1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 53
Текст из файла (страница 53)
/ 5с д Ответ: ф=фдсоз т I —,1. и 2ат 37.13(37.16). Часовой балансир А может арак дд дд 37 м щаться вокруг осн, перпендикулярной его плоско- сти и проходящей через центр тяжести О, имея относительно этой оси момент инерции У. Балансир приводится в движение спиральной пружиной, один конец которой с ним скреплен, а другой присоединен к неподвижному корпусу часов. При повороте балансира возникает момент сил упругости пружины, пропорциональный углу поворота. Момент, необходимый для закручивания пружины на один радиан, равен с. Определить закон движения балансира, если в начальный момент в условиях отсут- Щ ствия сил упругости балансиру сообщили начальную угловую скорость во. Ответ: ф=ад ччт — з(п )т — 1. 'Ч ° 'Ч т 37.14(37.17). Для определения момента --'Я инерции Уд тела А относительно вертикальной в — — — ч оси Оз его прикрепили к упругому вертикальному стержню ООь закрутили этот стержень, повернув тело А вокруг оси Ог на малый угол фм и отпустили; период возникших колег задаче Зтлд баний оказался равным Ть момент сил упру- гости относительно оси Оз равен т, = — сф.
Для определения коэффициента с проделали второй опыт; на стержень в точке О был надет однородный круглый диск радиуса т массы М, и тогда период колебаний оказался равным Т,. Определить момент инерции тела Х,. Мт' Г, д Ответ: 7, = — Щ . 37Л5(37.18). Решить предыдущую задачу в предположении, что для определения коэффициента с второй опыт проделывают иначе: однородный круглый диск массы М и радиуса г прикрепляется к телу, момент инерции которого требуется определить.
Найти момент инерции тела Х„если период колебаний тела ть а период колебаний тела с прикрепленным к нему диском та. Ыгз Ответ: Х,=— 2 тз — тз 37.16(37Л9). Бифилярный подвес состоит из однородного стержня АВ длины 2а, подвешенного горизонтально посредством двух вертикальных нитей длины 1; отстоящих друг от друга на расстоянии 2Ь. Определить период крутильных колебаний стержня, полагая, что стержень в течение всего времени движения остается в горизонтальном положении и натяжение каждой из нитей равно половине веса стержня.
1 У к а з а н и е При определении горизонтальной со- . Ь Ь ставляюигей натяжения каждой нз нитей, считая колебания бифиляра малыми, заменить синус угла между направ- л В пением нити и вертикалью самим углом. а а 2на /1 К задаче зузз Ответ: Т= — ~/ —. ь 'Ч зд' 37.17(37.20). Диск, подвешенный к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции диска относительно оси проволоки равен Х. Момент, необходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен с. Момент сопро. тивления движению равен сз5го, где гк — коэффициент вязкости жидкости, 5 — сумма плошадей верхнего и нижнего оснований диска, оз — угловая скорость диска.
Определить период колебаний диска в жидкости. 4пУ Ответ: Т= ~/4су — азЗз 37.18(37.22). Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента пз„причем пгза= тг з!поу1+ вгз 81пЗю1, где ть вгз и оу — постоянные, а г — ось, направленная вдоль проволоки.
Момент сил упругости проволоки равен ягуар, причем пгуяра — сер, где с— коэффициент упругости, а гр — угол закручивания. Определить закон вынужденных крутильных колебаний твердого тела, если его момент инерции относительно оси г равен Х,. Силами сопротивления движению пренебречь. Считать, что ~/с/Х, чь ю и ~/в/Х, ~ Зю. Ответ: <Р= йз з 81позг+ йз Э з 81пЗю1, где йз=с/Х;, й! йз пчг/Хз Ьз = птз/Х 37.19(37.23). Решить предыдущую задачу с учетом момента сил сопротивления и„ пропорционального угловой скорости твердого тела. причем вг„= — рф, где р — постоянный коэффициент. 281 Ответ; ф = А1 з!п(аз! — е1)+ А, з!п(3аз! — ез), где «, «з А1 —— Аз= с~о-рР+ р ' с(~)'+~~ ' е1 — — а ге!ц « — м Ез — — аГС!Ц-г — "" — г, 1З = —.
р « вЂ” зоз ' 21з ' 37.20. Диск О, радиус которого равен !т, а масса — М, подвешен на упругом стержне АВ, имеющем жесткость на кручение с. Конец стержня В вращается по закону фв = озо! + Ф з!п р1, где аза, Ф, р — постоянные величины. Пренебрегая силами сопротивления, определить движение диска 0: 1) при отсутствии резонанса, 2) при резонансе. В начальный момент диск был неподвижен, а стержень — недеформирован.
Ответ: 1) фл (С) = азаг— — — з!и «! + — з — г 1 Яп Рг — — Яп «!), озо « Р « «-Р ~ « / 2с 2сФ где /з= т/ —, /з= — т! ='1/ муз' мг ' А соо "(1 2) фл (!) = аза! — — 91п «!+ — — з!п «Г вЂ” ! соз й!з . 37.21. Твердое тело, подвешенное к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции тела относительно оси проволоки г равен У,.
Момент сил упругости проволоки позора-— — — сф, где с — коэффициент упругости, а ф — угол закручивания; момент сопротивления движению лз„ = — йф, где ф — угловая скорость твердого тела, а р ) О. В начальный момент твердое тело было закручено на угол фа и отпущено без начальной скорости. Найти уравнение дви- /с жения твердого тела, если — < 2тз тз Ответ: Затухающие крутильные колебания по закону ф = ф,е с (соз „~Р— пзз -1- " з!п З//зз — пз Г), З/«з — зз где йз = с/У„зз = й/(2/о).
37.22. Однородный круглый диск массы М и радиуса !т, подвешенный к упругой проволоке, может совершать крутильные колебания в жидкости. Момент сил упругости проволоки тзор, = — сф, где ось г проведена вдоль проволоки, с в коэффициент упругости, а ф †уг закручивания; момент сопротивления движению лзоз = = — бф, где ф — угловая скорость диска, а 3 ) О. В начальный момент диск был закручен на угол фа и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение движения диска, если: Р / 2с !З 1 2с 1) — = з/ —, 2) — > мдз — Ч мК муз Ъ мйз. Ответ: Апериодическое движение по закону ') мг ='Чмй 'р='ре "(1+лУ) где"=маг Х е 1/"* "' + ( 1/и~ — Й~+ п) е /"т ""], где Йз = 2с/(М/Р), и = ~)/(МЯ~).
37.23. Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совер- шает крутильные колебания под действием внешнего момента т,, = та совр/, где тз и р — положительные постоянные, а г— ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости про- волоки т„„р, — — †, где с — коэффициент упругости, а <р — угол закручивания.
Момент инерции твердого тела относительно оси г равен У,. Силами сопротивления движению пренебречь. Опреде- лить уравнение движения твердого тела в.случаях: 1) ~/с/У, чь р, 2) 1/с/У,= р, если в начальный момент при ненапряженной про- волоке твердому телу была сообщена угловая скорость гза Ответ: 1) т/ — чь р. <р= — з(п Йг+ — а, — т(созр1 — сов йг), Ь где Й= т/с/У„Й=т0/У,; 2) му — "=р <р= — 'з(пЙГ+ — Гз(пй, где Й= — =р, ч у Ф 2Ь Ух Й = т,/У,.
37.24. Однородный круглый диск массы М и радиуса )г, подве- шенный на упругой проволоке, совершает резонансные крутильные колебания в жидкости под действием внешнего момента т„= = таз(п р1, .где тз и р — положительные постоянные, а г — ось, направленная вдоль проволоки; момент сил упругости проволоки т„„ , = — ср, где с — коэффициент упругости, а ф †уг закру- чивания; момент сопротивления движению т„ = — рф, где ф— угловая скорость диска, а (1 ) О. Найти уравнение вынужденных резонансных колебаний диска.
/2С а 2то Ответ: При р= т/ — <р= — — созрг, где Й= — т, 'Ч Мй' 2зр мя р л= —, 37.25(37.24). Для определения коэффициента вязкости жидко- сти наблюдают колебания диска, подвешенного к упругой прово- локе в жидкости. К диску приложен внешний момент, равный Мз ейп р/ (Мз =сопз1), при котором наблюдается явление резо- нанса, Момент сопротивления движению диска в жидкости равен а5е, где а — коэффициент вязкости жидкости, 5 — сумма площа- дей верхнего и нижнего оснований диска, в — угловая скорость диска. Определить коэффициент а вязкости жидкости, если ампли- туда вынужденных колебаний диска при резонансе равна фв 2ЗЗ Ответ: а= Мс чсзр 37.26(37.26). При полете снаряда вращение его вокруг оси симметрии замедляется действием момента силы сопротивления воздуха, равного йс», где ьс — угловая скорость вращения снаряда, й — постоянный коэффициент пропорциональности.
Определить закон убывания угловой скорости, если начальная угловая скорость равна а„а момент инерции снаряда относительно оси симметрии равен У. — — с Ответ: св=вре 37.27(37.27). Для определения ускорения силы тяжести пользуются оборотным маятником, который представляет собой стержень, снабженный двумя трехгранными ножами А и В. Один нз ножей неподвижен, а второй может перемещаться вдоль стержня. Подвешивая стержень то на один, 1 то на другой нож и меняя расстояние АВ между ними, можно добиться равенства периодов качаний маятника 1 вокруг каждого из ножей. Чему равно ускорение силы тяжести, если расстояние между ножами, при котором периоды качаний маятника равны, АВ = с, а период сс качаний равен Т? Ответ: а = 4ис(/Т'.
37.28(37.28). Два твердых тела могут качаться возсхс круг одной и той же горизонтальной оси как отдельно друг от друга, так и скрепленные вместе. Определить приведенную длину сложного маятника, если массы твердых тел М, и Мм расстояния от их центров тяжести до общей оси вращения ас и ам а приведенные длины при отдельном качании каждого ссн(ь МсасСс + МсасСс Ответ: (рр= „+ 37.29. Часть прибора представляет собой однородный стержень длины с., свободно подвешенный одним концом на горизонтальной оси О. Для регистрации качаний стержня к его нижнему концу приклеивается небольшое зеркало массы и. При этом, чтобы частота колебаний стержня не изменилась, на нем в другом месте укрепляется груз А. Рассматривая зеркало и груз как материальные точки, найти минимальную массу, которую должен иметь груз А.
На каком расстоянии от оси О его следует прикрепить? Ответ: т„= Зт, ОА = с/сс'.. 37.30(37.29). Для регулирования хода часов к маятнику массы Мь приведенной длины с с расстоянием а от его центра тяжести до оси подвеса прикрепляют добавочный груз массы Мс на расстоянии х от оси подвеса. Принимая добавочный груз за материальную точку, определить изменение И приведенной длины маятника при данных значениях Мс и х и значение х = хс, при котором заданное изменение ас приведенной длины маятника достигается прн помощи добавочного груза наименьшей массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
