Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы (934757), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Уравнение (65.3) называется уравнением Ш редингера для стационарных состояний (плп уравнением Шредингера без времени). В дальнейшем мы будем называть его просто уравнением Шредингера. К уравнению Шредингера можно прийти путем сздующих рассуждений. Из опытов по дифракции мяк; очастиц вытекает, что параллельный пу шк частиц сблздает свойствами плоской волны, распространяющснсз в направлении движения частиц.
Уравнение плосксп золны, распространяющейся в напраглеяин осн х, имеет, как известно, вид: з>з ~ (х, )) = и соь ~ь>1 — = — х ) . Х Это выражение часто пишут в комплексном виде: ~(х, 1) = ае ~ '" >, (65,4) подразумевая, что надо принимать во внимание вещественную часть это>о выра>кения [см. т. (, формулу (79.9)].
Согласно гипотезе дс-Бройля свободному движешно частицы соответствует плоская волна с частотой ы = = Е/Ь и длиной волны ). = 2ля>р. Заменял ь> и ). в выражении (65.4) энергией и импульсом частицы, получим волновую функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси х: Ги а ( Ч'(х, г)=ае ~' ' >=ае " .
(65.5) Чтобы найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция (65.5), воспользуемся соотношением между Е и йч (65.6) Продифференцировав функцию (65.5) один раз по 1, а второй раз дважды по х, получим: д! Ь Из этих соотношений можно выразить Е и р' через функцию Ч' и ее производные: Д дЧ' ! . дЧ' ! Е = — —. — — = !'я. ш 1н ш ч~ ' д-Ч' ! дх2 Чс Подставляя последние выражения в соотношение (65.6), получим дифференциальное уравнение: ~2 д2ЧГ дЧУ вЂ” — — =- !'я —. 2а1 дх' д! Если направление волны не сочпадает с осью х (или у, или х), фаза колебаний будет зависеть от всех координат; х, у и х. Можно показать, что в этом случае дифференциальное уравнение имеет вид: А~ / д~чч днд д2Ч 1 дЧ~ — — ! —.-+ — + —,) =- !'И вЂ”, 2ж ~ дх' ду' дгд ) д! Полученное уравнение совпадает с уравнением Шредингера (65.1) для случая (! = О (частица по условию свободна).
Подстановка (65.2) в это уравнение (такаи подстановка правомерна, так как Ь = О, т. е. не зависит от 1) приводит к уравнению Шредингера для стационарных состояний: 2ш (65.7) Это уравнение совпадает с уравнением (65.3) для случая и=о. Таким образом, мы получнлн уравнение Шредингера для свободно движущейся частицы. Теперь следует обобщить уравнение (65.7) на случай частицы, движущейся в потенциальном поле сил, когда полная энергия Е слагается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии (7. 3$3 В случае свободной частицы полная энергия Е совпадает с кинетической Т, гак что величину Е в уравнении (65.7) можно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы. Обобщая уравнение (65.7) иа случай движения частицы в поле сил, нужно решить вопрос о том, что следует подразумевать для такой частицы под величиной Е: полную или только кинетическую энергию.
Если принять, что Š— полная энергия частицы. обобщенное уравнение, определяющее ер, а значит, и сама ф не будет зависеть от вида функции (7, т. е. от характера силового поля. Это, очевидно. не может соответствовать действительному положению вещей. Поэтому следует признать, что при наличии сил, действующих на частицу, вместо Е в уравнение (65.7) нужно ввести кинетическую энергию частицы Т = Š— (7. Произведя такую замену, мы придем к уравнению (65.3). Чтобы предостеречь читателя от иногда встречак~щегося заблуждения, необходимо еще раз подчеркнуть, что приведенные нами рассуждения ие могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Их цсль— пояснить, каким образом можно было прийти к установлению вида волнового уравнения для микрочастицы.
Доказательством же правильности уравнения Шредингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые получаются с помощью этого уравнения. й 66. Квантовомеханическое описание движения микрочастиц Соотношение между волновой функцией Ч' н описыгасмой ею частицей аналогично соотношению между световой волной и фотоном. В 6 57 мы установили, что квадрат амплитуды световой волны определяет вероятность попадания .фотона в соответствующую точку пространства. Точно так мсе квадрат модуля ') волновой функции для какой-либо точки пространства, будучи умножен на включающий в себя эту точку элемент объема с(к", определяет вероятность г(Р того, что частица будет обнаружена в пределах объема с((У: е(Р =~ Ч" ~ацц'=-Ч'1Р*Ю. ') Волновая функция и сс квадрат ивляются коыцлексныл~и велияниалш. Вероятность жс может выражатьсн только вентественвым числом. Таким образом, физический смысл функции 'Р заключается в том, что квадрат ее модуля дает плотность вероятности (вероятность, отнесенную к единице объема) нахождении частицы в соответствующем месте пространства.
Для стационарных состояний волновая функция имеет вид (65.2) и ЧгЧ"=а .опм~ф-е'щм1~,~'=фф* так что в этом случае плотность вероятности равна фф' и, следовательно, от времени не зависит. Из сказанного вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве нли тра.
екторию, по которой движется частица. С помощью волновой функции можно лишь предска- й — -1 зать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства. На первый взгляд л~ д) гф~ может гоказаться, что квантован меха- Рис. !92. ника дает значительно менее точное и исчерпывающее описание двигкения частицы, чем классическая механика, которая определяет «точно» местоположение и скорость частицы в каждый момент времени.
Однако в действительности это не так. Квантовая механика гораздо глубже вскрывает истинное поведение мпкрочастиц, Она лишь не определяет того, чего нет на самом деле. В применении к микрочастицам понятия определенного местоположения и траектории вообще теря1от смысл. Движение по определенной траектории несовместимо с волновыми свойствамн, что становится совершенно очевидным, если проанализировать существо опытов по днфракции. Рассмотрим дифракцию от двух близко расположенных отверстий (рис.
192). Вследствие интерференции волн, распространяющихся от отверстий, дифракционная картина не будет тождественна наложению дифракцнонных картин, получающихся от каждого из отверстий зю в отдельности (картина, получающаяся в случае рис. 192, а, пе совпадает с наложением картин, получавшихся в случаях б и в). Следовательно, вероятность попадания электрона (или какой-либо другой микрочастицы) в различные точки экрана при прохождении пучка через оба отверстия также не будет равна сумме вероятностей для случаев прохождения пучка через каждое из отверстий в отдельности. Отсюда неизбежно следует вывод, что на характер двиагеиия каждого электрона оказывают влияние оба отверстия.
Такой вывод не совместим с представлением о траекториях. Если бы электрон в каждый момент времени находился в определенной точке пространства и. двигался по траектории, ои проходил бы через определенное отверстие — первое или второе. Явление же днфракции доказывает, что в прохождении каждо~о электрона участвуют оба отверстия — и первое, и второе. 11е следует, однако, представлять дело так, что какаято часть электрона проходит через одно отверстие, а другая часть -- через второе. Электрон, как и другие мнкрочастицы, все~да обнаруживается как целое, с присущей ему массой, зарядом и другими характерными для него величинами.
Таким образом, электрон, протон, атомное ядро представляют собой чпггицы с весьма своеобразными свойствами. Обычный шарик, даже и очень малых размеров (макроскопнческая частица), не может служить прообразом мнкрочастицы. С уменьшением размеров начинают проявляться качественно новые свойства, не обнару>киваюгциеся у макрочастнц. В ряде случаев утверждение об отсутствии траекторий у микрочастиц, казалось бы, противоречит опытным фактам. Так, например, в камере Вильсона путь, по которому движется микрочастнца, обнаруживается в виде узах следов (треков), образованных кагельками тумана; движение электронов в электроннолучевой трубке превосходно рассчитывается по классическим законам, н т.
п. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что при известных условиях понятия траектории и определенного местоположения оказываюгся применимыми к микрочастицам, но только с некоторой степенью точности. Положение оказывается опять-такн точно таким, как и в оптике. Если размеры преград или отверстий велики 316 по сравнению с длиной волны, распространение света происходит как бы вдоль определенных лучей (траекторий).
При определенных условиях понятия положения в пространстве и траектории оказываются приближенно применимыми к движению микрочастиц, подобно тому как оказывается справедливым закон прямолинейного распространения света. Степень точности, с какой к частпще может быть применено представление об определенном положении ее в пространстве, дается соотношение л! неоп редел е н н о ст ей, установленным Гайзенбер!.ом. Согласно этому соотношеншо частица не может иметь одновременно вполне точные значения, например, координаты х и соответствующей этой координате составляющей 4 ~ импульса р„, причем неопределенности в зна- о ~с ь$ чсниях этих величин Юь удовлетворяют условню: Лхйр,) й.
(66.2) Такая запись озна- Рвс !93. чает, что произведение неопределенностей координаты н соответству!ощего ей импульса не может быть меньше величины порядка й. Чем точнее определена одна из величин, х нли р,, тем больше становится неопределенность другой, Возможны состояния часпщы, при которых одна из величин имеет вполне точное значение, но тогда в~орая вели шва будет совершенно неопределенной. Соотношения, аналоп!чные (66.2), справедливы для любой координаты и соответствующего ей импульса, а также для ряда других величин, например, для взятых попарно проекций момента импульса на координатные оси. Чтобы пояснить соотношение неопределенностей, рассмотрим следующий пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
