Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 52
Текст из файла (страница 52)
197. высоты Ус и ширины ( (рис. !97,а). По классическим представлениям поведение частицы' имеет следуиэщий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера (Е > 0с), частица беспрепятственно проходит «над» барьером (на участке 0 (х- ( лишь уменьшается 325 скорость частицы, но затем при х) 1 снова принимает первоначальное значение). Если же Е меньше ~4 (как изображено на рисунке), то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может. Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантовой механике. Во-первых, даже при Е > У» имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при Е < ~4 имеется отличная от нуля вероятность того; что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где х > 1.
Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастнцы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера. Рассмотрим случай Е < 11ь В этом случае уравнение Н1редингера имеет вид: И'ф Ви — + — Еф=О л»«й~ для областей 1 и П1 и ,цз + г, (Š— По)'Ф=О Юз) 2т для области П, причем Š— Уз < О. Легко убедиться (хотя бы подстановкой), что общее решение уравнения Шредингера для каждой из трех областей имеет вид: ~р, =А,е""+ В,е "" для области 1, йч=А»зз«+В»е з" для области П, (68.7) $з=А»е"'+В,е-'~* для области 1П, причем а и р определяются из выражений: Рг (0о - и) (88 8) Заметим, что решение вида Ф " соответствует волне, распространяющейся в направлении оси х, а решение вида е-"" — волне, распространяющейся в противоположном направлении.
Чтобы это понять, вспомним, что обычная (звуковая, электромагнитная и т. п.) плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х, имеет вид соз(Ы вЂ” йх), а волна, распространяющаяся в на- 326 А, + В, = Аз + Вз, Азез! -1- Взе-а! — Азезз! заА! — 1аВ, = рАз — ()Вз, рАзеы — 5Взе М заАзе' '. (68,9) Разделим все уравнения на А, и введем обозначения: и, . Аз Вз Аз Ь! А, а,=А, Ьз=А,"!а=А ! ! ! ' 3 а также и=в р а (68.10) Тогда уравнения (68.9) примут вид: 1+Ь,= +Ь, а,е" + Ьзе-м азе"", !' — зЬ! иаз — иЬз, иазеа! иЬзе-В! = 1азезш (68.11) Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны ~в,р Л вЂ” !=1Ь! ~ 1Аз!' правлении убывания х, — вид соз(в1+ Йх) [см.
т. 1, формулы (78.2) и (78.5)1 В $65 мы установили, что волновая функция свободной частицы, движущейся в направлении осн х, имеет вид (65.5). Если отбросить в этой формуле временнбй множитель, то для ф получится значение енгIз!". Для частицы, движущейся в противоположном направлении, нужно, очевидно, взять е-з(г!з!". В области 1з! имеется только волна; прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент Вз следует положить равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся условиями, которым должна удовлетворять функция ф. Дззя того чтобы ф была непрерывна во всей области изменений х от — оо до +аз, должны выполняться условия' фз(0) з)з(0) и з)и(1) =зрз(1).
Для того чтобы ф была гладкой, т. е. не имела изломов, должны выполняться условия: ф;(0)=зр'(0) и з)!'(1)=фз(1). Из этих условий вытекают соотношения: определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера н может быть названо коз ф ф и ц не нтом отражения. Отношение квадратов модулей прошедшей и падающей волны О= — "!, '=)а,я (68.12) > ! определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом и р охождения (нли коэффициентом прозрачностии).
Нас будет интересовать только прохождение частиц через барьер, и мы ограничимся нахождением величины О. Правда, найдя О, легко найти Я, поскольку ати коэффициенты связаны очевидным соотношением: )4+О=1. Умножим первое из уравнений (68.!!) на 1 и сложим с третьим. В результате получим: 21' (и+!)а,-(и-е)Ь,. (68.13) Теперь умножим второе из уравнений (68.11) на ! н вычтем его из четвертою. Получим: (и- !) е"а, — (и+ 1) е-з>Ь, = О. (68.14) Решая совместно уравнения (68.13) и (68.14), найдем, что 2>" (и + >) е ае=,, е 1> (и+ >) е — (и — >) ев 21 (и — 1) ете (и+1)ее М-(и — >) ев Наконец, подставив найденные нами значения аз и Ье во второе нз уравнений (6811), получим выражение для ае.
4и1 (и + 1)е е-ж (и 1)е еж Величина >т»,:» Ь обычно бывает много больше единицы. Поэтому в знаменателе выражения для ае слагаемым, содержащим мно- 326 житель е-б', можно пренебречь по сравнению со слагаемым, содержащим множитель ерг (комплексные числа а+ г и гг — г имеют одинаковый модуль). Итак, можно положить 4лге г'"г аз= — . е р'. (о — г)' Согласно (68.12) квадрат модуля этой величины дает вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер. Учтя, что ) и — г ) )г а'+1, получим: 1.) =1а (г иа 1бл' (от+ 1р е ая где р' и,— и и, ат Е Е (см. формулу (68.8Ц.
Выражение 16па)'(па+ 1)а имеет величину порядка единицы '). Поэтому можно считать, что Как следует из полученного нами выражения, вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера 1 и от его превышения над Е, т. е. от (4 в Е. Если при какой-то ширине барьера коэффициент прохождения 1) равен, допустим, 0,01, то при увеличении ширины в два раза 0 станет равным 0,01' = 0,0001, т.е. уменьшается в 100 раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре раза величины (го — Е.
Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы т. В случае потенциального барьера произвольной формы (см., например, рис. 197,б) формула (68.15) должна быть заменена более общей формулой: ь ~ !' Ва 1О-Иг Лх а й=е (68.16) где 1/ = 1/(х). ') грукция 1бх/(х+ 1)а имеет при х 1 максимум, равный 4. В интервале значений х от 0,07 до 14 значения Функции лежат в пределах от 1 до 4. 329 При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (см. заштрихованную область на рис.
197,6)„ в связи с чем рассмотренное нами явление часто называют ту н н ел ьны м эффектом. С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, «находящаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией (в туннеле Е ( (7). Однако туннель — явление специфически квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовой же механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Действительно, тот факт, что частица обладает определенной кинетической энергией Т, был бы равнозначен тому, что частица имеет определенный импульс р. Аналогично тот факт, что'частица имеет определенную потенциальную энергию (7, означал бы, что частица находится в точно заданном месте пространства. Поскольку координата и импульс частицы не могут одновременво иметь определенных значений, не могут быть одновременно точно определены Т и К Таким образом, хотя полная энергия частицы Е имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Т и К Ясно, что при такой ситуации заключение об отрицательности Т в туннеле становится беспочвенным.
9 69. Атом водорода В атоме водорода или водородоподобном ионе потенциальная энергия электрона равна Хе~ и- —— г где Ее — заряд ядра, г — расстояние между ядром и электроном. Уравнение Шредингера (65,3) имет в этом случае вид Лф+ф(Е+ — ") ф-О. (69.)) Поскольку поле является центрально-симметричным, удобно воспользоваться сферической системой координат: г, б, ~р.
Подставив в (69Л) выражение оператора ззв Лапласа в сферических кординатах, получим уравнение: Можно показать, что уравнение (69.2) имеет требуе- мые (т. е. однозначные, конечные и непрерывные) реше- ния в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях Е; 2) при дискретных отрицательных значе- ниях энергии, равных мз4 Я2 Еп ~дг а (и 1 2 3 ° ° ). (69 3) И Случай Е ) 0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся вновь на бесконечность. Случай Е < 0 соответствует электрону, находящемуся в пределах атома. Сравнение '(69.3) с (63.5) показывает, что квантовая механика прииоднт к таким же значениям энергии водородного атома, какие получались н в теории Бора.
Однако в квантовой механике этн значения полу- ~ чаются логическим путем нз основного предположения о том, что движение микрочастиц описывается уравнением Шредингера. Бору же для получения такого результата пришлось вводить специальные дополнительные предпо- ложения. Собственные функции уравнения (69.2) содержат три целочисленных параметра. Один из ннх совпадает с но- мером уровня энергии и, два других принято обозначать буквами 1 и т.
Этн числа называются квантовыми; п — г'лавное квантовое число, 1 — азимутальное квантовое число, т — магнитное квантовое число. Прн данном и числа 1 н т могут принимать следую щие значения; 1=0,1,2,...,и — 1, т. е. всего и различных значений; ш= — 1, — 1+1,...,— 1,0,+1,...,1 — 1,1, т. е. всего 21 + 1 различных значений. Таким образом, каждому Е„ (кроме Е~) соответ- ствует несколько волновых функций ф„ь, отличающихся значениями квантовых чисел 1 и и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
