нигде не находится). Из (68.4) вытекает, что решения уравнения (68.3) будут иметь физический смысл не прн всех значениях энергии Е, а лишь при значениях, удовлетворяюншх соопюшению: ьг — Е = —,пз (п=1, 2, 3, ...). Ьл зР Таким образом, не прибегая ни к каким дополнительным предположениям (как это пришлось сделать Бору), мы получили квантование энергии частицы и нашли собственные значения этой энергии: Е„= —,, пз (и =1, 2, 3, ...). (68.5) Схема энергетических уровней изображена на рис. 195, б.
Прбизведем оценку расстояний между соседними уровнями для различных значений массы частицы т и ширины ямы 1. Разность энергий двух соседних уровней равна ~РР ~Ра1 ба Ел+! Ел дюн (2п+ 1) ~,у Если взять т Порядка массы молекулы ( 10-м г), а 1 порядка 1О см (молекулы газа в сосуде), получается ЗИ 1ОЗ' 1О- -з ЬЕ„= ' ' и= 1О и эрг. 1О зз ПР Столь густо расположенные энергетические уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр. энергии, так что хотя квантование энергии в принципе 11' ЗЯЗ будет иметь место, но на характере движения молекул сказываться не будет.
Аналогичный результат получается, если взять т порядка массы электрона ( - 16-и г) при тех же размерах ямы (свободные электроны в металле). В этом случае ЬЕ„= 1О а эре = 1О ' а эв. Однако совсем иной результат получается для электрона, если область, в пределах которой он движется, будет порядка атомных размеров ( 1Π— э си). В этом случае ЗД4 . КОО 1О и -ю и 1О ° 1О Очевидно, что в этом случае дискретность энергетических уровней будет проявляться весьма заметным образом. Собственными функциями, как следует из условия (68.4), будут ф„(х) = а з1 п — .
Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием нормировки (67.1), которое в данном случае запишется следующим образом: а ~ з1 — ""',(х= 1. ! о На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в нуль. Поэтому значение интеграла можно получить„умножив среднее значение з(пз(анхД) (равное, как известно, 1/2) на длину промежутка В результате получится: аэ(1/2)1= 1, откуда а= $'2Д. Таким образом, собственные функции имеют вид: ф„(х)= ~/ — з!и — ' (и=!, 2, 3, ...). (68.6) Графики функций (68.6) изображены на рис.
!96,а~ На рис, 196,6 дана плотность вероятности обнаружения частицы па различных расстояниях от стенок ямы, равная фф'. Как следует из графиков, частица в состоянии; 324 например, с и = 2 не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, Рис. 196. очевидно, не совместимо с представлением о траекториях. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны, Прохождение через барьер. Пусть частица, движущаяся слева направо, падает на потенциальный барьер Д' 17 а д .Р Ф Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
